Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2010), страница 6

. + ,при этом значения коэффициентовзначениях = 1, 0 . . . (1)выбираются таким образом, чтобы при любыхбыло выполнено: ( ) = ( )(2)Утверждение. Покажем, что интерполяционный полином () для функции () по узлам{ }0существует и единственен.Доказательство. Распишем+1 уравнение из условия (2). Получим систему линейных уравнений:0 + 1 0 + . . . + 0 = 0 , 0 + 1 1 + . . .

+ 1 = 1 , . . . 0 + 1 + . . . + = ,Теперь посмотрим на определитель этой системы:⎡1⎢1∆=⎢⎣. . .101...422021...2............⎤01 ⎥⎥. . .⎦Интерполяционная формула Лагранжа43Из курса линейной алгебры известно, что данный определитель (определитель Вандермонда)равен произведению разности всех пар( , ), ̸= .По условию никакие два различных узлане могут дать нам нулевую разность, следовательно, определитель системы не равен нулю. Аэто и означает, что решение (т.е. ()) существует и единственно.Замечание.

Поскольку мы доказали существование и единственность интерполирующегополинома, то при его поиске, в какой бы форме мы его не получили, он будет тожественноравен всем своим представлениям в иных формах, полученных с помощью других методов.§2Интерполяционная формула ЛагранжаБудем искать интерполяционный полином в виде () =∑︁ () ( ), где:(1)=0 ()– полином-йстепени, ( )– известные значения функции в узлах.Замечание. По определению ( ) = ( ), ∀ = 1, .Будем строить полином следующим образом:Пусть () = ( − 0 )( − 1 ) · . . . · ( − ) = Π=0 ( − ).Тогда: ′ () = ([. . .]( − )) = [. . .] + [. .

.]′ ( − )= Π=0 ( − )̸=. (()– значение функции в точке).().Полиномы () вользмем равными(− ) ′ ()Определим погрешность метода как разность между значением полинома Лагранжа и значениемфункции: () = () − ()(2)Замечание. Для оценки погрешности метода мы требуем () ∈ +1 [, ].Утверждение.∀* ∈ [, ] : (* ) = (+1) ()· +1 (* ), ∈ (, )( + 1)!() = () − () − (), где - константа.Очевидно, что () имеет + 2 нуля: + 1 за счет обращения в ноль в узлах и последний нольза счет совпадения () − () = . В этом случае и есть искомая оценка. По теореме Ролля (+1) () = 0. Найдем эту производную:Доказательство. Пусть (+1) () = ( () − () − ())(+1) = (+1) () − 0 − · !Откуда и получаем: () − () = (+1) ()()( + 1)!Замечание.

Полином Лагранжа, вообще говоря, не сходится к ().Интерполяционная формула Ньютона§344Интерполяционная формула НьютонаОпределение. Назовем разделенной разностью первого порядка, построенной по узлам и ,следующее соотношение: ( , ) = ( ) − ( ) − Разделенной разностью второго порядка по узлам (−1 , , +1 ) =−1 , , +1(1)называется соотношение: (−1 , ) − ( , +1 )−1 − +1Аналогично определяем разделенную разность больших порядков.Утверждение. Разделенную разность –го порядка можно представить в виде: (0 , 1 , . . . , ) =Причем запись, ()∑︁ ( )′0,( )=0означает:, () = ( − )( − +1 ) · .

. . · ( − ), < Доказательство. Не ограничивая общности, будем рассматривать узлы с индексамиДокажем утверждение по индукции.База: (0 ) (1 )+=0 − 1 1 − 0 (1 ) (0 )+ ′′0,1 (0 ) 0,1 (1 ) = 1 : (0 , 1 ) =Переход:=:∑︁ ( ) (0 , . . . , ) =′0,( )=0Покажем что (0 , . . . , +1 ) =∑︀+1 ( ):′=0 0,+1( ) (0 , . . . , +1 ) = (1 , . . . , +1 ) − (0 , .

. . , )=+1 − 0+1∑︁∑︁1 ( ) ( )(−)=′′+1 − 0 =1 1,+1 ( ) =0 0,( )∑︁ ( ) (+1 ) (0 ) ( )1( ′− ′+− ′)′+1 − 0 1,+1 (+1 ) 0, (0 ) =1 1,+1 ( ) 0, ( )Рассмотрим знаменатели слагаемых отдельно:′′(+1 − 0 )1,+1(+1 ) = 0,+1(+1 )0.., ∈ N.Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционная формула Эрмита45′′(0 )(0 ) = −0,+1(+1 − 0 )0,1′( )1,+1−1′( )0,=( − 0 ) ( − +1 )(+1 − 0 )− ′= ′′0,+1 ( )0,+1 ( )0,+1 ( )Подставив преобразованные слагаемые, получим:∑︁ ( ) (0 ) (+1 )++′′′0,+1(0 ) 0,+1(+1 ) =1 0,+1( )Что и требовалось доказать.Определение.

