Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2010), страница 9

. . , − 1,0 = = 0,⎩ не равны тождественно 0;(35)Подставим в первое уравнение представление второй разностной производной:+1 − 2 + −1 + ℎ2 = 0+1 + −1 = (2 − ℎ2 )Будем искать = ( )в видеsin( ), ∈ R.+1 = sin(( + ℎ)),Тогда:−1 = sin(( − ℎ))+1 + −1 = sin(( + ℎ)) + sin(( − ℎ)) = 2 sin( ) cos(ℎ)2 sin( ) cos(ℎ) = (2 − ℎ2 ) sin( )2 cos(ℎ) = (2 − ℎ2 )4 sin22(1 − cos(ℎ))==ℎ2ℎ2Из условия0 = = 0ℎ2(36)имеем:sin = 0,∈Z = ,Итак, мы нашли собственные значения и собственные функции дискретной задачи ШтурмаЛиувилля: =4ℎsin22ℎ2√2 sin( ), = 0, .

. . , , = 1, . . . , − 1√Константу выбираем равной2 из соображений ортонормированности.Введем H - линейное пространство сеточных функции: dim = − 1, ∀ ∈ : 0 = = 0. ( ) =Определим скалярное произведение и норму в H:∀, ∈ : (, ) =−1∑︁ ℎ=1|||| =(︃ ∑︁)︃ 122 ℎ=1 −1Пусть ( , ) = , тогда { ( )}=1 - ортонормированный базис в H, и любую функциюможно представить в виде:( ) =−1∑︁=1 ( ), = 0, . . . , ∈Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности69Имеет место также и равенство Парсеваля:||||2=−1∑︁2=1Пусть ( ) ≡ ( ), = 1, . . .

, − 1,ЗШЛ (35). Вернемся к (32) - (34). Разложим= = 0, . . . , , - собственные и по базису из :−1∑︁функции дискретной ( ) ( )1=−1∑︁ () ( ) ( )1Подставим эти разложения в (32):−1∑︁ ( )( (+1 ) − ( )) ==1= 0.5−1∑︁−1∑︁=11( ), ( (+1 ) + ( )) + () ( ) ( ) (+1 ) − ( )+ 0, 5 ( (+1 ) + ( )) = () ( ) = 0, 1, . . . , = 1, − 1, (0) = ((0), ) = 0Разрешим уравнение относительно (n+1)-го слоя. (+1 ) =Положим =1 − 0, 5 ( ) + () ( )1 + 0, 5 1 + 0, 5 1−0,5 1+0,5 (+1 ) = ( ) + () ( )1 + 0, 5 Тогда:+1=−1∑︁ (+1 )() ( ) ==1−1∑︁=1 ( ) ( ) +−1∑︁=1 ( ) ( ) = +1 + +11 + 0.5 Очевидно,‖ +1 ‖ ≤ ‖ +1 ‖ + ‖+1 ‖Оценим‖ +1 ‖,используя равенство Парсеваля.(37)Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности| | < 1 ⇒ ‖+1 2‖ =−1∑︁2 2 ( )≤−1∑︁2 ( ) = ‖ ‖270(38)=1=1Аналогично,‖+1 ‖2 ≤ 2 ‖ ‖2(39)Учитывая (38) и (39) неравенство (37) примет вид:‖+10‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ ≤ ‖ ‖ +−1∑︁ ‖ ‖=1Из ранее решенной задачи:‖ ‖ ≤ ( 2 + ℎ2 ) ⇒‖ +1 ‖ ≤ ( 2 + ℎ2 ) → 0гдеине зависят отипри, ℎ → 0,0 < = (40)ℎ.Разностная схема с весами.

Погрешность аппроксимации.Построим для задачи (1) разностную схему:+1 − +1+ (1 − ),= ,+ ∈ ℎ0+1 = 1 (+1 ), +1 ∈ +1= 2 (+1 ), +1 ∈ 0 = 0 ( ), ∈ ℎ ∈ R,Для различных0≤≤1получаем:1.=0- явная разностная схема.2.=1- чисто неявная разностная схема.3. = 0.54. ̸= 0, 1, 0.5- симметричная разностная схема.- неявная разностная схема.Введем погрешность = − .+1 − +1= ,+ (1 − ),+ +1= 0 = 00+1 = Погрешность аппроксимации разностной схемы (41) на решении:(41)Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности = +1, + (1 − ), −71+1− + (42)′ =, ˙ = . Пусть функция (, ) шесть раз непрерывно дифференцируемапо x и три раза по t. Разложим ее по формуле Тейлора в окрестности точки ( , + 1 ):Обозначим22ℎ ′′ +2 ℎ2= − ℎ′ + ′′ −2+1 = + ℎ′ +−13ℎ ′′′ +6 ℎ3 ′′′ +6 4ℎ ′′′′ + ...24 ℎ4 ′′′′ + ...24 231) +1) +1) +˙(¨(¨ (+ 1 ) + .

