Диссертация (Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера), страница 11

Îáå ñòîðîíû ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñ ïåðèîäàìè 1 è τ2 è ïîëþñîì âòîðîãî ïîðÿäêà âx = 0 âèäà x−2 + O(1) (÷òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ñëåäóåò èñïîëüçîâàòüòîæäåñòâà (AI.8) è θ42 (0|τ ) = θ3 (0| τ2 ) θ4 (0| τ2 )). Òàêèì îáðàçîì, èõ ðàçíîñòü ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé. Ïîäñòàâëÿÿ x = 12 â îáå ñòîðîíû, ïîëó÷àåì,÷òî êîíñòàíòà ðàâíà 0.7.5Ïðèëîæåíèå V. Íåêîòîðûå âû÷èñëåíèÿ äëÿÏôàôôÒîäûÍà÷íåì ñ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ â (96),∇(z1 )S u(z2 ) = ∂t0 S u(z1 )−u(z2 ) .Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, ìû ìîæåìçàïèñàòü åãî ëåâóþ ñòîðîíó êàê−1d log ρdS(u2 )dS(u2 )= ∇(z1 ) log ρ,∇(z1 )S(u2 ) = ∇(z1 )τdτdτdτãäå ρ îïðåäåëåíî â (94) è äëÿ êðàòêîñòè ïîëîæèì ui ≡ u(zi ).  ñâîþî÷åðåäü, ∇(z1 ) log ρ ìîæíî íàéòè èç ïðåäåëà z2 → ∞ óðàâíåíèÿ â (96):∇(z1 ) log ρ = ∂t0 S(u1 ) = ∂t0 τdS(u1 ).dτÑëåäîâàòåëüíî, ëåâàÿ ÷àñòüdS(u1 ) dS(u2 )∇(z1 )S(u2 ) = ∂t0 τdτdτd log ρdτ−1.Ïðàâàÿ ÷àñòü ïåðâîãî óðàâíåíèÿ â (96) äàåò∂t0 S(u1 − u2 ) = ∂t0 τdS(u1 − u2 ).dτÏðåäïîëàãàÿ ∂t0 τ 6= 0, ìû âèäèì, ÷òî ïåðâîå óðàâíåíèå â (96) ñòàíîâèòñÿdS(u1 ) dS(u2 ) d log ρ dS(u1 − u2 )=.dτdτdτdτ76(AV.1)Êàæäàÿ ïîëíàÿ τ - ïðîèçâîäíàÿ çäåñü ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà ñ ïîìîùüþ (128).

Ïîäñòàâëÿÿ ∂τ u èç (129) è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî (127), ìûìîæåì äîêàçàòü, ÷òî4πidS(u(z))= S 0 (u(z) + ξ)S 0 (ξ),dτ(AV.2)è, â ÷àñòíîñòè (ïðè z → ∞),4πid log ρ= (S 0 (ξ))2 .dτ(AV.3)Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî óðàâíåíèå (AV.1) òîæäåñòâåííî âûïîëíåíÿåòñÿ:S 0 (u1 + ξ)S 0 (ξ)S 0 (u2 + ξ)S 0 (ξ) = (S 0 (ξ))2 S 0 (u1 + ξ)S 0 (u2 + ξ).Èñïîëüçóÿ òå æå ðàññóæäåíèÿ, ìîæåì àíàëîãè÷íî ïîñòóïèòü ñ äðóãèìèóðàâíåíèÿìè â (96). Ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå:∇(z1 )S u(z2 ) + η = ∂t̄0 S u(z1 )−u(z2 ) . ëåâîé ÷àñòè ìû èìååì:∇(z1 )S(u2 + η) = ∇(z1 )τdS(u2 + η)=dτdS(u2 + η)= ∇(z1 ) log RdτdS(u2 + η)= ∂t̄0 S(u1 )dτd log Rdτd log RdτdS(u1 ) dS(u2 + η)= ∂t̄0 τdτdτ−1=−1d log Rdτ=−1.Ïðàâàÿ ÷àñòüdS(u1 − u2 ).dτÍàïîìíèì òàêæå, ÷òî log R = S(η).

