Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы, страница 6

Â÷àñòíîñòè,!∞∞XXPAk |A =P (Ak |A) ï.í.k=1k=1P(íàïîìíèì, ÷òî çàïèñü k Ak îçíà÷àåò, ÷òî áåðåòñÿ îáúåäèíåíèå∪k Ak íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ò.å. Ai Aj = ∅, i 6= j ).Ëåêöèÿ 533b) Ïóñòü Y è Z èíòåãðèðóåìû (ò.å. ñóùåñòâóþò EY èEZ ). Åñëè Y ≤ Xn ï.í. (èëè Xn ≤ Z ï.í.), òîE lim Xn |A ≤ lim E(Xn |A) ï.í.n→∞n→∞(ñîîòâ. lim E(Xn |A) ≤ E lim Xn |A ï.í.)n→∞n→∞ ÷àñòíîñòè, åñëè Y ≤ Xn ↑ X ï.í.

(èëè Y ≤ Xn ≤ Z ï.íè Xn → X ï.í.), òîE(Xn |A) → E(X|A) ï.í. ïðè n → ∞.(Äàëåå ï.í. áóäåò ÷àñòî îïóñêàòüñÿ).Îïðåäåëåíèå. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü P (·|A) íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé,åñëè ïðè êàæäîì ω , çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà ìåðû 0, îíà ÿâëÿåòñÿâåðîÿòíîñòíîé ìåðîé.Òàêèì îáðàçîì, ðåãóëÿðíàÿ óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü P A ñî çíà÷åíèÿìèP (A|A)(ω) ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà F×Ω, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè:1) P (A|A)(ω) åñòü A-èçìåðèìàÿ ïî ω ôóíêöèÿ äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãîA è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåðîÿòíîñòü íà F ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîìω.2) Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ A ∈ F è B ∈ AZP (AB) =P (A|A) dP.B(9) Åñëè PA ðåãóëÿðíàÿ óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, òîZE(X|A) = X dP A ï.í.äëÿ ëþáîé ñ.â.

X ñ E|X| < ∞.Îïðåäåëåíèå. Ïîòîêîì íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåå ñåìåéñòâî σ àëãåáð {Ft , t ≥ 0}, ò.å. Ft1 ⊂ Ft2 ïðè t1 < t2 , Ft ⊂ F äëÿ ëþáîãît.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Xt (ω) ïðè ëþáîì t ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ â èçìåðèìîìïðîñòðàíñòâå (X, B).Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X = {Xt , t ≥ 0} íàçûâàåòñÿñîãëàñîâàííûì ñ ïîòîêîì σ -àëãåáð {Ft , t ≥ 0} (èëè àäàïòèðîâàííûìê ïîòîêó), åñëè ñ.â. Xt ÿâëÿåòñÿ Ft -èçìåðèìîé ïðè ëþáîì t ≥ 0.34Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÎïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ (Xt , Ft )t≥0 íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêèìîòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà σ -àëãåáð {Ft , t ≥ 0}, åñëè ïðîöåññ àäàïòèðîâàíê ïîòîêó, è äëÿ ëþáîãî t σ -àëãåáðû Ft è F≤t óñëîâíî íåçàâèñèìû ïðèäàííîé ñ.â. Xt , ò.å.(1) Xt Ft -èçìåðèìà ïðè ëþáîì t ≥ 0.(2) P (AB|Xt ) = P (A|Xt )P (B|Xt ) ∀A ∈ F≥t , B ∈ Ft , t ≥ 0.Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X ìàðêîâñêèé îòíîñèòåëüíîñåìåéñòâà (Ft , t ≥ 0) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ìàðêîâñêèì (ò.å.

îòíîñèòåëüíîñåìåéñòâà F≤t ).Ëåììà. Ïóñòü ïðîöåññ {Xt , t ≥ 0} àäàïòèðîâàí ê ïîòîêó {Ft , t ≥0}. Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:(1) Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {Xt , t ≥ 0} ìàðêîâñêèé îòíîñèòåëüíîñåìåéñòâà σ -àëãåáð {Ft , t ≥ 0}.(2) Äëÿ ëþáîãî t ≥ 0 è ïðîèçâîëüíîé F≥t -èçìåðèìîé îãðàíè÷åííîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y âûïîëíåíî ðàâåíñòâîE(Y |Ft ) = E(Y |Xt ) (ï.í.).(3) Äëÿ ëþáîé èçìåðèìîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f (x) (supx |f (x)| <∞) è ïðîèçâîëüíûõ s ≥ t âåðíîE(f (Xs )|Ft ) = E(f (Xs )|Xt ) (ï.í.).Äîêàçàòåëüñòâî.

