Диссертация (Межвременной систематический риск определение детерминант и портфельная оптимизация), страница 4

Доходностивсех активов были рассчитаны как:Ri ,t  (ln Pi ,t  ln Pi ,t 1 )  100%(1)Где Pi ,t - это цена актива i в момент времени t.1.3 Динамические модели систематического рискаЧтобы определить межвременные бета компаний, в работе используютсячетыре подхода: фильтр Калмана, многомерные модели класса GARCH,полупараметрическая регрессия и модель Маркова с переключениемрежимов. В случае фильтра Калмана использован такой вид рыночноймодели, в которой оба ее параметра, альфа и бета, имеют динамическоеповедение. В качестве моделей класса GARCH были использованы тримодели: модель динамической условной корреляции (DCC-GARCH), модельдинамической условной корреляции с учетом асимметрии в уравненияхусловной волатильности (DCC-GJR-GARCH) и асимметричная модельдинамической условной корреляции с учетом асимметрии в уравненияхусловной волатильности (ADCC-GJR-GARCH). Все три модели GARCH21рассчитывались для двух предположений: о нормальном распределении ираспределенииСтьюдента.Рассматриваемаяспецификацияполупараметрической регрессии также предполагает, что параметр альфа,также как и бета, колеблется во времени.

На базе полупараметрическоймодели были получены три оценки бета в зависимости от вида ядернойфункции: Гауссовской, Епанечникова и равномерной. Таким образом, длякаждого актива были получены 12 оценок бета (учитывая оценку постояннойбета на основе МНК). Все предложенные модели сравниваются дляопределения наилучшей с точки зрения точности внутривыборочного (insample) и вневыборочного (out-sample) прогноза.1.3.1 Классическая регрессионная рыночная модельРыночная модель (the market model) предполагает оценку бета актива i спомощью следующей регрессии:Ri ,t   i   i Rm,t   i ,t ,  t ~ N (0,  t2 )(2)Где Ri ,t - это доходность актива i в момент времени t; Rm,t - этодоходность рыночного портфеля в момент времени t;  i,t - это нормальнораспределенныеостаткивуравненииактиваi,имеющеенулевоематематическое ожидание и постоянную дисперсию  i2 .Коэффициенты  i и  i - это параметры модели, которые требуетсяоценить.

Параметр  i можно выразить как:i Cov( Ri ,t , Rm,t )Var ( Rm,t )(3)Коэффициент  i (бета) является показателем систематического рискаактива i. С точки зрения теории корпоративных финансов, данный22коэффициент отражает рычаговый (levered) показатель бета в случае акцийкомпаний.Встандартнойрегрессионноймоделизначениябета,превышающие 1, говорят о том, что изменение доходности рыночногопортфеля приводит к большему изменению доходности актива. Такие активыотносятся к активам агрессивного типа. По аналогии активы, чьи бетаменьше 1, относятся к активам оборонительного типа.Вневыборочный прогноз бета на шаг вперед был рекурсивно получен спомощью скользящей регрессии.1.3.2 Фильтр КалманаФильтр Калмана назван в честь Рудольфа Калмана [Kalman, 1960] и былвпервые изобретен для описания системы, состояния которой изменчивы вовремени. Позже он стал применяться во многих областях науки, начиная ссистем динамического управления и заканчивая биоинженерией.

ФильтрКалманаявляетсяалгоритмомдляоцениваниялинейноймоделипространства состояний, которая предполагает систему из уравненийнаблюдений и состояний. Так, рыночная модель представима в следующейформе:Ri ,t   i ,t   i ,t * Rm,t   i ,t ,  i ,t   i ,t 1  i ,t ,  i ,t   i ,t 1  ui ,t i ,t ~ N (0, 2 ), i ,t ~ N (0, 2 ), ui ,t ~ N (0, u2 )ii(4)iСлучайные ошибки  i,t , i,t и ui ,t независимы и нормально распределены. Внашем случае уравнение наблюдений – это уравнений доходности актива i, ауравнения коэффициентов  i,t и  i,t - уравнения состояний.