. .+1=(+ 2+ 2+ 22284823 = (+ 1 ) − ˙ (+ 1 ) + ¨ (+ 1 ) − ¨ (+ 1 ) + . . .22222848ℎ2 ′′′′+1 − 2 + −1′′=+ + (ℎ4 )2ℎ12, =+1= ˙ (+ 1 + ( 2 )2Воспользуемся неравенством ℎ2 ≤ 2 +ℎ4:2 ′′ ℎ2 ′′′′=+ ˙ + + (ℎ4 ) + ( 2 ))+212ℎ2(1 − )(′′ − ˙ ′′ + ′′′′+ (ℎ4 ) + ( 2 ))−212 ˙ + + ( 2 + ℎ4 ) =()′′(′′(′′ − ˙ + ) + ( − 0.5) ˙ ′′ +Продиффиренцировав уравнение′′ − ˙ + = 0ℎ2 ′′′′ + ( 2 + ℎ4 )12дважды по x, получим:′′′′ − ˙ ′′ + ′′ = 0 ⇒ ′′′′ = ˙ ′′ + ′′Подставим′′′′в формулу погрешности аппроксимации:=′′⏟− ˙ + ( , ⏞+ 21ℎ2 ′′) − ( , + 1 ) + − ( , + 1 )+2212=0(︁( − 0.5) +ℎ2 )︁ ′′˙ + (2 + ℎ4 )12Таким образом, порядок погрешности аппроксимации зависит от параметрафункции f: и аппроксимацииРазностные схемы для уравнения Пуассона (задача Дирихле)1. = * =12−ℎ21272⇒ℎ2 ′′ ( , + 1 )221224 = ( + ℎ ) = ( , + 1 ) +2.

= 0.5 ⇒ = ( , + 1 ) + (ℎ2 ) + ( 2 )23.§2= ( 2 + ℎ2 ) ̸= * , ̸= 0.5 ⇒ = ( , ) + ( + ℎ2 ) ⇒ = ( + ℎ2 )Разностные схемы для уравнения Пуассона (задача Дирихле)Рассмотрим уравнение Пуассона в области G:2 2 += (1 , 2 ),21 22(1 , 2 ) ∈ (1) = {(1 , 2 ) : 0 < 1 < 1 , 0 < 2 < 2 },=∪Γ|Γ = (1 , 2 )(2)26Г2ГГG-1Г1Введем сетку:()()()ℎ = {(1 , 2 ) : 1 = ℎ1 , = 1, 1 − 1, 1 ℎ1 = 1 ;()2 = ℎ2 , = 1, 2 − 1, 2 ℎ2 = 2 },2 −11 −11 −12 −1Γℎ = {0, }=1 ∪ {1 , }=1 ∪ {,0 }=1 ∪ {,2 }=1ℎ = ℎ ∪ Γℎ26Г2Гℎ2c cc cDℎ1ГГ-11Разностные схемы для уравнения Пуассона (задача Дирихле)Пусть73 = (1 , 2 ), = (1 , 2 ).Запишем разностную схему для задачи (1), (2):1 1 , + 2 2 , = , (1 , 2 ) ∈ ℎ(3) |Γℎ = (1 , 2 ), (1 , 2 ) ∈ Γℎ(4)(3)и (4) представляют собой СЛАУ.

Распишем (3):+1, − 2 + −1, ,+2 − 2 + ,−1+= ℎ21ℎ22 |Γℎ = ,Погрешность разностного решения = 1, 1 − 1, = 1, 2 − 1 = − удовлетворяет задаче1 1 , + 2 2 , = −(5) |Γℎ = 0Покажем существовение и единственность решения системы (3). Докажем, что решение, соответствующееоднородной системе, тривиально. Соответственно, решение неоднородной системы существуети единственно. Перепишем систему (3) в виде:(22+1, + −1, ,+1 + ,−1+ 2 ) * , =+,2ℎ1 ℎ2ℎ21ℎ22(6)0 < < 1 ,0 < < 2 .Теорема.

