Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2010), страница 10

Покажем, что нормаОт противного: пустьсогласована ни с одной из норм в1/2∑︁||ℎ ||ℎ = (1)=0Тогда,||ℎ ||ℎ −−→ ∞,ℎ→0чего быть не может.=√ +10 .ℎ : 0 →− ℎ .Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.78Определение. Сеточная функция ℎ () называется погрешностью разностной схемы:ℎ () = ℎ () − ℎ (), ∈ ℎОпределение.

Сеточная функция ℎ () называется погрешностью аппроксимации разностнойсхемы на решении исходной задачи:ℎ () = ℎ () − ℎ ℎ (), ∈ ℎОпределение. Разностная схема аппроксимирует задачу(1), если:||ℎ ||ℎ →− 0, ℎ →− 0.Определение. Разностная схема имеет порядок аппроксимации , если ∃1 > 0, > 0,которые не зависят от||ℎ ||ℎ ≤ 1 ℎ .ℎи имеет место оценка:Определение. Дифференциальная задача называется поставленной корректно, если:1. решение задачи существует и единственно,2. решение задачи непрерывно зависит от ().Определение.

Разностная схема называется корректной, если при всех достаточно малыхℎ:1.∀()решение !∃, 2.∀2 = > 0, 2не завиcящая отℎ,что:||ℎ ||ℎ ≤ 2 ||ℎ ||ℎ(2)Оценка (2) называется априорной оценкой и означает устойчивость разностной схемы.Замечание. Слева и справа не обязательно одинаковые нормы.Определение. Говорят, что разностная схема сходится к решению исходной задачи(1), если:||ℎ ||ℎ = ||ℎ − ℎ ||ℎ →− 0, ℎ →− 0Определение. Говорят, что разностная схема имеет порядок точности , если ∃3 = > 0и не завиcящая отℎ,что:||ℎ ||ℎ ≤ 3 ℎТеорема(Теорема Филлипова). Пусть дифференциальная задача корректно поставлена исоответствующая ей разностная схема также корректна.

Тогда решение разностной задачисходится к решению дифференциальной задачи с порядком погрешности аппроксимации.Доказательство.||ℎ ||ℎ ≤ 2 ||ℎ ||ℎ||ℎ ||ℎ ≤ 2 ||ℎ ||ℎ2не зависит от hДалее:||ℎ ||ℎ ≤ 1 ℎ ,1не зависит от hПолучаем:||ℎ ||ℎ ≤ 1 2 ℎ = 3 ℎ ,3||ℎ ||ℎ = ||ℎ − ℎ ||ℎ → 0не зависит от hприℎ→0Основные понятия теории разностных схем.

Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.79Замечание. Пусть ∃ : ℎ → : ||ℎ − ℎ ||ℎ → 0 при ℎ → 0. Тогда:||ℎ − ℎ ||ℎ ≤ || − ℎ + ℎ ||ℎ + ||ℎ − ℎ ||ℎ → 0приЕсли норма согласованная, то:lim ||ℎ − ℎ ||ℎ = || − ||0 = 0 ⇒ ≡ ℎ→0ℎ→0Глава VМетоды решения ОДУ и систем ОДУ§1Примеры численных методов решения задачи Коши{︂= (, ()),(0) = 0 ; > 0,(1)() = (1 (), 2 (), . .

. , ()) (, ()) = (1 (, ()), 2 (, ()), . . . , (, ()))Рассмотрим параллелепипед = {|| ≤ , | − 0 | ≤ }Определение. Функция f(t, u) удовлетворяет в R условию Липшица по второму аргументу,если:| (, ) − (, )| ≤ | − |, = Пусть f(t, u) из (1) удовлетворяет условию Липшица в R. Тогда решение (1) u(t) существуети единственно при0 < < ("в малом"). Проинтегрируем первое уравнение из (1) и учтемначальное условие:∫︁ () = (0) + (, ())0На этом представлении основан метод Пикара:∫︁ +1 () = (0) + (, ()), = 0, 1, . . .0Этот метод не может быть эффективным методом решения задачи (1), так как интеграл невсегда можно посчитать аналитически, да и сходимость была бы медленной.

