Диссертация (Манипулирование в задаче коллективного принятия решений), страница 18

Индекс I 1 для расширения PWorst3134Рисунок 4.46. Индекс I 10 для расширения PWorst3Рисунок 4.47. Индекс I 1 для расширения PWorst3135Рис. 4.45 - 4.47 подтверждают описанные выше тенденции. Стоиттакже отметить, что в случае данного индекса также имеетсяпериодичность в изменении его значений, причем длина периодаостается такой же, какой она была в случае индекса Нитцана-Келли.Из всех трех индексов наибольший интерес представляют индексыI 1и I 1 , причем в первую очередь с точки зрения анализаманипулируемостиважениндексI 1.Приравнойсвободеманипулирования можно говорить, что правило с большим значениемI 1 лучше. Отметим, что, как и раньше, результат поиска наименееманипулируемого правила зависят от используемого метода расширенияпредпочтений.Рисунок 4.48.

Индекс I 1 для расширения PBest3Обобщим результаты Рис. 4.43-4.48 для случая трех альтернатив вТабл. 4.20. Также приведем итоговые результаты для случая четырех ипяти альтернатив в Табл. 4.21, 4.22.136Таблица 4.20 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуI 1 для 3-х альтернатив и всех правилАгентыLeximin334Bl, IB, N, MMM,FUUR, CCC,Sqpp, S-estC567891011121314~100HIB, NCNIB, NNHNCN~NLeximax3Pl, HMdsBl, IB, N, MMM,FUUR, CCC, Sqpp,S-estPlCНIB, NMMF,C-3,S-estHNCN~NPWorst3PBest3MMM,FUUR, CCC,S-estCPl, HCHCCNIB, NNHNCN~NMMM, FUUR,CCC, S-estHCHIB, NMMF,C-3,S-estHHCN~NПримечание: Bl – Правило Блэка; С – Процедура Кумбса; C-3 – Правило Коуплэнда3; CCC – группа правил Коупленда 1,2,3 ; IB – Процедура исключения Борда; H –Процедура Хара; Mds – Минимальное доминирующее множество; Mwss –Минимальное слабоустойчивое множество; MMF – группа правил: Минимальноенедоминируемое множество, минимальное слабоустойчивое множество, правилоФишбурна; MMM – группа правил: Минимальное доминирующее множество,минимальное недоминируемое множество, минимальное слабоустойчивоемножество; N – Правило Нэнсона; Pl – Правило относительного большинства; S-est –Сильнейшее q-Паретовское правило простого большинства; Sqpp – Сильное qПаретовское правило относительного большинстваТаблица 4.21 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуI 1 для 4-х альтернатив и всех правилАгенты3Leximin4Bl,NLeximax4Pl,HPWorst4NPBest4Pl,H4Bl,IB, MMF,C-3, N, S-estBl,IB, MMF,C-3, N, S-estBl,IB, MMF,C-3, N, S-estBl,IB, MMF,C-3, N, S-est5чнч10111213~100NBlNBlNNN~NNMwssNNNNN~NNBlNBlNNN~NNHNNNHN~N137AR-Lmin4,AR-IC-RL4AR-Lmax4,AR-RL4,AR-DC-RA4Bl,IB, MMF,C-3, N, S-est Bl MwssS-estAR-RA4BlBlBl,IB, MMF,C-3, N, S-est N MwssBl,IB, MMF,C-3, N, S-est Bl MwssNNNNN~NNMusNMusN~NNMusNNN~NПримечание: Bl – Правило Блэка; C-3 – Правило Коуплэнда 3; IB – Процедураисключения Борда; H – Процедура Хара; MMF – группа правил: Минимальноенедоминируемое множество, минимальное слабоустойчивое множество, правилоФишбурна; N – Правило Нэнсона; Pl – Правило относительного большинства; S-est –Сильнейшее q-Паретовское правило простого большинства.Leximax5,PBest5BlBlBlBlBlBlBlBlNBlNBlNBlNBlN~NPl,HPl,HHMwssNNNNNNNNNNNNN~NBlMwssBlMwssBlMwssBlMusBlNNBlNNNNN~NFUURMwssBlMwssBlMwssBlMusNMusNMusNNNNN~NAR-RA5Leximin5,PWorst5345678910111213141516171819~100AR-Lmin5,AR-IC-RA5,AR-IC-RL5AR-Lmax5,AR-DC-RA5,AR-DC-RL5,AR-RL5АгентыТаблица 4.22 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуI 1 для 5-и альтернатив и всех правилBlMwssBlMwssBlMwssBlMusBlBlNBlNNNNN~NПримечание: Bl – Правило Блэка; H – Процедура Хара; MMF – группа правил:Минимальное недоминируемое множество, минимальное слабоустойчивоемножество, правило Фишбурна; Mwss – Минимальное слабоустойчивое множество;N – Правило Нэнсона; Pl – Правило относительного большинства.138Из имеющихся данных по свободе манипулирования можносделать следующие выводы.

