Диссертация (Межвременной систематический риск определение детерминант и портфельная оптимизация), страница 5

Таким образом, наоснове GARCH моделей получено шесть оценок бета коэффициентов для29каждого актива: три для нормального распределения и три для распределенияСтьюдента.1.3.4 Полупараметрическая регрессияПолупараметрическиемоделиявляютсякомпромиссоммеждунепараметрическими и параметрическими спецификациями и являютсядовольно популярным методом гибкого оценивания. Их удобно использоватьв случаях, когда, например, функциональная зависимость от некоторыхрегрессоров неизвестна или когда полностью непараметрические методыневозможно использовать в силу проклятия размерности.

Такого рода моделиудобно использовать и если неизвестно, как регрессоры, линейно входящиев модель, зависят от других переменных. Эта проблема относится и крыночной модели, в рамках которой предполагается линейная зависимостьдоходности актива от параметров альфа и бета, но неизвестно, от чегозависят последние.Существует много видов полупараметрических моделей, однако, дляцелей настоящего исследования наиболее подходит модель с гладкими(переменными) коэффициентами, предложенная Хасти и Тибширани [Hastie,Tibshirani, 1993]. Применительно к рыночной модели она выглядитследующим образом:Ri ,t   i ,t   i ,t * Rm,t   i ,t ,  i ,t  f1,i (t / T ),  i ,t  f 2,i (t / T ), i ,t ~ N (0,  2 )(18)iГде T - это количество наблюдений.

Вид функций f1,i (t / T ) и f 2,i (t / T )неизвестен и плюс модели заключается в том, что не требуется оценивать ихдействительный вид. Однако предполагается, что альфа и бета некимобразом зависят от времени. Обоснование этого предположения заключаетсяв том, что, так как альфа и бета ненаблюдаемые переменные, то сложно30определить, какие факторы, действительно, влияют на их динамику, носправедливо рассуждение о том, что переменная времени с этими факторамидолжна быть связана.

Так, в ряде статей [Eisenbeiss et al., 2007; Esteban, OrbeManadaluniz, 2010] также делается предположение о функциональнойзависимости параметров альфа и бета от фактора времени.Непараметрические оценки альфа и бета коэффициентов в моментвремени t рассчитываются путем минимизации следующей функции:Tmin( i ,t , i ,t )Ks 1hit ,sh1  t  s ( Ri ,s   i ,t   i ,t Rm,s ) 2 , K t ,is  hi K  Thi (19)Где K () - это ядерная функция; hi - ширина окна, определяющая степеньсглаживания.

Выбор вида ядерной функции и ширины окна составляютосновную проблему при оценке этой модели. Причем ядерная функцияопределяет степень гладкости функций f1,i (t / T ) и f 2,i (t / T ) , а ширина окнаотвечает за точность восстанавливаемой зависимости.Использовались три вида ядерной функции: 1  t  s 2 t s1  exp  1) Гауссовская: K Th2Th2 i   i  (20) 3   t  s 2  ,  1   t  s   1 t  s   1   Th    4   Th  2) Епанечникова: K  i   i  Thi   0 , otherwise(21)311t s t  s   , 1   Th   1   23) Равномерная: K  i  Thi  0 , otherwise(22)Ширина окна была выбрана с помощью метода кросс-валидации наоснове наименьших квадратов, который подробно описан в работе Ли иРасин [Li, Racine, 2010].

Данный метод полностью диктуется вводимымиданными.Таким образом, оценки альфа и беты рассчитываются как:ˆ i ,t   T    K th,is X s X sT ˆ  i ,t   s 11 TKs 1hit ,s(23)X s Ri ,sГде X s  (1 Rm,t ) , а Ri ,s - это доходность актива i в момент времени s.Отметим, что при hi   коэффициенты менее изменчивы во времени иих оценки приближаются к оценкам обычной регрессии с постояннымикоэффициентами. Напротив, чем меньше показатель ширины окна, тем менеесглаженными будут оценки.Таким образом, на основе полупараметрической регрессии полученытри оценки альфа и бета для каждого актива в зависимости от вида ядернойфункции.

Для прогноза альфа и бета так же, как и в случае с МНК, былаиспользована скользящая полупараметрическая регрессия, благодаря которойбыли получены прогнозные значения коэффициентов.1.3.5 Модель с Марковскими переключениямиДаннаямодельотноситсякклассумоделейсМарковскимипереключениями, представленных в работе Хамильтона [Hamilton, 1989].Они характеризуются тем, что переключения между различными режимами32следуют некой ненаблюдаемой переменной st , которая определяется изнекого набора состояний ( s1 ,…, s m ). Таким образом, модель принимаетследующий вид:RH t  Dt Rt Dt i ,t   i ,st   i ,st * Rm,t   i ,t ,  i ,t ~ N (0, i2,st )(24)Так, параметры альфа и бета отбираются исходя из текущего состоянияst .

В каждый момент времени t переключение режимов определяетсяматрицей переходов. В модели с двумя возможными состояниями, матрицапереходных вероятностей будет выглядеть как:12    11  21  22 (25)Где 11 определяет вероятность того, что процесс останется в первомсостояния, а 12 отражает вероятность перехода из состояния 1 в состояние 2.Аналогичным образом  22 и  21 обозначают вероятности сохранениясостояния 2 и перехода из состояния 2 в состояние 1, соответственно.Однако, как мы говорили ранее, состояние st ненаблюдаемое, поэтомумы не можем точно сказать, что модель находилась в том или иномсостоянии в момент времени t.