Система(6) имеет только тривиальное решение.Доказательство. Предположим, что найдется такой узел ,где ̸= 0.Тогда∃0 , 0 ,такиечто:а)|0 ,0 | = max | |0≤≤10≤≤2b) хотя бы в одном узле(0 , 0 ± 1), (0 ± 1, 0 )Рассмотрим разностную схему в узле(будет выполнено| | < |0 ,0 |0 , 0 :2 +1, + −1, , +1 + 0 ,0 −12+ 2 ) * 0 ,0 = 0 0 2 0 0 + 0 02ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ22Оценим по модулю значение левой части уравнения:(Так как222||0 +1,0 || 2||0 ,0 +1 ||+ 2 ) * |0 ,0 | ≤+2ℎ1 ℎ2ℎ21ℎ22|0 ,0 | = || || :(2222+ 2 ) * || || < ( 2 + 2 ) * || ||2ℎ1 ℎ2ℎ1 ℎ2Пришли к противоречию. Следовательно, предположение неверно и теорема доказана.Cледствие. Разностная задача имеет единственное решение для любых функций f и .Сходимость разностной задачи Дирихле§374Сходимость разностной задачи ДирихлеРассмотрим задачу:1 ,1 , + 2 ,2 , = −, |Γℎ = 0, ∈ ℎ(1) ∈ ΓℎВведем разностный оператор:ℎ = (22 +1, + −1, , +1 + 0 ,0 −1+ 2 ) * − 0 0 2 0 0 + 0 0,2ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ22 ∈ ℎУтверждение.

Пусть ≥ 0, ∈ Γℎ , ≥ 0, ∈ ℎ . Тогда ≥ 0.Доказательство. Докажем от противного. Предположим, что∃(0 , 0 )такие, что:a)|0 ,0 | = min | |0≤≤10≤≤2b) хотя бы в одном узле(0 , 0 ± 1), (0 ± 1, 0 )будет выполнено0 ,0 < Тогда:ℎ 0 0 =0 ,0 + 0 +1,0 0 ,0 + 0 −1,0 0 ,0 + 0 ,0 +1 0 ,0 + 0 ,0 −1+++ℎ21ℎ21ℎ22ℎ22Согласно условию, хотя бы одно из этих слагамых меньше 0. Следовательно сумма тоже меньшенуля.

Противоречие завершает доказательство.Cледствие. Пусть у нас есть две задачи:ℎ = , ∈ ℎℎ = Φ ∈ ℎПусть на границе выполняются условия: ≤ , ∈ Γℎ| | ≤ Φ , ∈ ℎ| | ≤ , ∈ ℎТогда всюду выполнено:Доказательство. В силу линейности задачи для V:ℎ = Φ + ℎ = Φ − Правые части обоих уравнений не меньше нуля в силу вышеуказанных условий. А это, в силудоказанного утверждения, означает выполнение условия, которое требовалось доказать:| | ≤ , ∈ ℎМетоды решения разностной задачи Дирихле75Перепишем задачу для погрешности аппроксимации в виде: ∈ ℎℎ = (2) ∈ Γℎ = 0,Для доказательства сходимости разностной схемы необходимо подобрать мажорантутак,чтобы выполнялось условие:ℎ = 1 , 1 = const > 0будем искать в виде:() 2() 2 = (12 + 22 − (1 ) − (2 ) ),где>0 ℎ ≥ 0, ∈ ℎ ℎ = 4Положим4 = |||| :0 = | |Γℎ ≤ |Γℎ ,4 = |||| ≥ | |, ∈ ℎ}︂(| | ≤ , ∈ ℎ )12 + 22|||| ≤ ≤|||| ⇒ |||| =≤ ||||+=4 = (ℎ21 + ℎ22 ) ⇒ |||| ≤ (12 + 22 ) ⇒ |||| =≤ 2 (ℎ21 + ℎ22 )(1222 )Тем самым, мы доказали следующую теорему:Теорема 1.