Во-первых, для 3-х альтернатив в рядеслучаев (например, 4, 7 и 13 агентов) лучшим правилом становитсяпроцедура Кумбса, которая с точки зрения индекса Нитцана-Келлиникогда не являлась единственной минимально манипулируемойпроцедурой. Во-вторых, практически во всех случаях для любогорассматриваемого числа альтернатив процедура Нэнсона являетсянаименее манипулируемой с точки зрения индекса I 1 . Таким образом,можно сказать, что процедура Нэнсона является лучшей сразу по двумпоказателям.Сопоставимправилапотретьейгруппепоказателей:эффективности манипулирования.4.3 Эффективность манипулированияДанная группа показателей описывается с помощью двухиндексов:I2(среднеговыигрышаотманипулирования)иI3(максимального выигрыша от манипулирования).

Посмотрим, как ведутсебя индексы для группы наименее манипулируемых правил согласностепени манипулируемости.Из представленных на Рис. 4.49 и 4.50 данных можно сделатьнесколько выводов. Во-первых, видно, что результаты сопоставлениясильно отличаются от соответствующих в предыдущих двух разделах,что объясняется абсолютно другой природой индекса: оценивается неналичие возможности манипулировать, а потенциальный выигрыш отэтого действия.139Рисунок 4.49. Индекс I 2 для расширения PBest3Рисунок 4.50. Индекс I 3 для расширения PBest3140С этой точки зрения интересно, что для данного метода правилаБорда и одобряющего голосования обеспечивают значительно болеевысокие значения индекса для любого числа агентов, в то же времяправило относительно большинства, которое было одно из самыхманипулируемых с точки зрения индекса Нитцана-Келли, находится вгруппе правил с самой низкой эффективностью.

Для других методовситуация меняется. Перейдем к рассмотрению правил с минимальнойэффективностью манипулирования.Во-вторых, отметим, что на первый взгляд Рис. 4.49 и 4.50 оченьпохожи. Это действительно так: поскольку I 2 – это средний выигрыш, аI 3 – максимальный, значения последнего индекса всегда большезначения первого. Однако это соотношение значений в общем случае невлияет на характер изменения индекса при росте числа агентов.

Иначеговоря, переход от одного индекса к другому приводит к сдвигу вверхграфика изменения индекса для соответствующего правила. Разумеется,для разных правил величина сдвига может быть различной, поэтомуправила с минимальным значением индексов I 2 и I 3 для одного и тогоже расширения и количества агентов могут быть различные.