Тем не менее, мы можем оценитьвнутривыборочныеивневыборочные(прогнозные)бетачерезтакназываемый алгоритм сглаживания, фильтрации и предсказания состояний(более подробно о методе написано в работе Ефрэма и Мерхава [Ephraim,Merhav, 2002]):  i ,t  m      i , j * P( st  j | ri ,1 ,..., ri ,T , rm,1 ,..., rm,T ) i ,t  k 1(26)33 t ( j) t ( j ), for 1  t  TLTP( s t  j | ri ,1 ,..., ri ,T , rm,1 ,..., rm,T )  t T t ( j ) , for T  t LT(27)Где  t ( j ) и  t ( j ) - это прямые и обратные вероятности из алгоритма«прямого-обратного» хода [Rabiner, 1989], а LT - это значение функциимаксимального правдоподобия.Таким образом, в момент времени t  T внутривыборочные бета и альфапредставляют собой средневзвешенные по сглаженной вероятности альфа ибета состояний j.

Что касается прогнозного периода ( T  t ), то значениявычисляются на основе матрицы переходов в предыдущий момент времениt T . Это означает, что вневыборочные или прогнозные бета и альфапредставляют собой средневзвешенные по вероятности предсказаниязначения альфа и бета состояний j. Такой же подход был использован вработе Мернье и Булла [Mergner, Bulla, 2008].В этой модели используется только два состояния, т.е. в данном случаеj=2. Автором были также протестированы другие варианты, но они непривели к улучшению результатов.

Кроме того, Шен [Shen, 1994] показал всвоей работе, что два состояния хорошо описывают модель CAPM, адобавление большего количества состояний осложняет процесс оптимизациифункции правдоподобия.1.3.6 Выбор наилучшей моделиВсе четыре метода описанные выше и МНК сравнивались дляопределения наилучшей модели отдельно для анализируемого и прогнозногопериодов.Вкачествевнутривыборочнойкритериев(in-sample)былиииспользованывневыборочнойпоказатели(out-sample)34среднеквадратической ошибки (MSE или mean squared error) соответственно.Первый рассчитывался как:SMSEi  ei2,tt 1SS (Restimatedi ,tt 1 Ri ,t ) 2(28)SГде ei ,t - это величина ошибки прогноза актива i для периода времени t.

S– это количество наблюдений в анализируемом периоде.Аналогичным образом была оценена вневыборочная ошибка прогноза:T  S 1MSEi et 02i , t 1T ST  S 1 (Rt 0predictedi , t 1|t Ri ,t 1 ) 2(29)T SСоответственно чем меньше показатель MSE, тем точнее модельныйпрогноз.Такимобразом,модельсминимальнымзначениемMSEпризнавалось наилучшей для каждого актива.1.4 Динамические модели систематического риска применительно какциям российского фондового рынкаВ таблице 2 показаны результаты сравнения моделей по показателювнутривыборочной MSE (полные таблицы со значениями MSE указаны вприложении).Таблица 2. Наилучшие модели для анализируемого периода.МодельКоличество активов, длякоторых моделей являетсянаилучшейDCC-GARCH (нормальное распр.)0 / 34DCC-GJR-GARCH (нормальное распр.)0 / 34ADCC-GJR-GARCH (нормальноераспр.)0 / 3435DCC-GARCH (расп.

Стьюдента)0 / 34DCC-GJR-GARCH (расп. Стьюдента)0 / 34ADCC-GJR-GARCH (расп. Стьюдента)0 / 34Фильтр Калмана13 / 34Полупараметрическая регрессия(Гауссовская)4 / 34Полупараметрическая регрессия(Епанечникова)2 / 34Полупараметрическая регрессия(Равномерная)6 / 34Модель с Марковскимипереключениями9 / 34МНК0 / 34Согласно результатам для анализируемого периода, фильтр Калманаявляется наилучшей моделью для 13 из 34 активов, полупараметрическаярегрессия – для 12 из 34, а модель с Марковскими переключениями - дляостальных 9 из 34.

Отметим, что полупараметрическая регрессия сГауссовским видом ядерной функций оказалась наиболее эффективной в 4случаях, с ядром Епанечникова – в 2, а с равномерным ядром – в 6 случаях.Ни модели класса GARCH, ни стандартный МНК не оказались наиболееоптимальными моделями ни для одного актива.Чтобы сравнить модели по всей выборке в среднем, был рассчитанпоказатель среднего ранга по внутривыборочным MSE. Для этого покаждому активу моделям был дан ранг от 1 до 12 в зависимости отпоказателя MSE, Таким образом, наиболее точная модель (т.е. с наименьшимзначением MSE) получала ранг 1, а наиболее неточная - 12.

После того кактакая процедура была проделана для всех активов в отдельности, былрассчитан средний ранг для каждой модели по всей выборке. Средние рангимоделей по внутривыборочному MSE представлены на рисунке 1.36Полупараметрическая регрессия (Равномерная)Фильтр КалманаМодель с Марковскими переключениямиПолупараметрическая регрессия (Епанечникова)Полупараметрическая регрессия (Гауссовская)OLSADCC-GJR-GARCH (расп. Стьюдента)DCC-GJR-GARCH (расп. Стьюдента)ADCC-GJR-GARCH (нормальное распр.)DCC-GJR-GARCH (нормальное распр.)DCC-GARCH (расп.