Диссертация (Манипулирование в задаче коллективного принятия решений), страница 13

Индекс Нитцана-Келли для расширения Leximax4Рисунок 4.5. Индекс Нитцана-Келли для расширения Leximin481Рисунок 4.6. Индекс Нитцана-Келли для расширения PBest4Рисунок 4.7. Индекс Нитцана-Келли для расширения AR- RA482Из Рис. 4.4–4.7 можно сделать следующие выводы.

Во-первых,подтверждается наблюдение о наличии периода в изменении значенияиндексаманипулируемости.Очевидно,чтоуотносительногобольшинства, одобряющего и порогового голосований, а также уобратного правила относительного большинства периоды в изменениимеры манипулируемости стали равны 4.Во-вторых, в случае трех агентов и некоторых типов расширенийпредпочтений вновь наблюдается нулевая манипулируемость правилаотносительного большинства. Это объясняется тем, что в случае трехагентоввсеравноможетбытьмаксимум3разныхлучшихальтернативы, сколько бы альтернатив не было.

Теоретически,добавление еще одной альтернативы предоставляет дополнительнуювозможность влиять на результат, однако это будет связано с тем, чтоагент должен вместо своей лучшей альтернативы назвать ту, которую неназвал никто. Таким образом, он перейдет от множественного выбора случшейальтернативойкмножественномувыбору,гделучшаяальтернатива заменена на ту, за которую он решил проголосовать. Длявсех сильных предпочтений этот переход является ухудшением, аследовательно агент не будет так искажать свои предпочтения.

Длянекоторых типов манипулируемость не равна нулю по тем же причинам,что и в случае 3-х альтернатив.В-третьих, правило Блэка является наименее манипулируемым вбольшинствеслучаев,особеннокогдаколичествоучастниковдостаточно велико. Обобщим данные результаты в Табл. 4.5.Из Табл. 4.5 видно, что, начиная с 6 агентов, наименееманипулируемым становится правило Блэка. Стоит отметить несколькофактов.83Таблица 4.5 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуНитцана-Келли для 4-х альтернатив и первой группы правилАгентыLeximin4Leximax4PWorst4PBest4AR-Lmin4AR-Lmax4AR-RA4AR-RL4AR-DC-RA4AR-IC-RL43BlPlBlPlBlPlBlPlPlBl4APPlAPBl2-A2-A2-A2-A2-A2-A5APBlAPBlBlBlBlBlBlBl6BlBlBlBlBlBlBlBlBlBl~ 100~ Bl~ Bl~ Bl~ Bl~ Bl~ Bl~ Bl~ Bl~ Bl~ BlПримечание: 2-A – Одобряющее голосование q=2; AP – Обратное правило отн.большинства; Bl – Правило Блэка; Pl – правило отн.

большинстваВо-первых, результаты поиска минимально манипулируемыхправил очень похожи между собой для метода усреднения рангов сразными дополнениями. Типичная ситуация показана на Рис. 4.7; вдругих методах отличие наблюдается лишь в соотношении значенийиндекса Нитацана-Келли для трех агентов.Во-вторых,подтверждаетсязамечаниео"консервативных"правилах и "консервативных" расширениях, сформулированное выше.Как видно из таблицы 4.5 при методах, основанных на худшихальтернативах (PWorst4 и Leximin4), наименее манипулируемымстановится обратное правило относительного большинства (для 4-х и 5и агентов), в то время как для методов, основанных на лучшихальтернативах (PBest4 и Leximax4) наименее манипулируемо правилоотносительного большинства (для 3-х агентов, а также 4-х дляLeximax4).

Несмотря на то что в остальных случаях правило Блэкаявляется менее манипулируемым, в основном значения индексов у"консервативных" правил для "консервативных" методов меньше, чемдля остальных. То же самое можно сказать и про "неконсервативные"правила.84В-третьих, из таблицы видно, что PBest4 и Leximax4 отличаютсялишь минимально манипулируемым правилом в случае 4-х агентов.Если посмотреть на Рис. 4.4 и 4.6, описывающие эти методы, то видно,что для случая PBest4 значения индекса очень близки, однако разницасоставляетпорядка0,02.ПоэтомувслучаеPBest4наименееманипулируемым действительно является только правило Блэка.Рассмотрим теперь случай пяти альтернатив. Для данного случаярассматриваемые методы дают 12 расширений предпочтений (см.приложение А).

