Диссертация (Диаграммообразующая система оптического типа для многолучевых АФАР), страница 7

2.14):x x j   y N  y j   R j  nrj  ,2N22(2.40)где x N - координата вдоль оси x , y N - координата вдоль оси yточки, в которой расположен приёмный зонд Z N (см. рис. 2.14).71yaZiZi-1Z2yjZN-1ZNZ1bZi 1R j  nr j R j R j  nr jjOxjy1  yNxZj'x1  nxxN  nxРис. 2.14.Геометрия расположения зондов оптической распределительнойсистемы для нахождения условия по минимизации среднегоотклонения фазовой ошибки.Совместное выполнение условий (2.38) - (2.40) графическипоказано на рис. 2.15, т.е. излучающий зонд Z j ' должен бытьрасположен на таком расстоянии R j от вершины эллипса вдольвыбранного луча, составляющего угол  j с малой полуосью эллипса,что бы окружности с радиусами меньше и больше на величину nr jпересекали эллипс в точках расположения первого Z1 и последнегоZ N приемных зондов.72yZiZ i-1Z2nrjZ N-1ZNZ1nrjZ i 1nxjnxOxZ j'Рис.

2.15.Геометрический смысл условия для нахождения излучающего зондаZ j ' из условия минимизации средней ошибки.Найдем теперь выражение для вычисления требуемого R j .Как видно из рис. 2.14:x1  nx(2.41)73x N  nx(2.42)y N  y1(2.43)И поскольку для эллипса с большой и малой полуосями a и bсоответственно справедливо следующее равенство:22x1y11,a 2 b2(2.44)то может быть записано выражение для y1 :b2a 2  x1,ay1 (2.45)которое с учетом (2.41) будет выглядеть следующим образом:ba 2  n 2 x 2ay1 (2.46)Подставляя выражение (2.41) в соотношение (2.39), получимследующее выражение: nx  x   y2j1 y j   R j  nrj 22(2.47)Раскрывая квадраты в соотношении (2.47) и подставляя в негоследующие выражения для x j - абсциссы и y j - ординаты зонда Z j '(см.

рис. 2.14):x j   R j sin  j ,y j  b  R j cos  j ,(2.48)(2.49)получим уравнение для определения расстояния R j :74n 2 x 2  2nxR j sin  j  R 2j sin 2  j  y12  2b  R j cos  j y1  b  R j cos  j  2 R 2j  2nrj R j  n 2 rj2 ,(2.50)Посколькуsin 2  j  cos 2  j  1 ,(2.51)то уравнение (2.50) принимает вид:n 2 x 2  2nxR j sin  j  y12  2b  R j cos  j y1  b 2  2bR j cos  j  2nrj R j  n 2 rj2 ,(2.52)из которого следует, соотношение для определения расстоянияRj :n 2 r j2  x 2   y1  b 1Rj 2  nx sin  j   y1  b cos  j  nr j2(2.53)Используя выражения (2.46) и (2.31) соотношение (2.53) можетбыть преобразовано к следующему виду:2b2n x sin   1  2 a 2  n 2 x 2  a1aRj 2  nx sin   b a 2  n 2 x 2  a cos   nx sin  ,jjja222jкотороепоследальнейшихсоотношения (2.51), примет вид:75преобразований,(2.54)сучетом2 b  nx   1 1  nxa cosnx jRj ,2 2  b cos  j1  1   nx   nx a  (2.55)Удобно ввести следующее обозначение:b  nx A1 1 nx a 2,(2.56)поскольку эта величина постоянная для выбранной геометриирассматриваемой линзы, тогда выражение для расстояния R j ,можетбыть записано в следующем виде :Rj nx  cos  jA2  Acos  j,(2.57)Полученное выше выражение (2.57) позволяет вычислятьрасстояниеRjот вершины эллипса вдоль выбранного луча,составляющего угол  j с малой полуосью эллипса, при которомвыполняется условие по минимизации средней ошибки.Как видно из соотношений (2.56) и (2.57), оптимальное с точкизрения минимизации средней ошибки расстояние R j определяетсяразмером системы приемных зондов вдоль большой полуоси эллипсаnx (см.