Поэтому длярешения систем ОДУ применяются разностные методы: первая группа методов - методы РунгеКутта, вторая - многошаговые разностные методы (например, метод Адамса). Введем последовательность : = { = , > 0, = 0, 1, . . . }Пример.Явная схема Эйлера.80Примеры численных методов решения задачи КошиВведем обозначения:Выразим+181 = ( ), ( , ( )) = . Тогда явная{︂ +1 −= , ∈ ,(0) = 0 ;схема Эйлера имеет вид:(2)из первого уравнения:+1 = + Все компоненты в правой части известны, то есть( ) .черезВведем погрешность+1| | ≤ ,M не зависит отТаким образом, имеем первый порядок точности поможно найти в явном виде. Обозначим = − ..Запишем погрешность аппроксимациина решении исходной задачи: = −Разложим+1в ряд Тейлора в точке+1 − + ( , ) .(3)Тогда:+1 − = ′ + ′′ + ( 2 )2Подставим последнее выражение в (3): = −′ + ( , ) − ′′ + ( 2 )2Учитывая, что−′ + ( , ) = 0,окончательно получаем: = ( )Пример.Схема «предиктор-корректор»(схема Рунге-Кутта).Обозначим + 0.5через+ 1 .2⎧ 1 −+ 2⎪⎨ 0.5= ( , ) — «предиктор»,+1 −= (+ 1 , + 1 ) — «корректор»,22⎪⎩ 0.5(0) = 0 ;(4)+1 = + (+ 1 , + 0.5 ( , ))2Для данной схемы имеем:2 = ( )Рассмотрим общий вид двухэтапного метода Рунге-Кутта:⎧⎨+1 −= 1 1 + 2 2 ,1 = ( , ),⎩2 = ( + 2 , + 21 ) = ( + 2 , + 21 1 );(5)Запишем погрешность аппроксимации (5) на решении (1): = −+1 − + 1 ( , ) + 2 ( + 2 , + 21 ( , ))(6)Примеры численных методов решения задачи КошиРазложим+182 .

Тогда:+1 − = ′ + ′′ + ( 2 )2 ( + 2 , + 21 ( , )) в окрестности точки ( , ):в ряд Тейлора в точкеДалее разложим ( + 2 , + 21 ( , )) = ( , ) +2 +21 ( , ) + (2 )Далее:2 += ( (, ())) =2Перепишем теперьс учетом проведенных преобразований:(︂(︂)︂)︂ ′ = − + 0.5++ 1 ( , ) + 2 ( , )+2 + 221 ( , ) + ( 2 ) == −′ + (1 + 2 ) ( , )+)︂(︂+ ((2 21 − 0.5)) ( , ) + ( 2 )+ (2 2 − 0.5)+2Потребуем, чтобы были выполнены следующие условия:1.1 + 2 = 12.2 2 = 2 21 = 0.5(условие аппроксимации)(для того, чтобы достичь второго порядка аппроксимации)Если выполнено только условие 1, тоПоложим = ( ),а если выполнены оба условия, то = ( 2 ).2 = , a 1 = 1 − , тогда условие 1 автоматически выполнено.

В последнем примере2 = 21 = 0.5, = 1. Если взять = 0.5, 21 = 2 = 1,параметры имели следующие значения:то получим симметричную схему:+1 − = 0.5( ( , ) + (+1 , +1 ))Общий m-этапный метод Рунге-КуттаРассмотрим общий m-этапный метод Рунге-Кутта:+1 − = 1 1 + 2 2 + · · · + ∑︁ = 1 — условие аппроксимации=11 = ( , )2 = ( + 2 , + 21 1 )3 = ( + 3 , + 31 1 + 32 2 )... = ( + , + 1 1 + 2 2 + · · · + −1 −1 )На практике редко используются методы Рунге-Кутта для > 4.

Приведем примеры разностныхметодов Рунге-Кутта, имеющих третий и четвертый порядок погрешности аппроксимации.Оценка точности на примере 2-х этапного метода Рунге-КуттаПример.83Схема Рунге-Кутта четвертого порядка.+1 − 1= (1 + 22 + 23 + 4 )61 = ( , )2 = ( + 0.5, + 0.5 1 )3 = ( + 0.5, + 0.5 2 )4 = ( + , + 3 )Данная схема имеет четвертый порядок аппроксимации поПример. : = ( 4 ).Схема Рунге-Кутта третьего порядка.+1 − 1= (1 + 42 + 3 )61 = ( , )2 = ( + 0.5, + 0.5 1 )3 = ( + , − 1 − 2 2 )Данная схема имеет третий порядок аппроксимации по§2 : = ( 3 ).Оценка точности на примере 2-х этапного метода РунгеКутта{︃= (, ()),(0) = 0>0(1)+1 − = (1 − ) ( , ) + ( + , + ( , )) 0 = 0 ∈ - параметр, в качестве которого можно выбирать любое число, лишь бы выполнялосьусловие второй погрешности аппроксимации.

Обычно выбираюта - некоторая константа. Будем рассматриватьВведем функцию погрешности ≥ 0, ∈ [0, 1].но, вообще говоря, это необязательно. : = − ( ) = − ⇒(2)+1 − +1 − =−+ (1 − ) ( , ) + ( + , + ( , ))(3)Для сходимости нужно показать, что:| | → 0,Покажем, что| | ≤ 2 ,→∞где M не зависит отОценка точности на примере 2-х этапного метода Рунге-Кутта84+1 − +1 − =−+ (1 − ) ( , )+ ( + , + ( , )) − (1 − ) ( , )+(1 − ) ( , ) − ( + , + ( , ))+(2) ( + , + ( , )) = + (1) + где(1)(2) , , обозначены слагаемые: = −+1 − + (1 − ) ( , ) + ( + , + ( , )),(1) = (1 − )( ( , ) − ( , )),(4)[︁]︁(2)(+,+(,))−(+,+(,)).=Введем допущение: функция f по второму аргументу удовлетворяет условию Липшица с(1)(2) и :константой L.