Согласно Фафф исоавторам [Faff et al., 2000] случайное блуждание или процесс AR(1)наилучшим образом описывает динамику бета, в связи с чем он и был выбранв качестве вида уравнений состояния.23Для описания оценивания такого рода модели перейдем к ее записи втрадиционной форме: yt  Z t xt  d t  t xt  M t xt 1  ct  S t t(5)t ~ N (0,  2 ), t ~ N (0, Qt )Нетрудно увидеть, что в нашем случае будет справедливо (для некогоактива k):  1 0 , ct  d t  0 ,  t   k ,t  , t   k ,t ,yt  Rk ,t , Z t  1 Rm,t  , xt   k ,t  , M t  S t  0 1  k ,t  u k ,t   2k     i , Qt   022Далее0  u2k введемследующиеобозначения:bt|t 1  Et 1 ( xt ) ,bt  Et ( xt ) иPt  Et [(bt  xt )(bt  xt )T ] . Фильтр Калмана состоит из системы 7 следующихрекурсивных уравнений:bt|t 1  M t bt 1  ctP  M P M T  S Q S Tt t 1tt t t t|t 1 yt|t 1  Z t bt|t 1  d tvt  yt  yt|t 1F  Z P Z T  Ht t |t 1 tt tT1bbPZF tt |t 1t |t 1 tt vt P  ( I  P Z T F 1 Z ) Pmt |t 1 tttt |t 1 tЗатемнеизвестныелогарифмическойпараметрыфункциипринимает следующий вид:(6)оцениваютсямаксимальногосправдоподобия,помощьюкоторая24  ln L( )  v2 T1 T ln( 2 )    ln Ft  t 22 t 1 Ft (7)Где T - это количество наблюдений.

В нашем случае неизвестныепараметры - это  2 ,  2 и  u2 .iiiЕдинственное, что требуется для оценки и рекурсивного прогноза спомощью фильтра Калмана, помимо рядов доходностей, – это определитьначальные значения параметров. Для коэффициентов альфа и бета быливзяты начальные значения 0 и 1 соответственно. Однако, чтобы устранитьпотенциальную ошибку от неправильно заданных изначальных значений,первые пять наблюдений использовались для калибровки и не участвовали врезультатах работах.1.3.3 Многомерные GARCH моделиПоказанная ниже методология основана на модели DCC-GARCH(Dynamic Conditional Correlation – Generalized Autoregressive ConditionalHeteroskedasticity), предложенной Энглом [Engle, 2002], и модели ADCCGARCH(AsymmetricDynamicConditionalCorrelation–GeneralizedAutoregressive Conditional Heteroskedasticity), которая была предложенаКапиелло и соавторами [Capiello et al., 2006].

В работе оцениваетсястандартная DCC-GARCH и две ее модификации, учитывающие асимметриюв условной волатильности – модель DCC-GJR-GARCH и модель ADCC-GJRGARCH. Последняя также учитывает асимметрию и в условной корреляции.Все три модели, а именно: модель динамической условной корреляции(DCC-GARCH), модель динамической условной корреляции с учетомасимметрии в уравнениях условной волатильности (DCC-GJR-GARCH) иасимметричная модель динамической условной корреляции с учетомасимметрии в уравнениях условной волатильности (ADCC-GJR-GARCH) –25применяются для оценивания динамических бета российских отраслевыхиндексов и акций. Модель ADCC-GJR-GARCH по своей структуре должнаобеспечивать наиболее точные оценки, однако введение дополнительныхпеременных, учитывающих асимметрию в уравнениях условной корреляциии волатильностей, уменьшает точность прогноза, что является существеннымминусом.Используются двумерные варианты предложенных моделей, т.е.предложенные модели строятся отдельно для каждой пары рыночныйпортфель–актив.

Рассмотрим двумерную модель для некого актива i ирыночного портфеля m. Доходности активов и рыночного портфелямоделируются как:Ri ,t  i   i ,t , Rm,t   m   m,t ,  t t 1 ~ N (0, H t )(8)Где  i и  m - это константы или средние доходности (mean returns) активаi и рыночного портфеля соответственно;  i,t и  m,t - это остатки в уравнениедоходности актива i и рыночного портфеля соответственно в момент времениt;  t 1 - это вся доступная информация к моменту времени t-1; H t - этовариационно-ковариационная матрица остатков.Вид уравнения для доходностей акций и рыночного портфеляопределяется тем, что он позволяет впоследствии корректно оценитьдинамические бета (как отношение условной ковариации анализируемогоактива и рыночного портфеля к дисперсии рыночного портфеля). Так, оннаиболее часто встречается в типичных работах [Mergner, Bulla, 2008;Choudhry, Wu, 2008].Ковариационно-вариационная матрица H t в моделях DCC и ADCCвыглядит следующим образом:26H t  Dt Rt Dt(9)или hm,th mi ,thmi ,t   hm,thi ,t   00   1 *hi ,t   pmi ,tpmi ,t   hm,t *1   00 hi ,t (10)Где hi ,t и hm,t - это условные дисперсии остатков, а him,t представляетсобой условную ковариацию этих остатков.Корреляционная матрица Rt оценивается различным образом длямоделей DCC и ADCC.