Однако вбольшинстве случаев сдвиг (переход от одного индекса к другому) невлияетнасменуправиласминимальнойманипулирования, поэтому в рамкахэффективностьюэтого раздела мыбудемрассматривать только один индекс – I 3 .ВТабл.4.23-4.25представленыправиласминимальнойэффективностью манипулирования с точки зрения индекса I 3 .141Таблица 4.23 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуI 3 для 3-х альтернатив и всех правилАгенты3456789101112Leximin32-A, Bl, IB, N,MMM, FUUR,CCC, Sqpp, S-estCMMM, FUUR,CCC, S-estIB, NMMM, FUUR,CCC, S-estHMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-est13MMM, FUUR,CCC, S-est14MMF, C-3, S-est15MMM, FUUR,CCC, S-estчMMF, C-3, S-estнчMMM, FUUR,CCC, S-est100MMF, C-3, S-estLeximax3PWorst3Pl, HCPl, HPlHHPlPBest3Bl, IB, N, MMM,FUUR, CCC, Sqpp,S-estCMMM, FUUR,CCC, S-estBl, MMF, C-3, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estCMMM, FUUR,CCC, S-estHMMM, FUUR,CCC, S-estHMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-estMMF, C-3, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-estMMF, C-3, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-estMMF, C-3, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMM, FUUR,CCC, S-estMMF, C-3, S-estMMF, C-3, S-estMMF, C-3,S-estHPlMMM,FUUR, CCC,S-estMMF, C-3,S-estPlMMF, C-3,S-estMMM,FUUR, CCC,S-estMMF, C-3,S-estPl, HПримечание: 2-A – Одобряющее голосование q=2; Bl – правило Блэка; CCC – группаправил Коуплэнда 1,2,3; C-3 – правило Коуплэнда 3; IB – правило исключенияБорда; FUUR – группа правил: Фишбурна, Непокрытое множество 1,2 и Ричлсон; H– процедура Хара; MMF – группа правил: Минимальное недоминируемоемножество, минимальное слабоустойчивое множество, правило Фишбурна; MMM –группа правил: Минимальное доминирующее множество, минимальноенедоминируемое множество, минимальное слабоустойчивое множество; N –Правило Нэнсона; Pl – Правило относительного большинства; S-est – Сильнейшее qПаретовское правило простого большинства; Sqpp – Сильное q-Паретовское правилоотносительного большинства142АгентыLeximin4Leximax4PWorst4PBest4AR-Lmin4,AR-IC-RL4AR-Lmax4AR-RA4AR-RL4AR-DCRA4Таблица 4.24 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуI 3 для 4-х альтернатив и всех правил3CCCBl, IB, N,MMF,C-3, S-estCCCBlCCCBlCCCBlCCCBlCCCC-3CCCC-3CCCC-3CCCC-3CCCC-3CCCC-3CCCC-3Pl, HMMMPl, HFUURPl, HFUURPl, HPl, H4567891011121314151617181920нчч59чнч100Pl, HPl, HPlPlPlPlPlHBlCCCHPlC-3CCCC-3CCCC-3CCCC-3CCCC-3CCCC-32-AMMM2-AMMMMusMMMMusMMMMusMMMMusMMMMusMMMS-estMMMS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estPl, HMMMPlPlHMMMMusHS-estMMMS-estMMMS-estMMMS-estMMMS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-est2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-A2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUURMusFUURMusFUURMusFUURMus2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUURFFUURF2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUURMusFUURMusFUURMusFUURMusFUURMusFUURFFUURF2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUUR2-AFUURMusFUURMusFUURMusПримечание: 2-A – Одобряющее голосование q=2; Bl – правило Блэка; CCC – группаправил Коуплэнда 1,2,3; C-3 – правило Коуплэнда 3; IB – правило исключенияБорда; F – правило Фишбурна, FUUR – группа правил: Фишбурна, Непокрытоемножество 1,2 и Ричлсон; H – процедура Хара; Mus - Минимальное недоминируемоемножество, MMM – группа правил: Минимальное доминирующее множество,минимальное недоминируемое множество, минимальное слабоустойчивоемножество; N – Правило Нэнсона; Pl – Правило относительного большинства; S-est –Сильнейшее q-Паретовское правило простого большинства.143AR-IC-RA5,AR-IC-RL5AR-DC-RL5AR-DC-RA5AR-RL5AR-RA5AR-Lmax5AR-Lmin5PBest5PWorst5Leximax5Leximin5АгентыТаблица 4.25 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуI 3 для 5-и альтернатив и всех правил32-A Pl, H 3-A Pl, H FUUR Pl, H FUUR Pl, HPl, HPl, H2-A4Bl Pl, H 3-A Pl, H 2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A5 CCCH3-AH2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A6BlPlBlMus2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A7 CCCPl3-APl2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A8BlPl3-A Mus2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A93-APl3-A 2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A10BlPlS-est Mus2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A11 3-APl3-APlFUUR 2-A FUUR 2-A2-A2-A FUUR12BlPlS-est S-est 2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A13 3-APl3-A 2-A FUUR 2-A FUUR 2-A2-A2-A FUUR14BlHS-est S-est 2-A2-A2-A2-A2-A2-A2-A15 3-A 2-A 3-A 2-A FUUR 2-A FUUR 2-A2-A2-A FUUR16 3-A 2-A S-est S-est Mus2-AMus2-A2-A2-AMus17 3-A 2-A 3-A 2-A FUUR 2-A FUUR 2-A2-A2-A FUUR18 3-A 2-A 3-A S-est Mus2-AMus2-A2-A2-AMusнч 3-A 2-A 3-A 2-A FUUR 2-A FUUR 2-A2-A2-A FUURч3-A 2-A S-est S-est Mus2-AMus2-A2-A2-AMus23 3-A 2-A 3-A 2-A FUUR 2-A FUUR 2-A2-A2-A FUURч3-A 2-A 3-A S-est Mus2-AMus2-A2-A2-AMusнч 3-A 2-A 3-A 2-A FUUR 2-A FUUR 2-A2-A2-A FUUR40 3-A 2-A 3-A S-est Mus2-AMus2-A2-A2-AMus49 3-A 2-A 3-A S-est FUUR 2-A FUUR 2-A2-A2-A FUUR50 3-A 2-A 3-A S-est Mus2-AMus2-A2-A2-AMus59 3-A 2-A 3-A S-est FUUR 2-A FUUR FUUR 2-A2-A FUUR60 3-A 2-A 3-A S-est Mus2-AMus2-A2-A2-AMus69 3-A 2-A 3-A S-est FUUR FUUR FUUR FUUR FUUR 2-A FUURч3-A 2-A 3-A S-estF2-AMus2-A2-A2-AMusнч 3-A 2-A 3-A S-est FUUR FUUR FUUR FUUR FUUR FUUR FUUR100 3-A 2-A 3-A S-estF2-AMusMus2-A2-AMusПримечание: 2-A – Одобряющее голосование q=2; 3-A – Одобряющее голосованиеq=3; CCC – группа правил Коуплэнда 1,2,3; F – правило Фишбурна, FUUR – группаправил: Фишбурна, Непокрытое множество 1,2 и Ричлсон; H – процедура Хара; Mus- Минимальное недоминируемое множество; Pl – Правило относительногобольшинства; S-est – Сильнейшее q-Паретовское правило простого большинства.144Из Табл.