Ïîýòîìó âòîðîå óðàâíåíèå â (96)ïåðåïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì∂t̄0 S(u1 − u2 ) = ∂t̄0 τdS(u1 ) dS(u2 + η) dS(η) dS(u1 − u2 )=.dτdτdτdτ77(AV.4)Ñíîâà ïîäñòàâèâ çäåñü ∂τ u èç (129) è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî (127), ìûìîæåì äîêàçàòü, ÷òî4πidS(u(z) + η)= S 0 (u(z) + ξ)S 0 (ξ − η),dτ(AV.5)è, â ÷àñòíîñòè, (ïðè z → ∞),4πidS(η)¯ 0 (ξ¯ − η).= S 0 (ξ)S 0 (ξ − η) = S 0 (ξ)Sdτ(AV.6)Ïîýòîìó ìû âèäèì, ÷òî óðàâíåíèå (AV.4) òîæäåñòâåííî âûïîëíåíî:S 0 (u1 + ξ)S 0 (ξ)S 0 (u2 + ξ)S 0 (ξ − η) = S 0 (ξ)S 0 (ξ − η)S 0 (u1 + ξ)S 0 (u2 + ξ).Ðàññìîòðèì òðåòüå óðàâíåíèå â (96)¯∇(z̄1 )S u(z2 ) = ∂t0 S ū(z̄1 )+u(z2 )+η .Åãî ëåâàÿ ñòîðîí௠1 )S(u2 ) = ∇(z̄¯ 1 )τ dS(u2 ) =∇(z̄dτ¯ 1 ) log R dS(u2 )= ∇(z̄dτdS(u2 )= ∂t0 S(ū1 )dτd log Rdτd log RdτdS(ū1 ) dS(u2 )= ∂t0 τdτdτ−1=−1d log Rdτ=−1.Ïðè ïåðåõîäå îò âòîðîé ñòðî÷êè ê òðåòüåé ìû èñïîëüçîâàëè êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ â (96) â ïðåäåëå z2 → ∞.

Ïðàâàÿ÷àñòü∂t0 S(ū1 + u2 + η) = ∂t0 τdS(ū1 + u2 + η).dτÒðåòüå óðàâíåíèå â (96) ñòàíîâèòñÿdS(ū1 ) dS(u2 ) dS(η) dS(ū1 + u2 + η)=.dτdτdτdτ78(AV.7)Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ∂τ u èç (129) è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî (127), ìû ìîæåìäîêàçàòü, ÷òî4πièdS(ū(z̄))¯ 0 (ξ),¯= S 0 (ū(z̄) + ξ)Sdτ(AV.8)dS(ū1 + u2 + η)¯ 0 (−u2 − ξ).= S 0 (ū1 + ξ)S(AV.9)dτÒàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî óðàâíåíèå (AV.7) òîæäåñòâåííî âûïîëíåíî:4πi¯ 0 (ξ)S¯ 0 (u2 + ξ)S 0 (ξ) = S 0 (ξ)S 0 (ξ − η)S 0 (ū1 + ξ)S¯ 0 (−u2 − ξ)S 0 (ū1 + ξ)S(ìû èñïîëüçóåì òîò ôàêò, ÷òî S 0 (u) ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé ôóíêöèåé, è îãðàíè÷åíèå ξ + ξ¯ = η ).Ðàñ÷åòû äëÿ îñòàâøåãîñÿ ñëó÷àÿ (÷åòâåðòîãî óðàâíåíèÿ) â (96) àíàëîãè÷íû.7.6Ïðèëîæåíèå VI. Êîýôôèöèåíòû Γij äàííîì ïðèëîæåíèè ìû ïîêàæåì, ÷òîΓij :=∂λj φi,nφj,n − φi,n(AVI.1)íå çàâèñèò îò n, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ n îäíîâðåìåííî, è íàéäåìêîýôôèöèåíòû Γij .

