Автореферат (Структурирование опционных продуктов на основе метода оптимизации конечных денежных выплат), страница 3

Страйки опционов отражают текущуюрыночную ситуацию на рынке FORTS;7. Введем следующие обозначения для опционов на фьючерсы на акции РАО«ЕЭС»:а) страйки 6-ти биржевых опционов колл на фьючерс на акции РАО «ЕЭС»обозначим множеством:SC = (SC1, SC2, SC3, SC4, SC5, SC6), SC1 < … < SC6,13(1)б) аналогично обозначим страйки 6-ти биржевых опционов пут множеством:SP = (SP1, SP2, SP3, SP4, SP5, SP6), SP1 < … < SP6,(2)в) конечная выплата опциона колл в момент его экспирации Texpiry будетсоставлять:Конечная денежная выплата опциона колл = max (M-SCi;0),(3)где M — цена спот в момент экспирации.Аналогично для опциона пут получим:Конечнаяденежнаявыплатаопционапут=max(SPj-M;0);(4)8. Предполагается, что при составлении опционного продукта банк можеткупить или продать не больше E опционов с одним страйком, где E > 0 (дробное илицелое число), а его значение зависит от текущей ликвидности опционов:а) Количество купленных или проданных коллов на фьючерс на акции РАО«ЕЭС» обозначим вектором:X = (X1, …,X6),(5)Суммарную выплату по колл-позициям в момент времени Texpiryможновыразить следующим образом:Σ k=1..6 (Xk · max (M-SCk;0)).(6)б) Аналогично обозначим количество купленных/проданных путов вектором:Y = (Y1, … ,Y6), | Yi.| ≤ E.(7)Суммарная выплата по путам в момент Texpiry составит:Σ k=1..6 (Yk · max (SPk-M;0));(8)9.

Котировочные величины премий опционов колл и пут на фьючерс на акцииРАО «ЕЭС» в момент времени Tnow обозначим векторами P и Q соответственно:P = (P1, … , P6);(9)Q = (Q1, …, Q6).(10)где Pi> 0 и Qj >0;10. Фактор наличия BID-ASK спрэда18 в диссертационном исследованииучитывается путем умножения конечной премии биржевого опциона, с учетомкупленного или проданного количества опционов на коэффициент 0,9 для цены BID и1,1 для цены ASK;18BID-ASK спрэдом называется разница между ценой покупки и продажи финансового актива:Цена BID - котировочная премия покупки финансового актива,Цена ASK - котировочная премия продажа финансового актива.1411. Суммарную денежную выплату опционного продукта, составленного (всамом общем случае) из 6-ти биржевых опционов колл и 6-ти биржевых опционов путв различных количествах, можно записать в виде следующей функции (26), зависящейот текущей цены основного актива, премий и долей биржевых опционов в портфеле:F(P,Q,X,Y,M) = Σ k=1..6 (Xk·(-(PBid(k) или PAsk(k))+ max (M-SCk;0)) + Yk· (-(QBid(k) илиQAsk(k)) + max (SPk-M;0)))19.Дляпостроения(11)каждогоопционногопродуктанеобходиморешатьматематическую задачу линейной оптимизации для нахождения оптимальных долейопционов колл и пут при заданных условиях.Задачей линейной оптимизации будет нахождение таких значений долейбиржевых опционов колл X = (X1, …, X6) и биржевых опционов пут Y = (Y1, …,Y6),которые приводят к максимальному значению целевой функции конечных денежныхвыплат F(P,Q,X,Y,M), при определенном прогнозе, и удовлетворяют системелинейных ограничений нового продукта в соответствии с запросами клиента, аименно:•Иметь ограниченные потери на одном/различных уровнях, принеблагоприятном движении цены основного актива;•Соответствоватьпрогнозуклиентаотносительнообщегодвижения цены.

