Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2010) (1135227), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда +1 = .выполнялось || ≤ 1, т.е.ОбозначимТаким образом, для устойчивость необходимо, чтобы1 − ≥ −1,0 < ≤ 2.Таким образом, для того, чтобы явная схема Эйлера была устойчивой (для модельной задачи),необходимо выполнение условия0< ≤2.(4)Это означает, что явная схема Эйлера является условно устойчивой (для модельной задачи).Понятие устойчивости разностных методов88Рассмотрим неявную схему Эйлера:+1 − = (+1 , +1 ).Перепишем ее:+1 + (+1 , +1 ) = .(5)Для решения нелинейного уравнения (5) обычно применяется метод Ньютона, в качественачального приближения для нахождения+1используют .Перепишем (5) для модельной задачи:+1 + +1 = ,(1 + ) = +1 ,1.+1 = , =1 + Заметим, что || < 1 при > 0, > 0. Это значит, что неявная схема Эйлера является абсолютноустойчивой (для модельной задачи).Таким образом, для устойчивой дифференциальной задачи существуют как устойчивые, таки неустойчивые схемы.Рассмотрим произвольный∑︁=0-шаговый− =∑︁разностный метод: − ,0 , .
. . , −1заданы.(6)=0Запишем его для модельной задачи:∑︁=0− + ∑︁ − = 0,(7)=0∑︁( + )− = 0.=0Будем искать решение этого уравнения в виде = .Подставим это (7):∑︁( + ) − = 0.=0Разделим обе части этого уравнения на − ,получим∑︁ (, ) =( + ) − = 0.(8)=0Уравнение (8) называется характеристическим уравнением. Для устойчивости необходимо,чтобы его корни по модулю не превосходили 1 (иначе решение будет неограниченно нарастать).Однако, нахождение корней уравнения (8) – трудная задача, и обычно рассматривают болеепростое уравнение: (0, ) =∑︁ − = 0.=0Уравнение (9), также как и уравнение (8), называют характеристическим уравнением.(9)Понятие устойчивости разностных методов89Определение.
Говорят, что разностная схема(6) удовлетворяет условию(),если всекорни характеристического уравнения (9) лежат внутри или на границе единичного кругакомплексной плоскости, причем на границе нет кратных корней.Теорема. Пусть разностная схема ≤ .(6) удовлетворяет условиюТогда для любого достаточно малого(︃| − | ≤ ∑︁не зависит от, и|′ | ≤ при0 ≤ =справедливо)︃ | | + max | − ( )| ,0≤≤−1=где()(10)– погрешность аппроксимации разностного метода (6) на решениезадачи (1).Замечание. Метод Адамса удовлетворяет условию ():0 = −1 = 1, − −1 ∑︁ − .=−0Характеристическое уравнение имеет вид: − −1 = 0,оно имеет корни=0и = 1,причем=1– некратный корень.Замечание.
Для неявных схем наивысший порядок погрешности аппроксимации ≤ 2. Дляявных схем ≤ 2 − 1.Однако, схемы высокого порядка не удовлетворяют условию(), т.е. не являются устойчивыми.(),Наивысший порядок погрешности аппроксимации для схем, удовлетворяющих условиюследующий:1.
Для неявных схем:(a) Если m – четно, то ≤ + 2.(b) Если m – нечетно, то2. Для явных схем ≤ + 1. ≤ .Замечание. Говорить об условной или безусловной устойчивости не имеет смысла. Онавсегда условная, т.к. рассматриваются малые.Задача. Доказать, что для схемы2−1 + −2 + 4−1 − 5−2=63имеет место = ( 3 ).Жесткие системы ОДУ90Решение. = − + 4−1 − 5−2 2−1 + −2+.63Запишем условия, налагаемые на многошаговый разностный метод для того, чтобы погрешностьаппроксимации имела порядок 3:⎧∑︀⎪⎪=1− ,0⎪⎪=1⎪⎪⎪∑︀⎪⎪ ,⎨0 = −=1∑︀⎪⎪ = −1,⎪⎪⎪=1⎪⎪∑︀⎪⎪⎩ −1 ( + ) = 0, = 2, 3.=0 = 2, 0 = 61 , 1 = 23 , 2 = − 56 , 0 = 0, 1 = 23 , 2 = 13 .
Выписанные условия,3проверить, выполняются. Таким образом, = ( ).В нашем случае,как легкоРассмотренная в предыдущей задаче схема неустойчива. Действительно, для нее характеристическоеуравнение имеет вид: 2 + 4 − 5 = 0.Это уравнение имеет корниудовлетворяет условию§51 = 1, 2 = −5.Т.к.|2 | > 1,то данный разностный метод не().Жесткие системы ОДУРассмотрим систему ОДУ⎧1⎪⎨ + 1 1 () = 0, > 0,2+ 2 2 () = 0, > 0,⎪⎩1 (0) = 10 , 2 (0) = 20 , 1 > 0, 2 > 0.(1)Решение имеет вид:1 () = 10 −1 ,2 () = 20 −2 .1 >> 2 . Тогда такая система ОДУ называется жесткой. С некоторого момента решение 2 () мало отличается от 0. Однако, если мы решаем эту систему при помощи22явной схемы Эйлера, то нам нужно использовать шаг ≤ min{ ,} = 22 . Это будет весьма1 2*маленький шаг, ибо 1 >> 2 .
