Диссертация (Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера), страница 13
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера". PDF-файл из архива "Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ ВШЭ. Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ ВШЭ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 13 страницы из PDF
Íà ýòîì ðàáîòà ñ÷èñëèòåëåì çàêîí÷åíà.Âû÷èñëåíèå Γij .Ðàçäåëèâ (AVI.9) íà (AVI.6) è âîñïîëüçîâàâøèñü âèäîì g(u), ìû âèäèì, ÷òî u - çàâèñèìûå ôàêòîðû èñ÷åçàþò (ñëåäîâàòåëüíî, èñ÷åçàåò z - çàâèñèìîñòü), è ìû îñòàåìñÿ ñ4πi (S 0 (ξi ))2Γij =∂τ /∂λj= π 4 θ22 (0, τ )θ32 (0, τ )θ46 (0, τ ) ××:θ1 (u, τ )θ4 (u, τ )θ2 (u + ξi + ξj , τ )θ3 (u + ξi + ξj , τ )×θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ1 (u+ξj , τ )θ4 (u+ξj , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )θ4 (2ξi − 2ξj , τ ):θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (u+ξi +ξj , τ )θ3 (u+ξi +ξj , τ )θ1 (u, τ )θ4 (u, τ ) θ1 (ξj − ξi , τ )θ4 (ξj − ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )=θ1 (u + ξi , τ )θ4 (u + ξi , τ )θ1 (u + ξj , τ )θ4 (u + ξj , τ )θ2 (ξi , τ )θ2 (ξj , τ )θ3 (ξi , τ )θ3 (ξj , τ )= π 4 θ22 (0, τ )θ32 (0, τ )θ46 (0, τ )= π 2 θ22 θ32 θ43θ4 (0, τ )θ4 (2ξi − 2ξj , τ )θ2 (ξi , τ )θ2 (ξj , τ )θ3 (ξi , τ )θ3 (ξj , τ )=θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ12 (ξj −ξi , τ )θ42 (ξj −ξi , τ )θ4 (2ξi − 2ξj , τ )θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ ) 2 θ2 (ξj , τ )θ3 (ξj , τ )πθ42πθ22θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ ) 4 θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )== −S 00 (ξi − ξj )S 0 (ξi )S 0 (ξj ).Ïîëó÷èëè êîíå÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ Γij :Γij = −7.71 S 0 (ξj ) 00∂τS(ξ−ξ).ij4πi S 0 (ξi )∂λj(AVI.11)Ïðèëîæåíèå VII.
Äîêàçàòåëüñòâî Γij = 12 ∂λj log gi äàííîì ïðèëîæåíèè ìû äîêàæåì, ÷òîΓij = −1 S 0 (ξj ) 00∂τ1S(ξ−ξ)=∂λ log gi ,ij4πi S 0 (ξi )∂λj2 jãäågi =1∂τ(S 0 (ξi ))2.4πi∂λi89(AVII.1)Âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ:∂∂λj1∂τlog S (ξi ) + log2∂λi0S 00 (ξi ) ∂ξi Ṡ 0 (ξi ) ∂τ1∂ 2τ= 0++.S (ξi ) ∂λj S 0 (ξi ) ∂λj 2(∂τ /∂λi ) ∂λi ∂λjÂîñïîëüçóåìñÿ ñèñòåìîé Ãèááîíñà-Öàðåâà ∂τ1 ∂ξi00=ζ1 (−ξi + ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ ),∂λj4πi∂λj∂ 2τ∂τ ∂τ1℘1 (ξi − ξj , τ 0 )=∂λi ∂λj2πi∂λi ∂λj(AVII.2)(AVII.3)è ôîðìóëîé (AI.17) äëÿ Ṡ 0 . Ïîäñòàâëÿÿ èõ, ïîëó÷èì: ∂τS 00 (ξi ) 1 1 S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) ∂τ00ζ1 (−ξi + ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ )++S 0 (ξi ) 4πi∂λj 2πiS 0 (ξi )∂λj+11∂τ ∂τ℘1 (ξi − ξj , τ 0 )=2(∂τ /∂λi ) 2πi∂λi ∂λj ∂τ10000S(ξ)ζ(−ξ+ξ,τ)−ζ(ξ,τ)+i1ij1j4πiS 0 (ξi )∂λj ∂τ∂τ110002S (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S (ξi )℘2 (ξi , τ )℘1 (ξi − ξj , τ 0 )++.04πiS (ξi )∂λj 4πi∂λj=Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè1 ∂1∂τ 00log gi =S (ξi )(ζ1 (ξj − ξi , τ 0 ) − ζ1 (ξj , τ 0 ))+02 ∂λj4πiS (ξi ) ∂λj0000+ S (ξi )(℘1 (ξi − ξj , τ ) − 2℘2 (ξi , τ )) + 2S (ξi )ζ2 (ξi , τ ) .