Назовем интерполяционным полиномом Ньютона функции () по узлам { }0полином степени: () = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + . . . + Π−1=0 (0 , 1 , . . . , )( − )Покажем, что ()(2)интерполяционный полином: ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + . . . + Π−1=0 (0 , 1 , . . . , )( − ) + 0Эта сумма представляет собой разделенную разность порядка i, равную как раз ( ).Замечание. Полученный полином – тот же полином Лагранжа, только записанный в другойформе.Соответственно, его погрешность та же, что и у полинома Лагранжа.Отличие полинома Ньютона от Лагранжа в том, что для увеличения точности ()надотолько добавить информацию о новых узлах и не надо пересчитывать значения для старых.§4Интерполирование с кратными узлами.

Интерполяционнаяформула ЭрмитаПусть имеется m узлов:0 + . . . = + 1,0 , 1 , . . . , ,при этом ∈ N, = 0, – кратность каждого узла (где n – степень интерполирующего полинома ).Определение. Назовем интерполяционным полиномом Эрмита полином: () = ∑︁ −1∑︁, () () ( ),(1)=0 =0где, ()- полином-йстепени, коэффициенты которого находятся из условия:() ( ) = () ( ), = 0, , = 0, − 1Существование и единственность данного полинома очевидны, перейдем сразу к построению (). В общем случае выражение для полинома Эрмита достаточно громоздко, поэтому ограничимсярассмотрением конкретной задачи:Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционная формула ЭрмитаПостроить3 () = 0 () (0 ) + 1 () (1 ) + 2 () (2 ) + () ′ (1 ).Запишем условия, при которых данный полином будет интерполяционным:0 (0 ) = 1, 1 (0 ) = 0, 2 (0 ) = 0, (0 ) = 0,0 (1 ) = 0, 1 (1 ) = 1, 2 (1 ) = 0, (1 ) = 0,0 (2 ) = 0, 1 (2 ) = 0, 2 (2 ) = 1, (2 ) = 0,′0 (1 ) = 0, ′1 (1 ) = 0, ′2 (1 ) = 0, ′ (1 ) = 1.Будем искать0 ()в виде( − 1 )2 ( − 2 ), выбираем из условия1 = (0 − 1 )2 (0 − 2 ) =⇒ 0 () =Аналогично получаем выражение для( − 1 )2 ( − 2 )(0 − 1 )2 (0 − 2 )2 ():2 () =Теперь вычислим0 (0 ) = 1:( − 1 )2 ( − 0 )(2 − 1 )2 (2 − 0 )():1 () = ( − 0 )( − 1 )( − 2 )′1 (1 ) = (1 − 0 )(1 − 2 ) = 10 )(−2 )( − 1 ).1 () = ((−21 −2 ) (1 −2 )1 () = ( − 0 )( − 2 )( + ):Откуда получаемДалее пусть1 (1 ) = 1 = (1 − 0 )(1 − 2 )(1 + )′1 (1 ) = 0 = (1 − 0 )(1 − 2 ) + (1 + )(21 − 0 − 2 )Из этих уравнений получаем:=−=(21 − 0 − 2 )(1 − 0 )2 (1 − 2 )21 (21 − 0 − 2 )1[1 +](1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )Подставляя найденные выражения, имеем:3 () = (0 ) ·(1 +( − 1 )2 ( − 2 )( − 0 )( − 2 )+()··1(0 − 1 )2 (0 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − )(21 − 0 − 2 )( − 1 )2 ( − 0 )) + (2 ) ·+(1 − 0 )(1 − 2 )(2 − 1 )2 (2 − 0 ) ′ (1 ) ·( − 0 )( − 2 )( − 1 )(1 − 2 )2 (1 − 2 )46Использование полинома Эрмита третьей степени для получения точной оценкипогрешности квадратурной формулы Симпсона47Погрешность полинома Эрмита3 () = () − 3 ()() = () − 3 () − (), где получаем из условия () = 0 :Введем функциюКонстанту=– константа,() = ( − 0 )( − 1 )2 ( − 2 ).

() − 3 ()()Далее для применения теоремы Ролля требуем∃ (4) () ∈ [, ]. Применив несколько раз теоремуРолля к g(s), получим:∃ ∈ (, ) : (4) () = 0,откуда и получем окончательную оценку () − 3 () = (4)()4!Погрешность полинома Эрмита n-ой степени равна: () − () = (+1) ()( − 0 )0 ( − 1 )1 . .