Оценим, исходя из этого допущения,|(1) | ≤ (1 − )| ( , ) − ( , )| ≤ (1 − )| − | = (1 − )| |,|(2) | ≤ | + ( , ) − + ( , )| ≤≤ (| − | + ⏟ ⏞ | − |) = (1 + )| − |⏟ ⏞≥0Из (3)⇒(2)+1 = + + (1) + [︀]︀|+1 | ≤ | | + | | + (1 − )| | + | | + 2 | | = | | + (1 + + 2 2 )| | ≤ 0, 5, заметив, что 1 + + 0, 5 2 2функции :Рассмотримпо Тейлоруявляются первыми членами разложения|+1 | ≤ | | + (1 + + 0, 5 2 2 )| | ≤ | | + | |Обозначим = .(5)Получим оценку:|+1 | ≤ | | + | |(6)Соотношение (6) можно рассмотреть как рекуррентную формулу. Легко видеть, что:+1 ≤ +1|0 | +∑︁− | |=0|+1 | ≤ max | |0≤≤Окончательно, получаем:∑︁=0− ≤ +1 +1 max | |0≤≤Многошаговые разностные методы85|+1 | ≤ max | |,M не зависит от0≤≤(7)Видно, что точность будет совпадать с порядком погрешности аппроксимации, а именно:1.2.

= 0, 5 ⇒ = ( 2 ) ⇒ | | = ( 2 ), = 0, ∀ ⇒ = ( ),т.е. имеем второй порядок погрешности.| | ≤ 1 ,1не зависит от,получаем первый порядокточности.§3Многошаговые разностные методы{︃= (, ()), > 0(0) = 0{︀}︀Введем сетку = = , > 0, = 0, 1, . . . .Обозначим = ( ), = (, ).(1)Определение. Линейным m-шаговым разностным методом решения задачи(1) называетсяметод, записанный уравнением:∑︁=0где , Если- числа,0 = 0, > 0.При этом− =∑︁ − ,(2)=00 ̸= 0, ̸= 0, = , + 1, .

. .то (2) - явный метод. Если0 ̸= 0,то (2) - неявный метод.Для начала вычислений по формуле (2) необходимы значения 0 , . . . , −1 - т.н. “Разгонный∑︀этап”. Так как формула (2) однородна по и , то полагают=0 = 1(условие нормировки).Неявный -шаговый разностный метод записывается в виде0 − 0 ( , ) = (−1 , −2 , . . . , − )∑︁∑︁ = − −−=1=1Уравнение (3) решается чаще всего методом Ньютона, причем в качествеВ явном разностном методе значения(3)(0)берется−1 .находятся по явной формуле)︁∑︁ (︁∑︁ = − −−0 =1=1Оценим погрешность аппроксимации на решении = −∑︁=0− +∑︁=0 (− , − )(4)Многошаговые разностные методы86− = ( − ) =∑︁(− )!=0 (− , − ) =′−=() ( ) + ( +1 )−1∑︁(− )!=0(+1) ( ) + ( )−1∑︁∑︁∑︁ ∑︁ (− ) () = − ( ) +(+1) ( ) + ( ) =!=0=0=0=0={︁}︁сдвиг индексов=−∑︁∑︁ (− )=0 =0∑︁∑︁=1 =0−∑︁=0 + [︁∑︁∑︁=0Условие аппроксимации:!() +(− )−1 () + ( ) =( − 1)!()(− )−1 ( + )=1∑︁ ]︁+ ( )( − 1)! = 0=0Для достижения аппроксимации порядка p должно быть выполнено соотношение:∑︁ −1 ( + ) = 0, = 1, 2, .

. . , =00 , 1 , . . . , , 0 , . . . , , и p+2 уравнений. Чтобысистема не была переопределенной, должно выполняться ≤ 2 ⇒ наивысший порядок аппроксимацииВ многошаговом методе 2m+2 неизвестных -равен 2m.Таким образом, для достижения порядка погрешности аппроксимацииследующие соотношения:0 = −∑︁=10 = 1 −∑︁=1∑︁=0 −1 ( + ) = 0, = 1, 2, . . . , должны выполнятьсяПонятие устойчивости разностных методов§487Понятие устойчивости разностных методовРассмотрим задачу Коши:{︃= (, ()),(0) = 0 . > 0,(1)Рассмотрим для примера такую схему: = −1 , ∈ C, = 0, 1, . .

. ;Придадимвозмущение0 = ,задан. :˜ = + .˜+1 = ˜ = + = +1 + +1 , где +1 = .|| > 1, то нарастает, следовательно, об устойчивостиТогдаЕслиговорить нельзя.Рассмотрим модельную задачу:{︃+ () = 0,(0) = 0 .Ее решение имеет вид > 0,(2)() = 0 − . Если > 0, то |()| ≤ |0 |, т.е. имеет место устойчивостьпо начальному условию.Устойчивость — внутреннее свойство разностной схемы. Разностная схема не обязательносохраняет устойчивость исходной задачи.Рассмотрим явную схему Эйлера:{︃+1 −= ( , ),0 = 0 .(3)Запишем ее для модельной задачи:+1 − + = 0.Выразим+1 :+1 = − = (1 − ) . = 1 − .