Однако, как и раньше, часть значений совпадает дляразных методов. Значения индекса Нитцана-Келли для данной группыправил, 4-х агентов и пяти альтернатив представлены в Табл. 4.6.Таблица 4.6 – Значения индекса Нитцана-Келли для 4-х агентов и пятиальтернативОдобря Одобря ОбратноеправилоющееющееПравилоотн.голосова голосова БольшинБордание q=2 ние q=3стваМетод8Отн.БольшинствоLeximin5Leximax50,6240,4320,4990,7040,680560,857560,8080,8080,6240,4490,692940,6240,582330,6240,624ARLmin5ARLmax5AR-RA5AR-RL5AR-DCRL5AR-DCRA5AR-ICRL5AR-ICRA5PBest5PWorst5ПравилоБлэкаПороговоеправило0,707940,724810,51560,599390,644520,654740,8080,710530,577420,648270,778560,8080,714210,591330,651360,4490,582330,747940,723560,8080,8080,710530,714190,591330,577420,648270,651360,6240,582330,778560,8080,714210,591330,651360,6240,582330,778560,8080,714210,591330,651360,6240,4490,692940,8080,710530,577420,648270,6240,4490,692940,8080,710530,577420,648270,4320,6240,5890,4990,734560,803560,8080,8080,724840,707940,515590,599550,654740,64452Для расшифровки названий методов и вида расширенных предпочтений см.приложение А885В Табл.

4.6 подтверждаются все те наблюдения, которые былисделаны для случая четырех альтернатив. Очевидно совпадениезначений индексов для разных методов. Стоит отметить, что случай 4-хагентов рассматривался с помощью полного перебора, поэтому дажеесли здесь наблюдается отличие в 5-м знаке (например, AR-RL5 и ARDC-RL5 для правила Борда), это значит, что индексы действительноотличаются.Рассмотрим ряд типичных графиков, характеризующих измененияиндексов.

На Рис. 4.8-4.11 представлены значения индекса НитцанаКелли.Рисунок 4.8. Индекс Нитцана-Келли для расширения AR-RA586Рисунок 4.9. Индекс Нитцана-Келли для расширения AR-RL5Рисунок 4.10. Индекс Нитцана-Келли для расширения PBest587Рисунок 4.11. Индекс Нитцана-Келли для расширения PWorst5Особый интерес в Рис. 4.8 - 4.11 представляют близкие значенияиндекса Нитцана-Келли для минимально манипулируемых правил.Рассмотрим две ситуации: случай 4-х агентов на Рис.

4.9 и случай 3-х наРис. 4.11. В обеих ситуациях индексы рассчитывались для всехвозможных профилей, более того, индексы отличаются во втором знакепосле запятой. Список наименее манипулируемых правил для этогослучая приведен в Табл. 4.7.Таким образом, из Табл. 4.7 видно, что все, что говорилось прослучаи 4 и 5 альтернатив здесь также применимо. Для любогоколичества альтернатив из рассматриваемых правил в большинствеслучаев наименее манипулируемым является правило Блэка. Вследующем разделе это правило, а также правило относительногобольшинства и одобряющее голосования будут сопоставлены составшимися позиционными правилами.88Таблица 4.7 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуНитцана-Келли для 5-и альтернатив и первой группы правилАгентыLeximin5Leximax5PWorst5PBest5AR-Lmin5AR-Lmax5AR-RA5AR-RL5AR-DC-RA5AR-DC-RL5AR-IC-RA5AR-IC-RL53BlPlBlPlBlPlBlPlPlPlBlBl42-APl2-APl2-A2-A2-ABl2-A2-A2-A2-A567 ~ 100Bl AP Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl AP Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlBl Bl Bl ~ BlПримечание: 2-A – Одобряющее голосование q=2; AP – Обратное правило отн.большинства; Bl – Правило Блэка; Pl – правило отн.

большинства4.1.2. Позиционные (порядковые) правила: 2-я частьРассмотрим оставшиеся порядковые правила: процедуры Хара,Кумбса, исключения Борда и процедура Нэнсона. Начнем со случая трехальтернатив. Так как и для других порядковых методов в некоторыхслучаях значения индексов совпадают, построим только два графика.Из полученных данных можно сделать несколько важныхвыводов. Во-первых, для двух правил – процедуры Нэнсона иисключения Борда – период в мере манипулируемости зависит отчетности-нечетности числа агентов. Это объясняется опять же наличиеммножественного выбора - при четном числе участников больше шансовтого, что на последнем этапе останется две альтернативы.

Например,если в случае 3-х альтернатив для 5-ти агентов доля множественноговыбора среди всех возможных исходов составляет примерно 4,6%, тодля 6-ти агентов это уже примерно 41,1%.89Рисунок 4.12. Индекс Нитцана-Келли для расширения Leximin3Рисунок 4.13. Индекс Нитцана-Келли для расширения Leximax390Эта ситуация наблюдается и при большем числе агентов:соответствующая доля для 23-х агентов составляет 1,2%, а для 24-х –20%. Для процедур Хара и Кумбса зависимость отличается: в данномслучае наблюдается период длины 6. Вернемся к описанию этойситуации при рассмотрении большего числа альтернатив.Во-вторых,процедураХараиправилоотносительногобольшинства дают одинаковую оценку манипулируемости для 3-х и 4-хагентов независимо от метода.