В моделях DCC она определяется как:1Rt  (diag (Qt )) 2 Qt (diag (Qt ))12Qt  (1  1  2 )Q  1 zt 1 zt' 1  2Qt 1 ,Q(11)1 T zt zt' , 1  2  1, 1 ,2  0T t 1Где z t - это стандартизированный остатки в момент времени t ( zt   t /  t );Qt - это ковариационная матрица стандартизированных остатков; Q - этобезусловная ковариационная матрица стандартизированных остатков.Условия,налагаемыенапараметры1и2 ,гарантируютположительную определенность корреляционной матрицы и обеспечиваюттакую ее структуру, при которой однонаправленные колебания доходностиактива и рыночного портфеля усиливают корреляцию.Для модели ADCC в уравнение условной корреляции добавляетсяпараметр, отвечающий за асимметрию:Qt  (1  1  2 )Q  3 N  1 zt 1 zt' 1  2Qt 1  3t 1t'1 ,(12)27N1 Ttt' , 1  2 3  1, 1 ,2 ,3  0T t 1Где t  I [ z t  0]  zt и- это функция, которая равна 1, если z t  0 , и равнаI0 в ином случае, а  обозначает поэлементное умножение; N - этобезусловная ковариационная матрица  t ;  - это максимальное собственное11значение матрицы Q 2 NQ 2 .Параметр 3 отражает асимметрию в условной корреляции и егозначимость означает, что этот эффект наблюдается между активом ирыночным портфелем.

Условия для параметров 1 ,  2 и 3 гарантируютположительную определенность ковариационной матрицыQt в моделиADCC.Кроме отличий моделей в оценивании условных корреляций, такжеразличным образом рассчитываются условные волатильности hi ,t и hm,t изматрицы Dt . Для оценки условных волатильностей использованы двеспецификации. Первая - это простая (simple) GARCH модель [Bollerslev,1986]:hm,t  c1  a1 m2 ,t 1  g1hm,t 12 hi ,t  c2  a2 i ,t 1  g 2 hi ,t 1(13)Также анализировалась GJR-GARCH модель [Glosten et al., 1993],учитывающая асимметрию в условной волатильности активов:hm,t  c1  a1 m2 ,t 1  1 m2 ,t 1I [ m,t 1  0]  g1hm,t 122 hi ,t  c2  a2 i ,t 1  2 i ,t 1I [ i ,t 1  0]  g 2 hi ,t 11  0, 2  0(14)28Где 1 и 2 - коэффициенты, отражающие асимметричные шокиволатильности (asymmetric volatility shocks), аравняется единице, еслиI- это функция, которая t 1  0 , и равняется нулю в ином случае.

Еслипараметры, определяющие эффекты асимметрии, являются значимыми, тоэто говорит о существовании отрицательной асимметрии актива, илидругими словами, о более сильном воздействии негативных шоков наволатильность, чем положительных.Условная ковариация him,t оценивается из корреляционной матрицы Rt иматрицы Dt , а впоследствии используется для нахождения динамическихбета:hmi ,t  pmi ,t hm,t hi ,t it* |  t 1 cov(rm,t , ri ,t |  t 1 )var(rm,t |  t 1 )(15)hmi ,thm,t(16)Логарифмическая функция максимального правдоподобия для всехрассмотренных GARCH моделей выглядит следующим образом:L( )  1 T1(n ln(2 )  ln Dt Rt Dt   tDt Rt Dt   t )2 t 1(17)Где n - это размерность модели (в нашем случае равна 2);  - векторнеизвестных параметров.Аналогичным образом, три представленные модели GARCH былиоценены и для остатков с распределением Стьюдента.