Ñðàâíèâ ñ (AVII.1), ïîëó÷àåì, ÷òî íóæíî äîêàçàòü òîæäåñòâîS 00 (ξi )ζ1 (ξj − ξi , τ 0 ) − S 00 (ξi )ζ1 (ξj , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (ξi − ξj , τ 0 )+000000(AVII.4)+ 2S (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S (ξj )S (ξj − ξi ) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî ñòàíäàðòíîå.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êàê ôóíêöèÿ îò ξj , ëåâàÿ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäàìè 1, τ 0 .Îíà ìîæåò èìåòü îñîáåííîñòè òîëüêî â òî÷êàõ ξj = ξi è ξj = 0 .Ïîäñòàâèì ξj = ε è óñòðåìèì ε → 0:S 00 (ξi )ζ1 (ε − ξi , τ 0 ) − S 00 (ξi )ζ1 (ε, τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (ξi − ε, τ 0 ) +90+ 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S 0 (ε)S 00 (ε − ξi ) == S 00 (ξi )ζ1 (−ξi , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (ξi , τ 0 ) + 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ )++S 0 (ε)S 00 (−ξi ) − S 00 (ξi )ζ1 (ε, τ 0 ) == S 00 (ξi )ζ1 (−ξi , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (ξi , τ 0 ) + 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ )+11+ S 00 (−ξi ) − S 00 (ξi ) =εε0000000S (ξi )ζ1 (−ξi , τ ) + S (ξi )℘1 (ξi , τ ) + 2S (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ).Ïîëþñà íåò.Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì ñ ξj = ξi + ε, íî âûïèøåì òîëüêî ÷ëåíû ñðàçíîñòüþ ξj è ξiS 00 (ξi )ζ1 (ξj − ξi , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (ξi − ξj , τ 0 ) + S 0 (ξj )S 00 (ξj − ξi ) == S 00 (ξi )ζ1 (ε, τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (−ε, τ 0 ) + S 0 (ξi + ε)S 00 (ε) = −11 0100000= S (ξi ) + S (ξi ) 2 + S (ξi ) + εS (ξi ) 2 = 0.εεεÏîëó÷èëè, ÷òî è â ýòîé òî÷êå ïîëþñà íåò è, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿïîñòîÿííà â ξj .×òîáû íàéòè êîíñòàíòó, äàâàéòå îöåíèì ýòî âûðàæåíèå â ðåãóëÿðíîéòî÷êå ξj = ξi + 12 .S 00 (ξi )ζ1 (ξi +111− ξi , τ 0 ) − S 00 (ξi )ζ1 (ξi + , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (ξi − (ξi + ), τ 0 )+22211+ 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S 0 (ξi + )S 00 (ξi + − ξi ) =22111= S 00 (ξi )ζ1 (ξi + − ξi , τ 0 ) − S 00 (ξi )ζ1 (ξi + , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (ξi − (ξi + ), τ 0 )+22211+ 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S 0 (ξi + )S 00 (ξi + − ξi ) =22111= S 00 (ξi )ζ1 ( ) − S 00 (ξi )ζ1 (ξi + , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (− ), τ 0 )+22211+ 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S 0 (ξi + )S 