Пусть (1 , 2 ) ∈ 4 (). Тогда разностная схема(3) - (4) сходится и имеетместо оценка:|| − || ≤ 1 (ℎ21 + ℎ22 )Где1не завсит отℎ1иℎ2 .Доказательство. Из полученной оценки:|||| ≤ 2 (ℎ21 + ℎ22 )|| − || ≤ (§4(3)12 + 22 2)(ℎ1 + ℎ22 )4Методы решения разностной задачи Дирихле2 2 += (1 , 2 ) ∈ 21 22 |Γ = (1 , 2 )(1)(2)Разрешим систему относительно центрального узла:(22+1, + −1, ,+1 + ,−1+ 2 ) =+− 2ℎ1 ℎ2ℎ21ℎ22Будем обозначать итерацию под номером() − .(3)Методы решения разностной задачи Дирихле76Простая итерация (метод Якоби)Получаем следующий итерационный процесс:()()()()2 (+1) +1, + −1, ,+1 + ,−12=+− ( 2 + 2 )ℎ1 ℎ2ℎ21ℎ22 = 0, 1, .

. .() = (0) − заданоДля достижения заданной точности требуется порядка0 () ∼ (ℎ−2 ) ∼ ( 2 ), где = (1 , 2 ).Метод Зейделя(+1)()(+1)()22 (+1) −1, + +1, ,−1 + ,+1( 2 + 2 )=+− ℎ1 ℎ2ℎ21ℎ22(+1)= , = 0, 1, . . .при s = 0,0 − заданоПокажем, как находить решение: Начнем с узла (1, 1), далее движемся вверх до (1, n), потомиз точки (2, 1) движемся вверх и т.д. Здест будет рисунок метода. С точки зрения организацииалгоритма - незначительное усложнение. С точки зрения сходимости метод аналогичен методу2Якоби: для получения требуемой точности требуется порядка 0 () ∼ ( )Попеременно-треугольный итерационныя метод (метод Самарского)Перепишем нашу систему в виде СЛАУ: = , где * = > 0, = 1 + 2⎛⎞0, 5110......0⎜ ...0, 522 0 .

. .0 ⎟⎟1 = ⎜⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎠12 . . . . . . 0, 5⎞⎛0, 511 . . . . . . . . . . . . . . . . .⎜ 00, 522 . . . . ⎟⎟2 = ⎜⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎠000, 5 (+1) + ()+ () = Где > 0, > 0 - итерационные параметры, 0 задано.

При правильной организации процесса(+1) вычисляется по явным формулам (так как + 1 - нижняя треугольная матрица):( + 1 )( + 2 )( + 1 )(+1) = − () ( + 2 ) (+1) = (+1) (+1) = () + (+1)сходится для любых4При этом 0 () ∼ ( ).При> (0) .Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация. Устойчивость.

Сходимость.77§5Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация.Устойчивость. Сходимость.Рассмотрим произвольную линейную дифференциальную задачу:() = (), ∈ (1)Считаем, что краевые и начальные условия будут учитываться либо видом оператора,либо видом правой части. Принципиально, что- линейный ператор. Введем на множествеℎ , где ℎ - некоторая норма шагов сетки. Тогда из непрервыного превращется вдискретное: ∈ ℎ . Тем же образом ставим в соответствие функции () ее разностный аналогℎ ().

Аналогично поступаем с оператором : ℎ ℎ = (), ∈ ℎ . Рассмотрим линейноенормированное пространство непрерывных функций 0 с нормой ||||0 и () ∈ 0 . Соответственноℎ − дискретное нормированное пространство с нормой ||||ℎ и ℎ () ∈ ℎ .сеткуОпределение. Нормы 0 и ℎ согласованы, еслиlim ||ℎ ||ℎ = ||||0ℎ→−0Если нормы несогласованы, то решение разностной схемы может сходиться к решению,которое не является решением исходной задачи. Введем оператор проектрованияТаким образом∀ ∈ 0 : ℎ () = ℎ ∈ ℎ .Например: = { : 0 ≤ ≤ 1}.ℎ = : = ℎ, = 0, , ℎ = 1, ℎ =1> 0;ℎ (| ) : ℎ ( ) = ( );ℎ = { = (0 , 1 , . . . , )};Рассмотрим примеры норм:1.|||| = max∈ | | = ||||0Согласованная с ней норма вℎ :|||| = max | | = ||||ℎ ;0≤≤∫︀ 11/2||||0 = ||||2 = ( 0 2 ()) ,Согласованная с ней норма в ℎ :2.1/2||||ℎ = ||||2∑︁=(2 ℎ)=0∑︀2 1/2( не=0 )() ≡ 1, тогда:3.