Но с некоторого момента 2 можно “не считать”, т.е. использованиеПусть*маленького шага излишне. Таким образом, явные схемы для жестких систем ОДУ не годятся.Если использовать неявную схему, то можно взять более крупный шаг.( · )с постоянными числами,+ () = 0, > 0() = (1 (), 2 (), . . .
, ()) .Определение. Система линейных уравнений называется жесткой, если:(2)Дальнейшее определение устойчивости и примеры разностных схем. Интегрированиежестких схем ДУ1. > 02.=91(устойчивость по Ляпунову),1≤≤ | |1≤≤ | |>> 1(s – число жесткости).Введем понятие жесткости для нелинейной системы:= (, ()), > 0(3)(0) = 0Пусть() – некоторое решение задачи (3), тогда рассмотрим в окрестности данного решенияразность:() = () − ()= (, () + ()) − (, ()), = 1, Разложим (, () + ()) в окрестности точки (, ()), удерживая только первую производную: (, () + ()) = (, ()) +Обозначим(, ())1 () + . .
.(, ()) () + (||)1= (, ())(4)По определению,(, ()) = ( (, ())) , , = 1, .Теперь введем число жесткости s как отношение:Определение. Система1. < 0,2.() >> 1.§6=.(3) называется жесткой, если:Дальнейшее определение устойчивости и примеры разностныхсхем. Интегрирование жестких схем ДУРассмотрим линейную задачу:= Λ, > 0(0) = 0При этомΛ– собственные значение матрицы первого приближения J системы (4).Определение. Областью устойчивости разностного метода для задачивсех точек комплексно плокостиПример:(1) = Λ ∈ C,(3) называется множестводля которых метод устойчив.Дальнейшее определение устойчивости и примеры разностных схем.
Интегрированиежестких схем ДУ92Явная схема ЭйлераМетод является устойчивым,+1 − = , +1 = (1 + )если || < 1, = 1 + . Тогда областьустойчивости определяетсянеравенством:|1 + | ≤ 1|1 + 0 + 1 | ≤ 1(1 + 0 )2 + 21 ≤ 1В данном случае область устойчивости представляет собой внутренность круга с центром вточке (0, -1) и радиусом 1 в координатах0 , 1 .Неявная схема Эйлера+1 − = (+1 , +1 )+1 − − +1 = 0+1 (1 + ) = Обозначим=1.1 − Найдем область устойчивости:||| ≤ 11|≤11 − |1 − | ≥ 1(1 − 0 )2 + 21 ≥ 1Областью устойчивости неявной схемы Эйлера является внешность круга радиуса 1 с центромв точке (1, 0).Определение. Разностный метод A-устойчив, если область его устойчивости содержитлевую полуплоскость.Замечание.
Если разностный метод А-устойчив, то он абсолютно устойчив.Утверждение. Доказано, что абсолютно устойчивых многошаговых разностных методов несуществует.Утверждение. Доказано, что не существует абсолютно устойчивых многошаговых неявныхразностных методов, точность которых выше 2 порядка.Рассмотрим пример разностного метода, имеющего второй порядок точности, который являетсяА-устойчивым.Дальнейшее определение устойчивости и примеры разностных схем. Интегрированиежестких схем ДУ93Симметричная схема+1 − = 0.5( ( , ) + (+1 , +1 ))Проверим, будет ли данная схема абсолютно устойчивой:+1 − = 0.5( + +1 )(+1 − ) − 0.5( + +1 ) = 0(1 − 0.5)+1 = (1 + 0.5)+1 = , =(1 + 0.5)(1 − 0.5)Устойчивость|| ≤ 1|1 + 0.5| ≤ |1 − 0.5|(1 + 0.50 )2 + 21 ≤ (1 − 0.50 ) + 211 + 0 + 0.2520 ≤ 1 − 0 + 0.2520А это возиожно только в том случае, если0 ≤ 0.Определение.
Разностный метод называется ()-устойчивым ( > 0), если область устойчивостиэтого метода содержит угол в левой полуплоскости (0≤ 0).Замечание. Явных А()-устойчивых методов не существует. Были найдены ()-устойчивыеметоды 3го и 4го порядка.Рассмотрим пример разностной схемы 4го порядка, которая являетсянекоторого()-устойчивоя > 0:25+4 − 48+3 + 36+2 − 16+1 + 3= (+4 , +4 )12для.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