Ïåðåõîäÿ ê ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè äëÿ φi,n ,z −nS 0 (u(z) + ξi )=,Q(u(z), ξi ) = 1 +φi,n0 (ξ )nSin≥1Xìû ìîæåì ïåðåôîðìóëèðîâàòü óòâåðæäåíèå êàê z -çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿêàê∂λj Q(u(z), ξi ). Òîãäà êîýôôèöèåíòû Γij îïðåäåëÿþòñÿQ(u(z), ξj ) − Q(u(z), ξi )∂λj Q(u(z), ξi )= Γij .Q(u(z), ξj ) − Q(u(z), ξi )Ðàññìîòðèì ïî î÷åðåäè çíàìåíàòåëü è ÷èñëèòåëü.79(AVI.2)Çíàìåíàòåëü Q(u(z), ξj ) − Q(u(z), ξi).Q(u, ξj ) − Q(u, ξi ) =Çíàìåíàòåëü (AVI.2) ÿâëÿåòñÿS 0 (u + ξj ) S 0 (u + ξi )−=S 0 (ξj )S 0 (ξi )S 0 (u + ξj )S 0 (ξi ) − S 0 (u + ξi )S 0 (ξj ),(AVI.3)=S 0 (ξi )S 0 (ξj )×èñëèòåëü ýòîé âåëè÷èíû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òýòà-ôóíêöèè. Âîñïîëüçóåìñÿ (AI.14)S 0 (x) = πθ3 (0, τ 0 )θ4 (0, τ 0 )θ2 (x, τ 0 ),θ1 (x, τ 0 )Òîãäà ìîæåì ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:S 0 (u + ξj )S 0 (ξi ) − S 0 (u + ξi )S 0 (ξj ) == πθ3 (0, τ 0 )θ4 (0, τ 0 )θ2 (u + ξj )θ2 (ξi )θ1 (u + ξi )θ1 (ξj ) − θ1 (u + ξj )θ1 (ξi )θ2 (u + ξi )θ2 (ξj ).θ1 (u + ξj )θ1 (ξi )θ1 (u + ξi )θ1 (ξj )Çäåñü è äàëåå äëÿ óïðîùåíèÿ òåêñòà áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ êðàòêîé çàïèñüþ θa (x) = θa (x, τ2 ).

Âû÷èòàÿ (R9) ñî ñòð.20 â [71] èç (R8), ïîëó÷àåìôîðìóëóθ2 (x)θ2 (y)θ1 (u)θ1 (v) − θ1 (x)θ1 (y)θ2 (u)θ2 (v) == θ2 (x1 )θ2 (y1 )θ1 (u1 )θ1 (v1 ) − θ1 (x1 )θ1 (y1 )θ2 (u1 )θ2 (v1 ).(AVI.4)Ïîäñòàâèâ x 7→ u + ξj , y 7→ ξi , u 7→ u + ξi , v 7→ ξj , àðóãìåíòû â ïðàâîé÷àñòè ïåðåõîäÿòx1 = 21 (x + y + u + v)y1 = 12 (x + y − u − v)u1 = 21 (x − y + u − v)v1 = 12 (x − y − u + v)7→7→7→7→u + ξi + ξj ,0,u,ξj − ξi .Èñïîëüçóÿ (AVI.4) ñ òàêèìè çíà÷åíèÿìè àðãóìåíòîâ, ïîëó÷àåì:S 0 (u + ξj )S 0 (ξi ) − S 0 (u + ξi )S 0 (ξj ) == π 2 θ32 (0, τ 0 )θ42 (0, τ 0 )θ2 (u + ξi + ξj )θ2 θ1 (u)θ1 (ξj − ξi ) − θ1 (u + ξi + ξj )θ1 θ2 (u)θ2 (ξj − ξi )=θ1 (u + ξj )θ1 (ξi )θ1 (u + ξi )θ1 (ξj )= π 2 θ32 (0, τ 0 )θ42 (0, τ 0 )Òîãäàθ2 (u + ξi + ξj )θ2 (0)θ1 (u)θ1 (ξj − ξi ).θ1 (u + ξj )θ1 (ξi )θ1 (u + ξi )θ1 (ξj )S 0 (u + ξj )S 0 (ξi ) − S 0 (u + ξi )S 0 (ξj )=S 0 (ξi )S 0 (ξj )80=π 2 θ32 (0, τ 0 )θ42 (0, τ 0 )θ2 (u + ξi + ξj )θ2 (0)θ1 (u)θ1 (ξj − ξi )θ (ξ )(ξi )π 2 θ32 (0, τ 0 )θ42 (0, τ 0 )θ1 (u + ξj )θ1 (ξi )θ1 (u + ξi )θ1 (ξj ) θ12 (ξjj ) θθ12 (ξi)==θ2 (u + ξi + ξj )θ2 (0)θ1 (u)θ1 (ξj − ξi ).θ1 (u + ξj )θ2 (ξi )θ1 (u + ξi )θ2 (ξj )Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (AVI.3) ôàêòîðèçóåòñÿ êàêQ(u, ξj ) − Q(u, ξi ) =θ2 (u + ξi + ξj )θ2 (0)θ1 (u)θ1 (ξj − ξi )θ1 (u + ξj )θ2 (ξi )θ1 (u + ξi )θ2 (ξj )ñ èñïîëüçîâàíèåì (AI.14).