рис. 2.14), отношением параметров эллипса(большой a ималой b полуосями) вдоль которого расположены приемные зонды76Z1  Z N к размеру системы приемных зондов вдоль большой полуосиэллипса nx (отношениямиabи) и углом  j .n xn xЗаметим, что для первого Z1' и последнего Z M ' излучающегозонда (см. рис. 2.13):cos  1  cos  M ba,(2.58)поскольку данные зонды расположены в фокусах эллипса.Из условия (2.58) следует, что согласно выражениям (2.56) и(2.57)R1  RM  a ,(2.59)т.е. оптимальное с точки зрения среднего значения положениезонда для выбранных крайних точек совпадает с фокусом эллипса.Интересен еще один частный случай, когда угол  j равен нулю.Для данного случая оптимальное с точки зрения минимизациисредней ошибки расстояние от вершины эллипса будет определятьсяследующим выражением:nx  1  A2 R j  j  0 2  A  ,(2.60)Отметим также следующую геометрическую интерпретациюданного условия, показанную на рис.

2.16.На данном рисунке, посравнению с рис. 2.15 изображена еще гипербола, ветви которойобозначены G j ' . Гипербола построена как геометрическое место77точек, разность расстояний от которых до зондов Z1 и Z i равно nrj .Тогда место положение зондаZ j ' будет совпадать с точкойпересечения гиперболы G j ' с лучом, составляющим угол  j с малойполуосью эллипса (см. рис. 2.16). Точка пересечения второй ветвигиперболы с лучом, составляющим угол   j с малой полуосьюэллипса, будет совпадать с положением излучающего зонда Z M 1 j ' ,поскольку задано условие (2.1).Покажемнарис.2.17гиперболу,котораяявляетсягеометрическим местом точек, разность расстояний от которых дозондов Z i и Z N равно nx .

Тогда место положение зонда Z j ' будетсовпадать с точкой пересечения гиперболыGM 1 j ' с лучом,составляющим угол  j с малой полуосью эллипса (см. рис. 2.16).Точка пересечения второй ветви гиперболы с лучом, составляющимугол   j с малой полуосью эллипса, будет совпадать с положениемизлучающего зонда Z M 1 j ' , т.к. задано условие (2.1).78G j'G j'yZiZ i-1Z2nrjZ N-1ZNZ1nrjZ i 1nxjnxOxZ M 1- j'Z j'Рис. 2.16.Геометрическое построение местоположения излучающего зонда Z j 'из условия минимизации средней ошибки.79G M-1- j'GM -1- j'yZiZ i-1Z2Z i 1Z N-1ZNZ1nxjnrjnxnrjOxZM+1- j'Z j'Рис. 2.17.Геометрическое построение местоположения излучающего зондаZ M 1 j ' из условия минимизации средней ошибки.Интересен тот факт, что зонды Z j ' и Z M 1 j ' находятся в точкахпересечения гипербол G j ' и GM 1 j ' и, принадлежат лучам, выходящимиз вершины эллипса, совпадающей с зондом Z i , которые составляют80углы  j и   j , соответственно, с малой полуосью эллипса (см.

рис.2.16 и 2.17).Рассмотрим теперь условие по минимизации локальной ошибкина границе апертуры.2.8 Условие по минимизации локальной фазовой ошибки награнице апертурыУсловие по минимизации локальной ошибки на границеапертуры означает совместное выполнение следующих четырёхусловий:r j1 расстояние от излучающего зонда Z j ' до1) обозначимприемного зонда Z1 , тогда справедливо следующее соотношение (см.рис. 2.18):x x j   y1  y j   r j21 ,212(2.61)где x j - координата вдоль оси x , y j - координата вдоль оси yточки, в которой расположен излучающий зонд Z j ' , x1 - координатавдоль оси x , y1 - координата вдоль оси y точки, в которойрасположен приёмный зонд Z1 (см. рис. 2.18).2) расстояние от излучающего зонда Z j ' до приемного зонда Z 2равно r j1  r j (см. рис.