00 ( ).22Èñïîëüçóÿ (AI.21), (AI.22), ïîëó÷èì111S 00 (ξi )ζ1 ( ) − S 00 (ξi )ζ1 (ξi + , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 (− , τ 0 )+2229111+ 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S 0 (ξi + )S 00 ( ) =221= S 00 (ξi )ζ2 (0) − S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ 0 ) + S 0 (ξi )℘1 ( , τ 0 )+211+ 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S 0 (ξi + )S 00 ( ) =2211= −S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ 0 ) + 2S 00 (ξi )ζ2 (ξi , τ ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S 0 (ξi + )S 00 ( )+221+S 0 (ξi )℘1 ( , τ 0 ).2Ïîëó÷èëîñü:S 00 (ξi ) 2ζ2 (ξi , τ ) − ζ2 (ξi , τ 0 ) − 2S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ ) + S 00 ( 21 )S 0 (ξi + 21 ) + ℘2 (0, τ 0 )S 0 (ξi )S 00 (ξi )S 0 (ξi + 12 ) + S 00 ( 21 )S 0 (ξi + 12 ) + S 0 (ξi )(−℘2 (ξi , τ 0 ) + S 00 (ξi + 21 )) + ℘2 (0, τ 0 )S 0 (ξi ) == S 00 (ξi )S 0 (ξi + 12 ) + S 00 ( 12 )S 0 (ξi + 12 ) − S 0 (ξi ) ℘2 (ξi , τ 0 ) − ℘2 (0, τ 0 ) + S 00 ( 21 )S 0 (ξi + 12 ).Òåïåðü, èñïîëüçóÿ (AI.14), (AI.15) è (AI.23), íàéäåì, ÷åìó ðàâíà ýòàêîíñòàíòà.−π2θ3 (ξi )θ4 (ξi )θ3 θ4 θ22θ12 (ξi )θ1 (ξi ) θ2 (ξi ) 22 θ3 (ξi )θ4 (ξi )−πθ3 θ4+πθ3 θ4−π θ3 θ4 θ2−θ2 (ξi )θ1 (ξi )θ22 (ξi )θ1 (ξi ) θ2 (ξi ) 2 2 2 2 θ12 (ξi )2 2 2π θ2 θ3 θ4 2− π θ3 θ4 −πθ3 θ4=−πθ3 θ4θ1 (ξi )θ2 (ξi )θ22θ2 (ξi )θ3 (ξi )θ4 (ξi ) 2 2 2 2 θ3 (ξi )θ4 (ξi ) 3 3 3 θ1 (ξi ) 3 3 3 θ1 (ξi )−π θ2 θ3 θ4−π θ3 θ4+π θ3 θ4= 0.θ1 (ξi )θ2 (ξi )θ1 (ξi )θ2 (ξi )θ2 (ξi )θ2 (ξi )Ïîëó÷èëè íóëü, ò.å.
äîêàçàëè, ÷òî= π 2 θ22 θ32 θ421 S 0 (ξj ) 00∂τ1Γij = −S(ξ−ξ)=∂λ log gi ,ij4πi S 0 (ξi )∂λj2 jãäågi =1∂τ(S 0 (ξi ))2.4πi∂λiÀ çàîäíî è1100−S (ξi ) ℘2 (ξi , τ ) − ℘2 (0, τ ) + S 00 ( )S 0 (ξi + ) = 0.22092(AVII.5)7.8Ïðèëîæåíèå VIII. Äîêàçàòåëüñòâî∂λk Γij = Γij Γjk + Γik Γkj − Γik ΓijÂçÿâ ïðîèçâîäíóþ ∂λk Γij (îïðåäåëåíèå Γij ñì â (AVII.1)), ïîëó÷èì S 0 (ξ )1∂τ j00∂λk Γij = −∂λS (ξi − ξj )=4πi k S 0 (ξi )∂λjS 00 (ξi − ξj ) ∂τS 0 (ξj )∂τ1 00∂λk S 0 (ξj )∂+S(ξ−ξ)−=−λijk4πiS 0 (ξi ) ∂λj S 0 (ξi )∂λj∂ 2τ ∂τ ∂λk S 0 (ξi ) S 0 (ξj ) 00000+ 0S (ξi − ξj ).−S (ξj )S (ξi − ξj )∂λj (S 0 (ξi ))2S (ξi )∂λk λjÂû÷èñëèì ïîäðîáíî êàæäóþ èç ïðîèçâîäíûõ:∂λk S 0 (ξj ) = S 00 (ξj )=∂ξj∂τ+ Ṡ 0 (ξj )=∂λj∂λk ∂τ1 001∂τS (ξj ) ζ1 (ξk −ξj , τ 0 )−ζ1 (ξk , τ 0 )+(2S 00 (ξj )ζ2 (ξj , τ )−2S 0 (ξj )℘2 (ξj , τ ))=4πi∂λk 4πi∂λj ∂τ1 001 00S (ξj ) ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ) − ζ1 (ξk , τ 0 )S (ξj ) ζ2 (ξj , τ 0 )+=+4πi∂λk 4πi11 ∂τ00000+S (ξj + ) − S (ξj ) ℘2 (ξj , τ ) − S (ξj + )=22 ∂λk ∂τ1 00=S (ξj ) ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ) − ζ1 (ξk , τ 0 ) + ζ2 (ξj , τ 0 ) − S 0 (ξj )℘2 (ξj , τ 0 )+4πi∂λk11+S 00 (ξj )S 0 (ξj + ) + S 0 (ξj )S 00 (ξj + ).22Ïîñëåäíèé ÷ëåí, êàê ìû óæå ïîêàçûâàëè âûøå, ðàâåí íóëþ.
