Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2010)

Московский Государственный УниверситетФакультет Вычислительной Математики и КибернетикиЛекции по курсу “Численные методы”Лектор: Н. И. Ионкин3 курс, 3 потокМосква, 2009ОглавлениеВведение2Колесо Самарского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Содержание курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Список литературыI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Численные методы линейной алгебры34§1Введение§2Разложение матрицы на множители.

Связь этого разложения с методом Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5Разложение матрицы на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители.

. . . . . . . . . . .7§3Обращение матриц методом Гаусса-Жордана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8§4Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10§5Примеры и канонический вид итерационных методов решения СЛАУ . . . . . . .12§6Теоремы о сходимости итерационных методов . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .15§7Оценка скорости сходимости итерационных методов. . . . . . . . . . . . . . . . .21§8Исследование сходимости попеременно треугольного итерационного метода . . . .25§9Методы решения задач на собственные значения. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .27Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений . . . . . . .28Метод обратных итераций30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Метод обратных итераций со сдвигом . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .32§10Приведение матрицы к верхней почти треугольной форме (ВПТФ). . . . . . . .32§11Понятие о QR-алгоритме. Решение полной проблемы собственных значений. . . .37QR-алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .38Свойства QR-алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39II Интерполирование и приближение функций§1Постановка задачи интерполирования41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41Интерполирование алгебраическими полиномами . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .41§2Интерполяционная формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42§3Интерполяционная формула Ньютона43§4Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционная формула Эрмита . . .44Погрешность полинома Эрмита46. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§5Использование полинома Эрмита третьей степени для получения точной оценкипогрешности квадратурной формулы Симпсона . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .46§6Наилучшее среднеквадратичное приближение функции491. . . . . . . . . . . . . . .Оглавление2III Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений 52§1Введение§2Метод простой итерации§3. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Метод Эйткена (ускорение сходимости) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54Метод Ньютона и метод секущих54. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Метод Ньютона для системы уравнений§4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Метод секущих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56Сходимость метода Ньютона и оценка сходимости57. .

. . . . . . . . . . . . . . . .IV Разностные методы решения задач математической физики§15259Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности .59Явная разностная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60Чисто неявная разностная схема (схема с опережением) . . . . . . . . . . . . . . .63Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсона) .

. . . . . . . . . . .65Задача Штурма-Лиувилля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66Разностная схема с весами. Погрешность аппроксимации. . . . . . . . . . . . . . .69§2Разностные схемы для уравнения Пуассона (задача Дирихле) . . . . . . . . . . . .71§3Сходимость разностной задачи Дирихле73§4Методы решения разностной задачи Дирихле. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .74. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75Метод Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75Попеременно-треугольный итерационныя метод (метод Самарского) . . . . . . . .75Простая итерация (метод Якоби)§5. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. 76V Методы решения ОДУ и систем ОДУ§179Примеры численных методов решения задачи КошиОбщий m-этапный метод Рунге-Кутта. . . . . . .

. . . . . . . . . .79. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81§2Оценка точности на примере 2-х этапного метода Рунге-Кутта§3Многошаговые разностные методы§4Понятие устойчивости разностных методов. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .86§5Жесткие системы ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89§6Дальнейшее определение устойчивости и примеры разностных схем. Интегрированиежестких схем ДУ. . . . . . . . . . .82. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90Явная схема Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Неявная схема Эйлера . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Симметричная схема92. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ВведениеКолесо СамарскогоПри изучении объектов окружающего мира математическими методами используют прницип“колеса Самарского”, изображенный на рисунке. В данном курсе рассматривается фаза “разработкаалгоритма” этого принципа.Содержание курсаГлава IЧисленные методы линейной алгебры.Глава IIИнтерполирование и приближение функций.Глава IIIРешение нелинейных уравнений и систем.Глава IVРазностные схемы для уравнений математической физики.Глава VРешение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и системобыкновенных дифференциальных уравнений.3ОглавлениеСписок литературы1.

Самарский А. А., Гулин А. В. “Численные методы” М. Наука 19832. Самарский А. А. “Теория разностных схем” М. Наука 19833. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. “Численные методы” М. Наука 19734. Самарский А. А. “Введение в численные методы” М. Наука 19825. Калиткин Н. Н. “Численные методы” М. Наука 19786. Самарский А. А., Николаев И. С. “Методы решения сеточных уравнений”7. И. С. Березин, Н. П. Жидков “Методы вычислений”4Глава IЧисленные методы линейной алгебры§1ВведениеРассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в матричном виде = ,где— матрица размера(1)( × ), || ≠ 0, = (1 , .

. . , ) , = (1 , . . . , ) .Из невырожденности матрицыследует, что решение системы (1) существует и единственно.Выделяют две группы методов поиска решения СЛАУ:1. Прямые (точные) методы. Примеры: метод Гаусса (требуетКрамера (требует∼ !∼ 3действий), формуладействий), метод квадратного корня. Эти методы позволяют законечное число действий получить точное решение.2. Итерационные (метод последовательных приближений).0— первое приближение,→∞ −−−→ .При работе с итерационными методами задача обычно ставится следующим образом: дляданного>0найти0 ()такое, что| − | < ∀ ≥ 0Мы будем также рассматривать задачу на собственные значения.

Она формулируется так: найтивсе такие числаи ненулевые векторы,что для данной матрицывыполняется = .называется собственным значением,- собственным вектором матрицы5(2).Разложение матрицы на множители. Связь этого разложения с методом Гаусса§26Разложение матрицы на множители. Связь этого разложенияс методом Гаусса = , || ≠ 0(1)Подсчитаем число действий, необходимое для решения уравнения (1) методом Гаусса. Действиембудем считать умножение или деление.1. Прямой ход метода Гаусса:⎛⎞1 × ··· ×⎜0 1 · · · × ⎟⎜⎟∙ ⇒ ⎜ ..