Óñòàíîâèì 1 =⇒ 2. Òàê êàê ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿF≥t -èçìåðèìàÿ ñ.â. ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ïðåäåë ïðîñòûõ ôóíêöèé,ò.å. êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé èíäèêàòîðîâ, òî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòüòðåáóåìîå ñâîéñòâî äëÿ Y = χA , ãäå A ∈ F≥t , à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿñâîéñòâàìè ó.ì.î.Èòàê, ïðîâåðèì, ÷òîP (A|Ft ) = P (A|Xt ), A ∈ F≥t .Ñ îäíîé ñòîðîíû, â ñèëó ìàðêîâîñòè (è ñâîéñòâ ó.ì.î.) èìååì öåïî÷êóðàâåíñòâP (AB) = E(P (AB|Xt )) == E(P (A|Xt )P (B|Xt )) = E(P (A|Xt )E(χB |Xt )) == E(E(χB P (A|Xt )|Xt )) = E(χB P (A|Xt )).Ñ äðóãîé ñòîðîíû,P (AB) = EχA χB = E(E(χA χB |Ft )) == E(χB E(χA |Ft )) = E(χB P (A|Ft )).Ëåêöèÿ 535Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî B ∈ FtZZP (A|Xt ) dP =P (A|Ft ) dPB(= P (AB)),Bà ïîñêîëüêó P (A|Xt ) ýòî Ft -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, ïîëó÷àåì íåîáõîäèìîåðàâåíñòâîE(Y |Ft ) = E(Y |Xt ) äëÿ Y = inf , A ∈ F≥t .AÒåïåðü ïîêàæåì, ÷òî 2 =⇒ 1.

Ïóñòü A ∈ F≥t è B ∈ Ft , òîãäàP (AB|Xt ) = E(χA χB |Xt ) = E(E(χA χB |Ft )|Xt ) == E(χB E(χA |Ft )|Xt ) = E(χB E(χA |Xt )|Xt ) == E(χA |Xt )E(χB |Xt ) = P (A|Xt )P (B|Xt ).Òàê êàê 3 ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé 2 (ïðè Y = f (X1 )), òî íàäîäîêàçàòü ëèøü, ÷òî 3 =⇒ 2.Ïóñòü ñíà÷àëà Y = f1 (Xs1 . . . fn (Xsn ), ãäå t ≤ s1 < · · · < sn èsupx |fi (x)| < ∞, i = 1, n. Óñòàíîâèì èíòåðåñóþùèé íàñ ðåçóëüòàò ïîèíäóêöèè. Ïðè n = 1 óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, òàê êàê ñîâïàäàåò ñ3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ n − 1 ðàâåíñòâî óñòàíîâëåíî, èïðîâåðèì åãîäëÿ n. Èìååì!!n−1n−1YYfi (Xi )E(fn (Xsn )|Fsn−1 )|Xt =Efi (Xi )g(Xsn−1 )|Xt = Ei=1i=1=EEnY!fi (Xsi )|Fsn−1!|Xt=i=1=EnY!fi (Xsi )|Xt= E(Y |Xt ).i=1Äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî, òàê êàê ëþáóþF≥t -èçìåðèìóþ îãðàíè÷åííóþQnñ.â. ìîæíî ïðèáëèçèòü ñ ïîìîùüþ i=1 fi (Xsi ).Äëÿ ëþáîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.Ëåììà.

Ïðîöåññ {Xt , t ≥ 0} ìàðêîâñêèé òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà äëÿ ëþáîé èçìåðèìîé îãðàíè÷åííîé f (x) è ïðîèçâîëüíîãî íàáîðàt1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn ≤ s ñ âåðîÿòíîñòüþ 1E(f (Xs )|Xt1 , . . . , Xtn ) = E(f (Xs )|Xtn ).Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ïðîöåññ ìàðêîâñêèé, òî òðåáóåìîå óòâåðæäåíèåâûòåêàåò èç ïðåäûäóùåé ëåììû.  ñàìîì äåëåE(f (Xs )|Xt1 , . . . , Xtn ) = E(E(f (Xs )|F≤tn )|Xt1 , . . . , Xtn ) =36Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññû= E(E(f (Xs )|Xtn )|Xt1 , . .