Èòàê, ∂τ1 00=S (ξj )(ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ) − ζ1 (ξk , τ 0 ) + ζ2 (ξj , τ 0 )) − S 0 (ξj )℘2 (ξj , τ 0 )4πi∂λk ∂τ1 00000=S (ξj )(ζ1 (ξk − ξj , τ ) − ζ1 (ξk , τ ) + 2ζ2 (ξj , τ )) − 2S (ξj )℘2 (ξj , τ ).4πi∂λk∂λk S 0 (ξj ) =Àíàëîãè÷íî ∂τ1 00S (ξi )(ζ1 (ξk − ξi , τ 0 ) − ζ1 (ξk , τ 0 ) + ζ2 (ξi , τ 0 )) − S 0 (ξi )℘2 (ξi , τ 0 )=4πi∂λk ∂τ1 00000=S (ξi )(ζ1 (ξk − ξi , τ ) − ζ1 (ξk , τ ) + 2ζ2 (ξi , τ )) − 2S i(ξj ℘2 (ξi , τ ).4πi∂λk∂λk S 0 (ξi ) =∂ 2τ1∂τ ∂τ=2℘1 (ξk − ξj , τ 0 ).∂λk λj4πi∂λk ∂λj93∂λk S 00 (ξi − ξj ) = S 000 (ξi − ξj )(∂ξk∂τ∂ξi−) + Ṡ 00 (ξi − ξj ).∂λk ∂λj∂λkÂû÷èñëèì åå ÷àñòè. Òàê êàê ∂τ1 ∂ξi00=ζ1 (ξk − ξi , τ ) − ζ1 (ξk , τ ),∂λk4πi∂λk ∂τ∂ξj1 00=ζ1 (ξk − ξj , τ ) − ζ1 (ξk , τ ),∂λk4πi∂λkòîãäà ∂τ∂ξi∂ξk1 00−=ζ1 (ξk − ξi , τ ) − ζ1 (ξk − ξj , τ ).∂λk ∂λj4πi∂λkÑëåäîâàòåëüíî,2 000S (ξi − ξj )ζ2 (ξi − ξj , τ ) − S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ )−4πi−S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ) − S 0 (ξi − ξj )℘02 (ξi − ξj , τ ) =Ṡ 00 (ξi − ξj ) ==1 000S (ξi − ξj )2ζ2 (ξi − ξj , τ ) − 4S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ) − S 0 (ξi − ξj )2℘02 (ξi − ξj , τ ) .4πiÏîëó÷èëè∂λk S 00 (ξi − ξj ) =1 000S (ξi − ξj )(ζ1 (ξk − ξi , τ 0 ) − ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ))+4πi ∂τ+S 000 (ξi − ξj )2ζ2 (ξi − ξj , τ ) − 4S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ) − S 0 (ξi − ξj )2℘02 (ξi − ξj , τ )=∂λk1 000=S (ξi − ξj )(ζ1 (ξk − ξi , τ 0 ) − ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ) + 2ζ2 (ξi − ξj , τ ))−4πi ∂τ0000−4S (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ) − S (ξi − ξj )2℘2 (ξi − ξj , τ ).∂λkÇàìåíèâ τ íà τ 01 000∂λk S (ξi −ξj ) =S (ξi −ξj )(ζ1 (ξk −ξi , τ 0 )−ζ1 (ξk −ξj , τ 0 )+ζ2 (ξi −ξj , τ 0 ))−4πi ∂τ000000−2S (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ) − S (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ).∂λk00Òåïåðü ñîáåðåì âñå ïîëó÷åííîå âîåäèíî:∂λk Γij =94 S 00 (ξ − ξ )1 2 h 00ij000= −()S (ξj )(ζ1 (ξk − ξj , τ ) − ζ1 (ξk , τ ) + 2ζ2 (ξj , τ )) − 2S (ξj )℘2 (ξj , τ )+04πiS (ξi )S 0 (ξj ) 000+ 0S (ξi − ξj )(ζ1 (ξk − ξi , τ 0 ) − ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ) + ζ2 (ξi − ξj , τ 0 ))−S (ξi )−2S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ 0 ) − S 0 (ξi − ξj )℘02 (ξi − ξj , τ 0 ) −S 0 (ξj )S 00 (ξi − ξj ) 00000S(ξ)(ζ(ξ−ξ,τ)−ζ(ξ,τ)+2ζ(ξ,τ))−2S(ξ)℘(ξ,τ)+i1 ki1 k2 ij2 i(S 0 (ξi ))2i ∂τ ∂τS 0 (ξj ) 00+ 0S (ξi − ξj )2℘1 (ξk − ξj , τ 0 )=S (ξi )∂λk ∂λj1 2 1 h 00= −() 0S (ξi −ξj )S 00 (ξj )(ζ1 (ξk −ξj , τ 0 )−ζ1 (ξk , τ 0 )+2ζ2 (ξj , τ ))−2S 00 (ξi −ξj )S 0 (ξj )℘2 (ξj , τ )+4πi S (ξi )0+S (ξj ) S 000 (ξi − ξj )(ζ1 (ξk − ξi , τ 0 ) − ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ) + ζ2 (ξi − ξj , τ 0 ))−000000−2S (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ) − S (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ) −−S 0 (ξj )S 00 (ξi − ξj ) 00S 0 (ξj )S 00 (ξi − ξj ) 000−S (ξi )(ζ1 (ξk −ξi , τ )−ζ1 (ξk , τ )+2ζ2 (ξi , τ ))−2S (ξi )℘2 (ξi , τ )+S 0 (ξi )S 0 (ξi )i ∂τ ∂τ.+S 0 (ξj )S 00 (ξi − ξj )2℘1 (ξk − ξj , τ 0 )∂λk ∂λjÒàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû Ãèááîíñà-Öàðåâà è óðàâíåíèÿ(AI.17), ìû ïîëó÷èëè∂λk Γij = −×1(4πi)2 S 0 (ξi )∂τ ∂τ×∂λj ∂λkS 000 (ξi − ξj )S 0 (ξj ) ζ1 (ξk − ξi , τ 0 ) − ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ) + 2ζ2 (ξi − ξj , τ ) −−4S 00 (ξi − ξj )S 0 (ξj )℘2 (ξi − ξj , τ ) − 2S 0 (ξi − ξj )S 0 (ξj )℘02 (ξi − ξj , τ )++ 2S 00 (ξi − ξj )S 0 (ξj )℘1 (ξj − ξk , τ 0 )++ S 00 (ξi − ξj )S 00 (ξj ) −ζ1 (ξk , τ 0 ) + ζ1 (ξk − ξj , τ 0 ) + 2ζ2 (ξj , τ ) −S 0 (ξj ) 00− S (ξi − ξj )S (ξi ) 0−ζ1 (ξk , τ ) + ζ1 (ξk − ξi , τ ) + 2ζ2 (ξi , τ ) +S (ξi )000+ 2S (ξi − ξj )S (ξj ) ℘2 (ξi , τ ) − ℘2 (ξj , τ ).0000Íàïîìíèì, ÷òî τ 0 = τ2 .
