Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2010), страница 8

Если метод Ньютона сходится, то он сходится очень быстро.Замечание. Начальное приближение должно быть близко к корню (в соответствии с условием(4)).Напомним, что модифицированный метод Ньютона имеет вид:Для этого метода()+1 = − ( ). ′ (0 )() = − (). ′ (0 )имеет видДля этого метода аналогичное утверждение не имеет место, ибо ′ (* ) ̸= 0в общем случае.Глава IVРазностные методы решения задачматематической физики§1Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнениятеплопроводностиРассмотрим область = {(, ) ∈ R2 : 0 < < 1, 0 < ≤ } (– заданное положительноечисло).Запишем первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в этой области: 2=+ (, ), (, ) ∈ ,2{︃(0, ) = 1 (),(1, ) = 2 (),краевые условия:(1)(2)начальное условие:(, 0) = 0 ().(3)Введем следующие обозначения:ℎ = { = ℎ, = 1, .

. . , − 1, ℎ = 1}, ℎ = { = ℎ, = 0, . . . , , ℎ = 1}, = { = , = 1, . . . , 0 , 0 = }, = { = , = 0, . . . , 0 , 0 = }, ℎ = × ℎ , ℎ = × ℎ, = ( , ), = ( , ).Множества*и*называются сетками, элементы этих множеств – узлами. Значенияназываются шагами сетки. Внутренними узлами назовем узлы сеткиБудем обозначать численное решение поставленной задачи через = ( , ).60 ℎ .(, ).ПустьиℎРазностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности61Явная разностная схемаЗапишем рассматриваемую задачу: 2=+ (, ), 0 < < 1,2{︃(0, ) = 1 (),(1, ) = 2 (),краевые условия:0 < ≤ ,(4)(5)начальное условие:(, 0) = 0 ().(6)Разностный аналог задачи (4) – (6) имеет вид: − 2 + +1+1 − = −1+ ( , ), ( , ) ∈ ℎ ,ℎ2{︃0+1 = 1 (+1 ), +1 ∈ ,+1= 2 (+1 ), +1 ∈ ,0 = 0 ( ),Множество узлов{( , ), = 0, .

. . , }(7)(8) ∈ ℎ .называется-м(9)слоем.При изучении разностных схем возникают следующие вопросы:1. Существование и единственность решения2. Погрешность аппроксимации разностной схемы3. Алгоритм нахождения численного решения4. Исследование устойчивости разностной схемы5. Оценка скорости сходимости разностной схемыОтветим на вопросы 1 и 3 для явной разностной схемы. Перепишем (7) в виде ( − 2 + +1) + , = 1, . . . , − 1.ℎ2 −1узлах ( = 0, = ) заданы формулами (8).

Значения +1 = +Значенияв граничных(10)при=0— формулой (9). Таким образом, решение явной разностной схемы существует и единственно ивыписан алгоритм его нахождения. Задача решается по слоям, т.е. значения нанаходятся по явной формуле по известным значениям наОпределим погрешность разностной схемы так:-м( + 1)-мслоеслое. = − .Введем функциютак:−1 − 2 + +1 +1− =−+ .2ℎ(11)Тогда (7) можно переписать следующим образом: − 2 + +1+1 − = −1+ ,ℎ2( , ) ∈ ℎ .(12)Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводностиОпределение.

Функция , определяемая равенством62(11), называется погрешностью аппроксимацииразностной схемы (7) — (9) на решение задачи (4) — (6).Задача. Доказать, что = ( + ℎ2 ).Решение. Разложим( , +1 )в узле( , )по формуле Тейлора:( , +1 ) = +1= ( , ) + ( , ) + ( 2 ).Разложим(+1 , )в узле( , )по формуле Тейлора:11(+1 , ) = +1 = ( , ) + ( , )ℎ + ( , )ℎ2 + ( , )ℎ3 + (ℎ4 ).26Разложим(−1 , )в узле( , )по формуле Тейлора:11(−1 , ) = +1 = ( , ) − ( , )ℎ + ( , )ℎ2 − ( , )ℎ3 + (ℎ4 ).26Подставив выписанные разложения в (11), приведя подобные члены и воспользовавшись (4),получим = ( + ℎ2 ).Краевые условия дляимеют вид:+10+1 = = 0,А начальное условие для+1 = .(13):0 = 0, = ℎ .(14)Введем норму на слое:‖ ‖ = max | |.0≤≤Введенная таким образом норма называется равномерной (сильной).+1Выразим в формуле (12):+1 = + ) + .( − 2 + +1ℎ2 −1Потребуем выполнения следующего условия:1=≤ .2ℎ2(15)Если разностная схема сходится при ограничении на шаги сетки, то такая разностная схеманазывается условно сходящейся.