2.18):x x j   y2  y j   rj1  rj  ,222812(2.62)гдеx2 - координата вдоль оси x , y2 - координата вдоль оси yточки, в которой расположен приёмный зондZ 2 , r j - приращениедлины, обеспечивающее отклонение луча на апертуре антеннойрешетки на угол  j в соответствии с выражением (2.30).3) значение первой координаты для излучающего зонда Z j 'можно вычислить следующим образом(см. рис 2.18):x j  - r j sin  j ,(2.63)где r j - расстояние от вершины эллипса до излучающего зондаZ j'4) значение второй координаты для излучающего зонда Z j 'можно вычислить следующим образом (см.

рис. 2.18):y j  b - r j cos  j ,(2.64)где b - малая полуось эллипса.82yx 2  n  1xZ2Z1y 2  y N 1bZ i 1ZiZ i 1Z N 1ZNr j1  r jr j1arN 1  r jjrN 1rjyyjy1  y Nxjxx N 1  n  1xZ j'x1  nxxN  nxРис. 2.18.Геометрия расположения зондов оптической распределительнойсистемы для нахождения условия по минимизации локальной фазовойошибки на границе апертуры.Совместное выполнение условий (2.61)-( 2.64) графическипоказано на рис. 2.19, т.е. излучающий зонд Z j ' должен бытьрасположен на таком расстоянии r j от вершины эллипса вдольвыбранного луча (см.

рис. 2.19), составляющего угол  j с малойполуосью эллипса, что бы две окружности, отличающиеся своимирадиусами на величину r j пересекали эллипс в точках расположенияпервого Z1 и второго Z 2 приемных зондов (см. рис. 2.20).83G j'G j'yZ2ZiZ i-1Z i 1Z N-1ZNZ1nxjnxOr jxZ j'Z M 1- j'r jРис. 2.19.Геометрическое построение местоположения излучающего зонда Z j 'из условия минимизации локальной фазовой ошибки на границеапертуры.84GM  1 - j'GM  1 - j'yZ2ZiZ i-1Z i 1Z N-1ZNZ1nxjnxOxr jZ j'Z M 1- j'r jРис. 2.20.Геометрическое построение местоположения излучающего зондаZ M 1 j ' из условия минимизации локальной фазовой ошибки награнице апертуры.Рассмотрим систему уравнений (2.61) – (2.64).Приведем уравнение (2.62) к следующему виду:85x x j   y2  y j   r j21  2r j1r j  r j2222(2.65)Используя выражение (2.61) запишем (2.65) в виде:x x j   y2  y j   x1  x j   y1  y j   2r j1r j  r j222222(2.66)Соотношение (2.66) может быть записано в виде:x22  2 x2 x j  x 2j  y 22  2 y 2 y j  y 2j  x12  2 x1 x j  x 2j  y12  2 y1 y j  y 2j  2r j1r j  r j2(2.67)Соотношение (2.67) после приведения подобных слагаемыхможно записать следующим образом:x22  x12  y 22  y12  2 x2 x j  2 x1 x j  2 y 2 y j (2.68) 2 y1 y j  r j  2r j1r j2Воспользовавшись формулой для разности квадратов [23],запишем (2.68) в виде:x2  x1 x2  x1    y2  y1  y2  y1   2 x j x2  x1  2 2 y j  y 2  y1   r j  2r j1r j(2.69)Поскольку, как видно из рис.