. , Xtn ) = E(f (Xs )|Xtn ).Îáðàòíî, ïóñòü óêàçàííûå ó.ì.î. ñîâïàäàþò, ïîêàæåì, ÷òî òîãäàE(f (Xs )|F≤t ) = E(f (Xs )|Xt ) ïðè s ≥ t.Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî B ∈ F≤tZZf (Xs ) dP =E(f (Xs )|Xt ) dP.BB ñèëó óñëîâèé ëåììû ýòè èíòåãðàëû ñîâïàäàþò äëÿ B ∈ σ(Xt1 , . . . , Xtn , Xt )ïðè t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ t ≤ s. Ïðàâàÿ è ëåâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà ýòîêîíå÷íûå ìåðû (íå îáÿçàòåëüíî âåðîÿòíîñòíûå), ñîâïàäàþùèå íà öèëèíäðàõ,ïîðîæäàþùèõ F≤t .

 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïðîäîëæåíèÿ ìåðû ðàâåíñòâîáóäåò âûïîëíåíî äëÿ ëþáîãî B ∈ F≤t .Èòàê, ïóñòü èìååòñÿ èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî (X, B), â êîòîðîìâñå îäíîòî÷å÷íûå ìíîæåñòâà èçìåðèìû, íàçûâàåìîå ôàçîâûì. È ïóñòü(Xt , Ft )t≥0 ìàðêîâñêèé ïðîöåññ îòíîñèòåëüíî ïîòîêà {Ft , t ≥ 0} ñîçíà÷åíèÿìè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ïðè t ≥ säëÿ ëþáîãî A ∈ BP (Xt ∈ A|Fs ) = P (Xt ∈ A|Xs ). ñèëó ñâîéñòâà 7 ó.ì.î. ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ P (s, x, t, A), ÷òîP (Xt ∈ A|Xs ) = P (s, Xs , t, A).Ýòà ôóíêöèÿ èãðàåò âàæíóþ ðîëü â òåîðèè ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ.

Íîäëÿ ïëîäîòâîðíîé òåîðèè íàäî íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ.Îíè ñòàíóò îñîáåííî ïîíÿòíûìè, åñëè âñïîìíèòü ñëåäóþùóþ èíòåðïðåòàöèþP (s, x, t, A) = P (Xt ∈ A|Xs = x).Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ P (s, x, t, A) íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêîé ïåðåõîäíîéôóíêöèåé íà (X, B), åñëè1◦ äëÿ ëþáûõ s, x, t (êàê ôóíêöèÿ A) P (s, x, t, ·) âåðîÿòíîñòíàÿìåðà íà B,2◦ äëÿ ëþáûõ s, x, A (êàê ôóíêöèÿ x) P (s, ·, t, A) èçìåðèìà,3◦(1, ïðè x ∈ A,P (s, x, s, A) = δx (A), çäåñü δx (A) =0, ïðè x ∈/ A,4◦ âûïîëíåíî óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà, ò.å. äëÿ ëþáûõ0≤s≤u≤tZP (s, x, t, A) =P (s, x, u, dy)P (u, y, t, A).XËåêöèÿ 537(Ñóùåñòâóåò òàêîé ïîäõîä, ïðè êîòîðîì èçó÷àåòñÿ ýòî ñåìåéñòâî ôóíêöèé,à òî÷íåå, ïîðîæäàåìîå èìè ñåìåéñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ.

Ïðè ýòîìíå ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå íè âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, íèìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.)Äåéñòâèòåëüíî, ñ èçìåðèìûì ïðîñòðàíñòâîì (X, B) ñâÿçàíû äâàáàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâà.B ñîâîêóïíîñòü îãðàíè÷åííûõ B-èçìåðèìûõ ôóíêöèé x ∈ X,íîðìà îïðåäåëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:kf k = sup |f (x)|.x∈XV ñîâîêóïíîñòü îáîáùåííûõ ìåð (èëè çàðÿäîâ), ò.å. ÷èñëîâàÿñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ A ∈ B, íîðìà ν ýòî ïîëíàÿâàðèàöèÿ íà âñåì ïðîñòðàíñòâå:kνk = |ν|(X).Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìåæäó B è V ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ ñâÿçü:V ⊂ B∗ è B ⊂ V∗ (ãäå çíàê ∗ ïîêàçûâàåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î ñîïðÿæåííîìïðîñòðàíñòâå). ñàìîì äåëå, ïîëîæèìZhν, f i =ν(dx)f (x),Xãäå èíòåãðàë îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìZZZ+ν(dx)f (x) =ν (dx)f (x) −ν − (dx)f (x),XXXà ν = ν + − ν − ýòî ðàçëîæåíèå Æîðäàíà.Òîãäà êàæäîìó ýëåìåíòó ν ∈ V ñîîòâåòñòâóåò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàëhν, ·i íà B, à êàæäîìó ýëåìåíòó f ∈ B ñîîòâåñòâóåò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàëh·, f i íà V.Çàäà÷à.