Если сходимость разностной схемы не зависит от шагов сетки,то разностная схема называется абсолютно сходящейся.Докажем, что условие (15) является необходимым и достаточным для сходимости (и устойчивости)явной разностной схемы.Докажем достаточность условия (15). Пусть это условие выполнено. Тогда+1 = (1 − 2) + (−1+ +1) + ,Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности63|) + ,| + |+1|+1 | ≤ (1 − 2)| | + (|−1|+1 | ≤ (1 − 2)‖ ‖ + (‖ ‖ + ‖ ‖ ) + ‖ ‖ ,|+1 | ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ ,поскольку это выполняется для всех,то‖ +1 ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ .(16)Применяя формулу (16) как рекуррентную, получим‖+10‖ ≤ ‖ ‖ + ∑︁‖ ‖ ,=0‖ 0 ‖ = 0,посколькуто‖ +1 ‖ ≤ ∑︁‖ ‖ .=02= ( + ℎ ), то ∃ > 0 : ‖ ‖ ≤ ( + ℎ2 ), ∑︀ = +1 ≤ , имеемУчитывая, чтоТ.к. не зависит отиℎ.=0‖ +1 ‖ ≤ ( + ℎ2 ) = 1 ( + ℎ2 ).При этом,1не зависит отиℎ.Мы получили априорную оценку‖ +1 ‖ ≤ 1 ( + ℎ2 ).(17)Из полученной оценки следует, что, ℎ → 0 ⇒ ‖ +1 ‖ → 0,т.е.‖ +1 − +1 ‖ → 0.Таким образом, имеет место сходимость чилсенного решения к решению исходной задачи.Несколько слов об устойчивости.Пусть(0, ) = (1, ) = 0.Тогда, проведя рассуждения, аналогичным описанным выше,имеем‖+1‖ ≤ ‖0 ‖ +∑︁ ‖ ‖ ,=0‖+1‖ ≤ ‖0 ‖ + ∑︁‖ ‖ .(18)=0Разностную схему, в которой выполняется (18), называют устойчивой по начальному условиюи правой части.

Таким образом, явная разностная схема устойчива по начальному условию иправой части при выполнении условия (15).Докажем, что условие (15) является необходимым для сходимости явной разностной схемы.Рассмотрим однородную систему−1− 2 + +1+1 − ,=ℎ2( , ) ∈ ℎ .(19)Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводностиБудем искать ее решение в виде = ℎ ,где2 = −1, ∈ R, ∈ C.64Подставим это вуравнение (19).

Получим = 1 + (ℎ − 2 + −ℎ ) = 1 + (2 cos ℎ − 2) = 1 − 4 sin2Если взятьтакое, что|| > 1,т.е. > 21 ,ℎ.2то гармоники будут неограниченно возрастать иразностная схема будет расходиться.Таким образом, условие (15) является необходимым и достаточным для сходимости и устойчивостиявной разностной схемы.Чисто неявная разностная схема (схема с опережением)Запишем рассматриваемую задачу: 2=+ (, ),20 < < 1,0 < ≤ ,(20)краевые условия:{︃(0, ) = 1 (),(1, ) = 2 (),(21)начальное условие:(, 0) = 0 ().(22)Разностный аналог задачи (20) – (22) имеет вид:+1+1−1− 2+1 + +1+1 − =+ ( , +1 ),ℎ2{︃0+1 = 1 (+1 ),+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ),( , +1 ) ∈ ℎ ,(23)+1 ∈ ,+1 ∈ ,(24) ∈ ℎ .(25)Перепишем (23) в виде:+1+1−1− (1 + 2)+1 + +1= −( + +1 ), = 1, .

. . , − 1.являетсятрехдиагональной. Эта система решается методом прогонки. Можно доказать, что|| ̸= 0.Данная система уравнений состоит из трехточечных уравнений. Ее матрицаТаким образом, решение данной системы существует и единственно, и находится методом прогонки.Введем погрешность: = − ( , ) = − Тогда для погрешности получим уравнение:+1 +1 − 2+1 + −1+1 − = +1+ ,2ℎгде =+1+1+ +1+1− +1 − 2−1−+ +1ℎ2(26)(27)Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводностиЗадача. Показать, что изРешение. Разложим+1±1и(27) есть65( + ℎ2 ).в ряд Тейлора:+1+1+1± ,ℎ + +1±1 = ,ℎ3ℎ2± +1+ (ℎ4 ),262 = +1− +1, + ( )Подставим эти разложения в формулу (27).