. ( − )( + 1)!0 + 1 + · · · + = + 1Задача. Пусть заданы узлы 0 , 1 , 2 , 3 , причем 3 ̸= , = 0, 1, 2, и значения функции f вэтих узлах. Доказать, чтоlim 3 () = 3 ().3 →1Доказательство. Рассмотрим полином Лагранжа для функции f:3 () =При§53 → 1 :( − 1 )( − 2 )( − 3 ) (0 ) + . . .(0 − 1 )(0 − 2 )(0 − 3 )( − 1 )2 ( − 2 )3 () → (0 ) + · · · = 3 ()(0 − 1 )2 (0 − 2 )Использование полинома Эрмита третьей степени дляполучения точной оценки погрешности квадратурной формулыСимпсоначастичные отрезкиотрезке имеем:[−1 , ], − −1 =∫︁ () =−1∫︀ () на отрезке [, ] с разбиением наℎ, объединение которых дает [, ]. На i-ом частичномРассмотрим квадратурную формулу Симпсона дляℎ(−1 + 4− 1 + )26Использование полинома Эрмита третьей степени для получения точной оценкипогрешности квадратурной формулы Симпсона48(︂ = ( ), − 1 = 2ℎ −2)︂ () = 0 +1 +2 2 , то квадратурная формула Симпсона точна (по построению). Формула23Симпсона будет точна и для кубических многочленов ( () = 0 + 1 + 2 + 3 ).

Чтобы∫︀ 3показать это, найдем :Если−1∫︁ℎ113 = (4 − 4−1 ) = (2 − 2−1 )(2 + 2−1 ) = ( + −1 )(2 + 2−1 )444−1Теперь запишем формулу Симпсона для∫︀3 и преобразуем ее:−1)︁ ℎℎ (︁ 3−1 + 43− 1 + 3 =266(︂)︂( + −1 )333 + −1 + 4=232 + 2 −1 + 2−1ℎ( + −1 )(2 − −1 + 2−1 + )62(︂ 2)︂3 + 32−1ℎℎ= ( + −1 )= ( + −1 )(2 + 2−1 )624=Таким образом, мы показали, что формула Симпсона точна и для многочленов третьей степени.Приблизим подынтегральную функцию ()полиномом Эрмита3 ():3 (−1 ) = −13 (− 1 ) = − 1223 ( ) = ′3′ (− 1 ) = −122 () = 3 () + 3 ()∫︁∫︁∫︁ () =3 () +3 () =−1−1−1ℎ= (3 (−1 ) + 43 (− 1 ) + 3 ( )) +26∫︁3 () =−1=ℎ(−1 + 4− 1 + ) +26∫︁3 ()−1Найдем погрешность на i-ом частичном отрезке:∫︁ =−1ℎ () − (−1 + 4− 1 + ) =26∫︁3 ()−1Использование полинома Эрмита третьей степени для получения точной оценкипогрешности квадратурной формулы Симпсона49Погрешность для полинома Эрмита имеет вид:3 () =Пусть4 =| (4) ()|,sup (4) ()( − −1 )( − − 1 )2 ( − )24!тогда справедлива оценка:∈[−1 , ]4|3 ()| ≤4!∫︁( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) = (ℎ5 )2−1Задача.

Доказать, что∫︀( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) =2−1ℎ5.120Доказательство. Проведем замену в подынтегральном выражении:0≤≤1 = −1 + ℎ,Тогда: = ℎ − −1 = ℎ − = ℎ(1 − )1( − − 1 )2 = ℎ2 ( − )222Таким образом, требуемый интеграл легко вычислить:∫︁( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) =2−15∫︁1=ℎ)︂2)︂(︂∫︁1 (︂1ℎ55 2453 (1 − ) − = ℎ =2 − − +24412000Теперь мы можем оценить погрешность на всем отрезкеΨ=∑︁[, ]: (ℎ)=1|Ψ| ≤Учтем, что4 ℎ5 4! 120ℎ = − :4 ℎ4 ( − )|Ψ| ≤=4!120(︂ )︂4ℎ 4 ( − )2180Замечание. Если подынтегральную функцию заменить соответствующим полиномом Лагранжа,то погрешность квадратурной формулы Симпсона увеличится.Наилучшее среднеквадратичное приближение функции§650Наилучшее среднеквадратичное приближение функцииОпределение.

Функция f(x) называется интегрируемой с квадратом на отрезке [a, b], если∫︀ 2 () < ∞.Рассмотрим линейное пространство[, ]. = 2 функций, интегрируемых с квадратом на отрезке∈ 2 ):Введем скалярное произведение функций f(x) и g(x) (, ∫︁(, ) = ()()Теперь определим норму:∫︁1|| || = (, ) = ( 2 ()) 212Рассмотрим совокупность функций:0 (), 1 (), . . . , ()— ЛНЗ и интегрируемые с квадратом, ∈ 2(1)Рассмотрим обобщенный многочлен:() =∑︁ (),— числа(2)=0Среди всех обобщенных многочленов нам необходимо найти обобщенный многочлен(), такойчто:|| () − ()|| = min || () − ()|| =∈2)︃2 ⎞ 21∫︁ (︃∑︁= min ⎝ () − () ⎠⎛∈2=0Обобщенный многочлен() называется наилучшим среднеквадратичным приближением функцииf(x). Покажем, что оно существует и единственно.Утверждение.