2.19x  x2  x1(2.70)иy  y 2  y1(2.71)выражение (2.69) можно записать в следующем виде:xx2  x1   y y2  y1   2 x j x  2 y j y  r j  2r j1r j286(2.72)Пусть r j  0 , тогда обе части уравнения (2.72) поделим на2r j уравнение примет вид:xx2  x1  y y 2  y1  x j x y j y r j r j12r j2r jr jr j2(2.73)Введем следующее обозначение:Axx2  x1  y y 2  y1  r j2r j2r j2(2.74)Тогда уравнение (2.73) примет вид:A xjxy yj r j1r jr j(2.75)Возведем обе части уравнения (2.75) в квадрат, тогда выражениедля квадрата радиуса r j21 можно записать в следующем виде:xy r j21   A  x j yjr jr j 2(2.76)Используя (2.76), преобразуем (2.61) к виду:x1 x j   y1  y j 22xy   A xj yjr jr j 2(2.77)Раскрывая скобки [23], получаем следующее уравнение:x12  2 x1 x j  x 2j  y12  2 y1 y j  y 2j  A 2 2x 2xyxy2 yx yj 2 Ax j 2 Ay j 2x j y j22r jr jr jr jr j22j87(2.78)Группируя в уравнении (2.78)слагаемые, получим: x 2  y 2 xy2x 1  2  y j 1  2   2x j y j2 r  r rj j j2jx2 x j  x1  Ar j  2 y j  y1  A yr j  x12  y12  A 2  0(2.79)Учитывая выражения для x j , y j из (2.63) и (2.64), выражение(2.79) примет вид: x 2  y 2 2r sin  j 1  2  b  r j cos  j  1  2   r  r j j 2j2 2r j sin  j b  r j cos  j xyx2rsinjj  x1  A2r jr jy 2b  r j cos  j  y1  Ar j(2.80)  x12  y12  A 2  0Приведем выражение (2.80) к следующему виду: x 2  y 2 222r sin  j 1  2  b  2br j cos  j  r j cos  j 1  2   r  r j j xyx  2br j sin  j  2r j2 sin  j cos  j2rsinxAjj 1rr j2j yy  2 2 by1  bA y1r j cos  j  Ar j cos  j x1  y12  A 2  0r jr j (2.81)2j2используя (2.81) получим следующее уравнение:88 x 2r j2 sin 2  j 1  2 rj 2  y 2  b 1  r 2j2  2br j cos  j 1  y r 2j2  r j 2 cos 2  j 1  y r 2j 2br j sin  jxyxyx22rsincos2rsinjjjjj  x1  A22r jr jr j 2by1  2bAyy 2 y1r j cos  j  2 Ar j cos  j x12  y12  A 2  0r jr j(2.82)Группируя члены (2.82), получим следующее выражение: 2  x 2  y 2 xy 2r sin  j 1  2  cos  j 1  2  2 sin  j cos  j2  r  r rj j j 2j y 2 xy x1  A x r j  2b cos  j 1  2   2b sin  j2sinj2 r r jr jj y 2 y1 cos  j  2 A cos  jr j2   2by1  2bA y  x12  y12  A 2  b 2 1  y   0 r 2 r jj (2.83)Введем следующие обозначения: x 2  y 2 xy2B  sin  j 1  2  cos  j 1  2   2 sin  j cos  j r  r r j2j j 2 y 2 xy x1  A xC    b cos  j 1  2   b sin  jsinj r r jr j2j  y1 cos  j  A cos  jyr j y 2 y2222D  2bA 2by1  x1  y1  A  b 1  2  r r jj 89(2.84)Учитывая введенные обозначения (2.84), выражение (2.83)может быть записано в следующем виде:Br j2  2Cr j  D  0(2.85)Запишем выражение (2.84) для B, используя соотношение (2.31):x 2 y 22B  sin  j 1  cos  j 1  x sin 2   x sin 2 j jxy 2 sin  j cos  jx sin 2  