Ïåðåõîäÿ ê τ âìåñòîñ ïîìîùüþ ôîðìóëθ1 (x)θ2 (0) = 2θ1 (x, τ )θ4 (x, τ ),θ1 (x) = 2τ2(AVI.5)â u -çàâèñèìûõ ÷ëåíàõθ2 (x)θ2 (0) = 2θ2 (x, τ )θ3 (x, τ ),θ1 (x, τ )θ4 (x, τ ),θ2 (0)θ2 (x) = 2θ2 (x, τ )θ3 (x, τ ),θ2 (0)ïîëó÷àåìQ(u, ξj ) − Q(u, ξi ) =θ2 (u+ξi +ξj ,τ )θ3 (u+ξi +ξj ,τ )θ2 2 θ1 (u,τθ)θ2 4 (u,τ ) θ1 (ξj − ξi )θ2,θ1 (u+ξj ,τ )θ4 (u+ξj ,τ )θ1 (u+ξi ,τ )θ4 (u+ξi ,τ )θ2 (ξi )2θ2 (ξj )2θ2θ22à çàòåìQ(u, ξj )−Q(u, ξi ) =θ2 (u+ξi +ξj , τ )θ3 (u+ξi +ξj , τ )θ1 (u, τ )θ4 (u, τ ) θ1 (ξj − ξi )θ2 (0).θ1 (u + ξi , τ )θ4 (u + ξi , τ )θ1 (u + ξj , τ )θ4 (u + ξj , τ ) θ2 (ξi )θ2 (ξj )(AVI.6)Íà ýòîì ìû çàêàí÷èâàåì ïðåîáðàçîâàíèÿ çíàìåíàòåëÿ è äâèãàåìñÿ äàëüøå=×èñëèòåëü ∂λ Q(u(z), ξi).j∂ S 0 (u + ξi )1=∂λj S 0 (ξi )(S 0 (ξi ))2Çàòåì ìû äîëæíû:Ìû ïîäðîáíî âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíóþ:∂S 0 (ξi ) 0∂S 0 (u + ξi ) 0S (ξi ) −S (u + ξi ) .∂λj∂λj(AVI.7)• âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè∂u ∂ξi ∂τ,,;è ïåðåïèñàòü âûðàæåíèå, èñïîëüçóÿ S 00 , Ṡ 0 ,∂λj ∂λj ∂λj81• èñïîëüçîâàòü ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà (142) è ñèñòåìóÃèááîíñàÖàðåâà (155), (156), ÷òîáû ïðåäñòàâèòü λj -ïðîèçâîäíûåu, ξi è τ ;• óïðîcòèòü ïðîèçâîäíûå S â òåðìèíàõ òýòà-ôóíêöèé.Íà÷íåì ñ ïðàâîé ÷àñòè (AVI.7), ðàññìîòðèì ïðîèçâîäíûå:∂S 0 (u + ξi )∂ξi∂τ∂u00= S (u + ξi )++ Ṡ 0 (u + ξi ),∂λj∂λj ∂λj∂λj∂S 0 (ξi )∂ξi∂τ= S 00 (ξi )+ Ṡ 0 (ξi ).∂λj∂λj∂λjÈç ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà (142) è óðàâíåíèÿ ÃèááîíñàÖàðåâà (155) ñëåäóåò ∂τ∂ξi1 ∂u+=−ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) − ζ1 (ξj )=∂λj ∂λj4πi∂λj ∂τ1 =,−ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi )4πi∂λjãäå èñïîëüçóåì êðàòêóþ çàïèñü ζ1 (x) = ζ1 (x, τ2 ).1 000Ṡ (x) =2S (x)ζ2 (x) − 2S (x)℘2 (x) .4πi0Òîãäà ïðîèçâîäíûå ïåðåïèøåì êàê∂S 0 (u + ξi )= S 00 (u + ξi )∂λj∂u∂ξi+∂λj ∂λj∂τ=∂λj1 00∂τ0=S (u + ξi ) −ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) + Ṡ (u + ξi )=4πi∂λj 11 00=S 00 (u + ξi ) −ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) +2S (u + ξi )ζ2 (u + ξi )−4πi4πi ∂τ=−2S 0 (u + ξi )℘2 (u + ξi )∂λj 1 00=S (u + ξi ) −ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) + 2S 00 (u + ξi )ζ2 (u + ξi )−4πi ∂τ1 00−2S 0 (u + ξi )℘2 (u + ξi )=S (u + ξi ) −ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) +∂λj4πi ∂τ+2S 00 (u + ξi )ζ2 (u + ξi ) − 2S 0 (u + ξi )℘2 (u + ξi )=∂λj82+ Ṡ 0 (u + ξi ) ∂τ1 000S (u + ξi ) −ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) + 2ζ2 (u + ξi ) − 2S (u + ξi )℘2 (u + ξi ),=4πi∂λjòåïåðü∂S 0 (ξi )∂ξi∂τ= S 00 (ξi )+ Ṡ 0 (ξi )=∂λj∂λj∂λj ∂τ ∂τ1 1 00000= S (ξi )ζ1 (ξj −ξi )−ζ1 (ξj )+2S (ξi )ζ2 (ξi )−2S (ξi )℘2 (ξi )=4πi∂λj 4πi∂λj ∂τ1 00 000=S (ξi ) ζ1 (ξj − ξi ) − ζ1 (ξj ) + 2S (ξi )ζ2 (ξi ) − 2S (ξi )℘2 (ξi )=4πi∂λj ∂τ1 00 0S (ξi ) ζ1 (ξj − ξi ) − ζ1 (ξj ) + 2ζ2 (ξi ) − 2S (ξi )℘2 (ξi ).=4πi∂λjÏîäñòàâëÿÿ ýòè ôîðìóëû â 0∂S 0 (ξi ) 0∂ S 0 (u + ξi )∂S (u + ξi ) 04πi(S (ξi ))= 4πiS (ξi ) −S (u + ξi ) ,∂λj S 0 (ξi )∂λj∂λj02ïîëó÷èì:004πi S (u + ξi ) −ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) + 2ζ2 (u + ξi ) −000−2S (u + ξi )℘2 (u + ξi ) S (ξi ) − S (ξi ) ζ1 (ξj − ξi ) − ζ1 (ξj ) + 2ζ2 (ξi ) − ∂τ00.−2S (ξi )℘2 (ξi ) S (u + ξi )∂λjÒàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè0∂ S 0 (u + ξi )4πi (S (ξi ))=∂λj S 0 (ξi )0=2S (u + ξi )S (ξi ) −ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) + 2ζ2 (u + ξi , τ ) −000− S (ξi )S (u + ξi ) −ζ1 (ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) + 2ζ2 (ξi , τ ) +000 ∂τ.+ 2S 0 (u + ξi )S 0 (ξi ) −℘2 (u + ξi , τ ) + ℘2 (ξi , τ )∂λjÄëÿ äàëüíåéøåãî, íàì ïîíàäîáèòñÿ òîæäåñòâî−ζ1 (x1 ) + ζ1 (x2 ) + 2ζ2 (x1 − x2 , τ ) =83(AVI.8)θ1 (x1 − x2 , τ )θ4 (x1 − x2 , τ )θ2 (x1 + x2 , τ ).θ1 (x1 , τ )θ4 (x1 , τ )θ1 (x2 , τ )θ4 (x2 , τ )θ2 (x1 − x2 , τ )Áóäåì èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå àðãóìåíòû.= πθ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ42 (0, τ )Øàã 1.