Возможные варианты: монотонная «бычья», монотонная«медвежья», комбинации «бычьих», «медвежьих», «нейтральных» наклонов навсем промежутке цен основного актива соответствующих, в том числе прогнозупо падению или росту волатильности цены основного актива;•Иметь указанную клиентом положительную, бесплатную, илиотрицательную стоимость.Запишем более подробно возможные задачи линейной оптимизации и системулинейных ограничений:Задача линейной оптимизации конечной денежной выплаты опционногопродукта на дату экспирации при определенном прогнозе ME может быть полученапутем максимизация функции конечных денежных выплат при различных видахпрогнозов изменения цены основного актива: обычном, бимодальном и ограниченнойвеличине E долей биржевых опционов колл и пут с одним страйком.При обычном прогнозе изменения цены основного до ME задача линейнойоптимизации будет выглядеть следующим образом:19Здесь и далее платежи опционного продукта не учитывают процентную ставку.В реальности необходимо дисконтировать разнопериодные платежи.15max F(P,Q,X,Y,ME) = Σ k=1..6 (Xk·(-(PBid(k) или PAsk(k))+max (ME-SCk;0)) +Yk·(-(QBid(k)или QAsk(k))+max(SPk-ME;0)))>0(12)При бимодальном прогнозе изменения цены основного до ME1 или ME2 задачалинейной оптимизации усложняется, так как нужно найти оптимальные значения придвух прогнозных ценах ME1 или ME2.

Решением данной проблемы может бытьмаксимизация произведения, среднего геометрического произведения или полусуммыфункций конечных выплат в этих прогнозных точках при условии положительныхзначений функций конечных выплат:а) Максимизация произведения функций выплат при двух прогнозных ценахME1 или ME2:max ((F(P,Q,X,Y,ME1)·F(P,Q,X,Y,ME2)),(13)б) Максимизация полусуммы функций выплат при двух прогнозных ценах ME1или ME2:⎛ F ( P , Q, X , Y , M E 1 + F ( P , Q , X , Y , M E 2 ⎞max⎜⎟ > 0.2⎝⎠(14)При этом значения функций конечных выплат при всех прогнозных ценахдолжны быть больше нуля:F(P,Q,X,Y,ME1) = Σ k=1..6 (Xk·(-(PBid(k) или PAsk(k))+max (ME1-SCk;0)) +Yk·(-(QBid(k) илиQAsk(k))+max (SPk-ME1; 0))) > 0,(15)F(P,Q,X,Y,ME2) = Σ k=1..6 (Xk·(-(PBid(k) или PAsk(k))+max (ME2-SCk;0)) +Yk·(-(QBid(k) илиQAsk(k))+max (SPk -ME2;0))) > 0.(16)Возможные условия системы линейных ограничений задачи линейнойоптимизации:1. Условие ограничения потенциальных потерь при неблагоприятном движениицены основного актива может быть достигнуто различными способами и отличаетсядля разных опционных продуктов:Если в разрабатываемом продукте планируется ограничить конечные выплатыопределенной величиной L на промежутке цены основного актива [0;min(SC1;SP1)], тодолжны выполняться следующие условия горизонтальности конечных выплат на этомпромежутке цены основного актива:а) Функция конечных денежных выплат в точке равной минимальному страйкубиржевых опционов должна равняться отрицательной величине максимальных потерьустанавливаемых инвестором:F (P, Q, X, Y, M= min (SC1;SP1)) = L,16(17)б) Сумма всех долей путов биржевых опционов должна быть больше или равнанулю:Σ k=1..6 Yk ≥ 0.(18)Если в разрабатываемом продукте планируется ограничить конечные выплатыопределенной величиной L на промежутке цены основного актива [maх(SC6;SP6);+∞],то должны выполняться следующие условия горизонтальности конечных выплат наэтом промежутке цены основного актива:а) Сумма всех долей коллов биржевых опционов должна быть больше илиравна нулю, а именно:Σ k=1..6 Xk ≥ 0,(19)б) Функция конечных денежных выплат в точке максимального страйкабиржевых опционов должна равняться отрицательной величине максимальных потерьустанавливаемых инвестором:F (P, Q, X, Y, M= max (SC6;SP6)) = L.(20)Если в разрабатываемом продукте конечные денежные выплаты на промежуткецены основного междуMi, Mj є [min (SC1;SP1); max (SC6;SP6)] определенынеположительной величиной L, то должны выполняться следующие условия (36-38)горизонтальности конечных выплат на этом промежутке цены основного актива:а) Разница суммы долей опционов колл со страйками до Mi и суммы долейбиржевых опционов пут со страйками больше Mj должна быть равна нулю:Dk = Σ Sci ≤ Mi Xi − Σ Spj ≥ Mj Yj = 0,(21)б) Функция конечных денежных выплат в точках Mi и Mj должна равнятьсяотрицательной величине максимальных потерь устанавливаемых инвестором:F (P, Q, X, Y, M=Mi) =L,(22)F (P, Q, X, Y, M=Mj) =L.(23)2.