Äîêàçàòü, ÷òî íîðìà ýëåìåíòà è íîðìà ñîîòâåòñòâóþùåãîëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà ñîâïàäàþò:kνk = sup | hν, f i |,kf k=1kf k = sup | hν, f i |.kνk=1Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â ïðîñòðàíñòâå B áóäåì çàïèñûâàòü ñëåâà îòýëåìåíòà f ∈ B, à â ïðîñòðàíñòâå V ñïðàâà.Ïóñòü P (s, x, t, A) ìàðêîâñêàÿ ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿòðåáîâàíèÿì 1◦ −4◦ . Îïðåäåëèì íà ïðîñòðàíñòâå B ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâP st (s ≤ t, s, t ∈ T ) ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿZP st f (x) =P (s, x, t, dy)f (y).X38Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññû(Ñóùåñòâîâàíèå è îãðàíè÷åííîñòü èíòåðâàëà äëÿ f ∈ B îáåñïå÷èâàåòñÿòåì, ÷òî P (s, x, t, ·) êîíå÷íàÿ ìåðà (ñâîéñòâî 1◦ ), à èçìåðèìîñòüP st f (x) ïî x èçìåðèìîñòüþ P (s, ·, t, A) (ñâîéñòâî 2◦ )).Óñòàíîâèì ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ P st .1)  ñèëó èõ îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðû ëèíåéíû.Îñòàëüíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ âûòåêàþò èç ñâîéñòâ ïåðåõîäíîéôóíêöèè.2) Îïåðàòîðû P st ñæèìàþùèå. ñàìî äåëå, òàê êàê P (s, x, t, ·) âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà (1◦ ), òîZ|P st f (x)| ≤ P (s, x, t, dy)kf k = kf k,èíà÷å ãîâîðÿkP st f k ≤ kf k, ò.å.

kP st k ≤ 1.3) Îïåðàòîðû ñîõðàíÿþò ïîëîæèòåëüíîñòü, ò.å. íåîòðèöàòåëüíûåôóíêöèè ïåðåâîäÿò â íåîòðèöàòåëüíûå. Äåéñòâèòåëüíî, îïÿòü-òàêè âñèëó 1◦ , åñëè f (x) ≥ 0, òî P st f (x) ≥ 0.4) P st 1 ≡ 1, ýòî òàêæå ñëåäñòâèå 1◦ .5) P ss = E (òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð).Ýòî âûòåêàåò èç 3◦ , òàê êàêZP ss f (x) = δx (dy)f (y) = f (x).6) P st = P su P ut ïðè s ≤ u ≤ t.  ñàìîì äåëå, óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà×åïìåíà (4◦ ) äàåòZZZP st f (x) = P (s, x, t, dy)f (y) =P (s, x, u, dz)P (u, z, t, dy)f (y) =ZZ= P (s, x, u, dz) P (u, z, t, dy)f (y) = P su (P ut f )(x).( òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èíòåãðèðîâàíèåR âåäåòñÿ Rïî âñåìó ïðîñòðàíñòâóX, ÷àñòî áóäåì äëÿ ïðîñòîòû ïèñàòü âìåñòî X ). ïðîñòðàíñòâå V ââåäåì îïåðàòîðû P st (s ≤ t, s, t ∈ T ) ñ ïîìîùüþñîîòíîøåíèÿZstνP (A) = ν(dx)P (s, x, t, A).(Ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà îáåñïå÷èâàåòñÿ ñâîéñòâîì 2◦ èçìåðèìîñòüþïî x ïåðåõîäíîé ôóíêöèè, à ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü νP st ñâîéñòâîì 1◦ ,ò.å.