Получим:+1+1) + ( + ℎ2 ) = ( + ℎ2 ) = (−+1, + , + Заметим, что:+10+1 = = 0 = 0,Пусть∃0 , = 0, . . . , (28)такой что:|+1| = max |+1 | = || +1 ||01≤≤+1+1+1 = + (+1− 2+1 + −1) + ,=ℎ2+1+1(1 + 2)+1 = + (+1+ −1) + Запишем последнее равенство для узла0 :(1 + 2)+1= 0 + (+1+ +1) + 000 +10 −1(1 + 2)|+1| ≤ |0 | + (|+1| + |+1|) + |0 |00 +10 −1(1 + 2)|| +1 || ≤ || || + 2|| +1 || + || |||| +1 || ≤ || || + || ||Последнее соотношение является реккурентным. Применим его n раз:||+10|| ≤ || || +∑︁ || ||=0Из (28) имеем:|| 0 || = 0.Так как|| || ≤ ( + ℎ2 ),||+1|| ≤ ∑︁где M не зависит оти h, то: ( + ℎ2 )=0Таким образом, окончательно получаем:|| +1 || ≤ 1 ( + ℎ2 ),1 = +1— не зависит оти h.Из последнего соотношения следует, что чисто неявная разностная схема асболютно сходится+1(имеем абсолютную сходимость первого порядка по и второго порядка по h).

Если 0=+1 = 0, то:∑︁+1|| || ≤ ||0 || + || ||=0Таким образом, получаем устойчивость чисто неявной разностной схемы по начальному приближениюи правой части.Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности66Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсона)Обозначим через,вторую разностную производную по пространственной переменной:,=+1− 2 − −1ℎ2Разностная схема имеет вид:+1 − +1= 0.5(,) + ( , + 0.5 )+ ,+10+1 = 1 (+1 ), = 2 (+1 ),0 = 0 ( ),Введем погрешность: = − .+1+ , ) − = 0.5(,+1±1и(30)(31)Тогда для погрешности имеем:+10+1 = = 0,Решение. Разложим+1 ∈ ∈ ℎ+1 − +1= 0.5(,+ ,) + ,Задача.

Показать, что из(29)(34) есть0 = 0,( , +1 ) ∈ ℎ = 0, . . . , + 21(34)( 2 + ℎ2 ).( , + 1 ):21 + 1+ , 2+ ( 3 )2 221 + 1 (︁ )︁2+ 1 − , 2 + , 2+ ( 3 )2 22+ 21 = (33)+1− + ( , + 0.5 )в ряд Тейлора в окрестности точки+1= (32)(︁ )︁2+ 12+ ,Подставим эти разложения в формулу (34):+ 12 = −,+ 12+ ( 2 ) + 0.5(+1, + , ) + Теперь в представлении второй разностной производной разложим все вхождения функции вряд Тейлора. Приводя подобные слагаемые, получим:,= , + ,Применим это разложение кℎ2+ (ℎ4 )12+1,, а затем проведем еще одно разложение в ряд Тейлора в точке( , + 1 ):2ℎ2+ (ℎ4 ) =122ℎ2 + 1 + 12 ℎ+ 12+ ,2 + ,+ ,· + ( 2 + ℎ4 )21212 2+1+1,= +1, + ,+ 1= ,2Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводностиТо же самое проделаем и с67:,ℎ2+ (ℎ4 ) =12, = , + ,+ 12ℎ2 + 12 ℎ+ 12+ ,− ,· + ( 2 + ℎ4 )21212 2выражение для и учтем уравнение теплопроводности:+ 1= ,2 − ,2Подставим эти разложения в+ 21 = (−,+ 1+ 12+ ,2 + + 12) + ,ℎ2+ ( 2 + ℎ4 ) = ( 2 + ℎ2 )12Задача Штурма-ЛиувилляРассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка:{︂′′ () + () = 0,(0) = (1) = 0;0 < < 1,u(x), не равные тождественно нулю, - собственные функции ЗШЛ, аЗШЛ.

Решением данной задачи являются собственные значения- собственные значенияи собственные функции (): = ()2 , = 1, 2, . . .0 < 1 < 2 < · · · < < . . . () = sin()Рассмотрим линейное пространство∫︀12 функций, интегрируемых с квадратом на [0, 1] ( 2 () <0∞).Введем скалярное произведение и норму в2 :∫︁1∀, ∈ 2 : (, ) = ()()0⎛∫︁1|| ||2 = ⎝√ = 2,⎞ 21 2 ()⎠0тогда( , ) = ,{ ()}∞=1- ортонормированный базис в 2 .∞∑︀Таким образом, любую функцию ∈ 2 можно представить в виде: () = (), где =1- коэффициенты Фурье. Имеет место равенство Парсеваля:Возьмемто есть|| ||22=∞∑︁=12Разностные схемы для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности68Рассмотрим дискретный аналог задачи Штурма-Лиувилля:⎧⎨ , + = 0, = 1, .