Условие наклона функции конечных денежных на промежутке междусоседними страйками Sk;Sk+1є [min(SC1;SP1);max(SC6;SP6)] определяется исходя изразницы суммы долей биржевых опционов колл со страйком меньше Sk и суммы долейбиржевых опционов пут со страйками больше Sk+1, а именно:а) «Бычий» наклон между соседними страйками Sk; Sk+1 достигается приположительной разнице суммы долей биржевых опционов колл со страйком меньше Skи суммы долей биржевых опционов пут со страйками больше Sk+1.:Dk = Σ Sci ≤ Sk Xi − Σ Spj ≥ Sk+1 Yj ≥ 0,(24)б) «Медвежий» наклон функции между соседними страйками Sk; Sk+1достигается при отрицательной разнице суммы долей биржевых опционов колл со17страйком меньше Sk и суммы долей биржевых опционов пут со страйками большеSk+1.:Dk = Σ Sci ≤ Sk Xi − Σ Spj ≥ Sk+1 Yj ≤ 0,(25)в) «Нейтральный» или горизонтальный наклон функции между соседнимистрайками Sk; Sk+1 достигается при нулевой разнице суммы долей биржевых опционовколл со страйком меньше Sk и суммы долей биржевых опционов пут со страйкамибольше Sk+1.:Dk = Σ Sci ≤ Sk Xi − Σ Spj ≥ Sk+1 Yj = 0.(26)Условие наклона функции конечных денежных на промежутке цен основногоактива [0;min(SC1;SP1)] определяется исходя суммы долей всех биржевых опционовпут.а) «Бычий» наклон функции конечных денежных на промежутке цен основногоактива [0;min(SC1;SP1)] получается при положительной сумме долей всех биржевыхопционов пут:Σ k=1..6 Yk > U,(27)Положительная величина U отвечает за степень «бычьего» наклона.б) «Медвежий» наклон функции конечных денежных на промежутке ценосновного актива [0; min(SC1;SP1)] получается при отрицательной сумме долей всехбиржевых опционов пут:Σ k=1..6 Yk < U,(28)Отрицательная величина U отвечает за степень «медвежьего» наклона.в) «Нейтральный» или горизонтальный наклоны функции конечных денежныхна промежутке цен основного актива [0;min(SC1;SP1)] получается при нулевой суммедолей всех биржевых опционов пут:Σ k=1..6 Yk= 0.(29)Условие наклона функции конечных денежных на промежутке цен основногоактива [max(SC6;SP6);+∞] определяется исходя суммы долей всех биржевых опционовколл:а) «Бычий» наклон функции конечных денежных на промежутке ценыосновного актива [max(SC6;SP6);+∞] получается при положительной сумме долей всехбиржевых опционов колл:Σ k=1..6 Xk > U,Положительная величина U отвечает за степень «бычьего» наклона.18(30)б) «Медвежий» наклон функции конечных денежных на промежутке ценыосновного актива [max(SC6;SP6);+∞] получается при отрицательной сумме долей всехбиржевых опционов колл:Σ k=1..6 Xk< U,(31)Отрицательная величина U отвечает за степень «медвежьего» наклона.в) «Нейтральный» или горизонтальный наклон функции конечных денежных напромежутке цены основного актива [max(SC6;SP6);+∞] получается при нулевой суммедолей всех биржевых опционов колл:Σ k=1..6 Xk= 0.(32)3.