Ôóíêöèè ζ2 (x, τ ), ℘2 (x, τ ) è ℘02 (x, τ ) ìîãóò áûòüïðåîáðàçîâàíû â ôóíêöèè ζ2 (x, τ 0 ), ℘2 (x, τ 0 ) and ℘02 (x, τ 0 ) ñ ïîìîùüþ(AI.21), (AI.22) (è ïðîèçâîäíîé îò (AI.22)).  òåðìèíàõ τ 0 :∂τ ∂τ S 0 (ξj )1×−∂λk Γij =(4πi)2 ∂λj ∂λk S 0 (ξi )95×S (ξi − ξj )S (ξj ) ζ1 (ξk − ξi ) − ζ1 (ξk − ξj ) + ζ2 (ξi − ξj ) −0000−2S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj ) − S 0 (ξi − ξj )S 0 (ξj )℘02 (ξi − ξj )++ 2S 00 (ξi − ξj )S 0 (ξj )℘1 (ξk − ξj )+S 00 (ξj ) 00−ζ1 (ξk ) + ζ1 (ξk − ξj ) + ζ2 (ξj ) −+ S (ξi − ξj ) 0S (ξj )S 00 (ξi ) 00− S (ξi − ξj ) 0−ζ1 (ξk ) + ζ1 (ξk − ξi ) + ζ2 (ξi ) +S (ξi )+ 2S 00 (ξi − ξj ) ℘2 (ξi ) − ℘2 (ξj ).Íàïèøåì ïîäðîáíîΓij = −Γij Γjk + Γik Γkj − Γik Γij = (1 S 0 (ξj ) 00∂τS(ξ−ξ),ij4πi S 0 (ξi )∂λj∂τ S 0 (ξk ) 00∂τ1 2 h S 0 (ξj ) 00)S(ξ−ξ)S (ξj − ξk )+ij004πiS (ξi )∂λj S (ξj )∂λk∂τ S 0 (ξj ) 00∂τS 0 (ξk ) 00S(ξ−ξ)S (ξk − ξj )−ik00S (ξi )∂λk S (ξk )∂λj∂τ S 0 (ξj ) 00∂τ iS 0 (ξk ) 00S (ξi − ξk )S(ξ−ξ)=− 0ijS (ξi )∂λk S 0 (ξi )∂λj+1 2 S 0 (ξj ) ∂τ ∂τ h S 0 (ξk ) 00=()S (ξi − ξj ) S 00 (ξj − ξk ) + S 00 (ξi − ξk ) S 00 (ξk − ξj ) −4πi S 0 (ξi ) ∂λj ∂λk S 0 (ξj )−iS 0 (ξk ) 0000S(ξ−ξ)S(ξ−ξ).ikijS 0 (ξi )Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåìS 0 (ξj )∂τ ∂τ−∂λk Γij − Γik Γij + Γij Γjk + Γik Γkj =h(ξi , ξj , ξk ),20(4πi) S (ξi ) ∂λj ∂λk(AVIII.1)ãäå000h = S (ξi − ξj ) ζ1 (ξk − ξi ) − ζ1 (ξk − ξj ) + ζ2 (ξi − ξj ) −−2S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj ) − S 0 (ξi − ξj )℘02 (ξi − ξj )++ 2S 00 (ξi − ξj )℘1 (ξj − ξk ) +96S 00 (ξj ) + S (ξi − ξj ) 0−ζ1 (ξk ) + ζ1 (ξk − ξj ) + ζ2 (ξj ) −S (ξj )S 00 (ξi ) 00− S (ξi − ξj ) 0−ζ1 (ξk ) + ζ1 (ξk − ξi ) + ζ2 (ξi ) +S (ξi )00+ S (ξi − ξj ) ℘2 (ξi ) − ℘2 (ξj ) −00S 0 (ξk ) 00S 0 (ξk ) 0000− 0S (ξk − ξi )S (ξi − ξj ) + 0S (ξk − ξj )S 00 (ξi − ξj )+S (ξi )S (ξj )+ S 00 (ξk − ξi )S 00 (ξk − ξj ).Çäåñü âñå ζ− è ℘−ôóíêöèè çàâèñÿò îò τ 0 .