j2(2.86)Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством(2.51), из соотношения (2.86) получим следующее выражение: y 2 cos 2  jy cos  jB   22 x sin 2 x sin  jj(2.87)Приведем (2.87) к общему знаменателю: y 2 cos 2  j  2yx cos  j sin  jB  x 2 sin 2  j(2.88)Воспользуемся соотношением (2.31) и запишем (2.84) в виде:90 xyx y 2y C  sin  j  bxAcosybbA1j 12 r 2rrrj j jjxyx  sin  j  b 2xA1 x sin 2 xsinj jy 2y  cos  j y1  b  b 2A2xsinxsinjjb cos  j y 2cos  j yby x1 sin  j  A  y1 cos  j  b cos  j Ax sin  jsin  j xsin 2  j x 2(2.89)Введем обозначение:FCBb cos  j y 2cos  j yby x1 sin  j  A  y1 cos  j  b cos  j Ax sin  jsin  j xsin 2  j x 2 y 2 cos 2  j  2xy sin  j cos  jx 2 sin 2  j1 2y cos 2  j  2xy sin  j cos  j bxy sin  j  x1x 2 sin 3  j  A sin 2  j x 2  y1x 2 sin 2  j cos  j  bx 2 sin 2  j cos  j  by 2 cos  j  Axy sin  j cos  j(2.90)22Рассмотрим выражение A sin  j xУчитывая (2.31) и (2.74), может быть записано следующеесоотношение:91Ax 2 sin 2  j  x x2  x1  y  y 2  y1  x sin  j  2 2x sin  j  2x sin 2xsin2jj222222x2  x1  y 2  y1  x sin  j 2 2x sin  j 2x sin  j1x sin  j x22  x12  y 22  y12  x 2 sin 2  j2(2.91)Рассмотрим выражение Axy sin  j cos  jУчитывая (2.31) и (2.74), моет быть записано следующеевыражение:Axy sin  j cos  j x22  x12  y 22  y12  x 2 sin 2  j2x sin  j xy sin  j cos  j 1y cos  j x22  x12  y 22  y12  x 2 sin 2  j2(2.92)Учитывая выражения (2.91) и (2.92), выражение (2.90) приметвид:F 1y 2 cos 2  j  2xy sin  j cos  j bxy sin  j  x1x 2 sin 3  j  y1x 2 sin 2  j cos  j bx 2 sin 2  j cos  j  by 2 cos  j 1x sin  j  y cos  j  x22  x12  y22  y12  x 2 sin 2  j 2(2.93)Введем следующее обозначение, учитывая (2.31):92DBGyy 222222bA 2by1  x1  x2  A  b 1  2 2 x sin x sin  jj y 2 cos 2  j  2xy sin  j cos  j 22xsinj2bAyx sin  j  b 2 y 2  x 2 sin 2  j  2by1  x12  x22  A 2  b 2y 2 cos 2  j  2xy sin  j cos  j2bAyx sin  j  b 2 y 2  A 2 x 2 sin 2  j  x 2 sin 2  j  2by1  x12  y12  b 2y 2 cos 2  j  2xy sin  j cos  j(2.94)Рассмотрим выражение:2bAyx sin  j x22  x12  y 22  y12  x 2 sin 2  j2x sin  j2byx sin  j (2.95) x  x  y  y  x sin  j by2221222122Учитывая (2.97) и (2.91), выражение (2.95) примет вид:G1y 2 cos 2  j  2xy sin  j cos  j x22  x12  y 22  y12  x 2 sin 2  j by  b 2 y 2 1 2x2  x12  y 22  y12  x 2 sin 2  j4(2.96)2 x 2 sin 2  j  2by1  x12  y12  b 2 Так как выражение (2.85) является квадратным уравнениемотносительно r j , то, учитывая (2.93) и (2.96), корни этого уравнениямогут быть записаны в следующем виде [23]:r j1, 2   F  F 2  G(2.97)93При вычислении корней уравнения (2.85) можно заметить, чтооба корня действительные и положительные числа.