Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы

Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûMadamme Áóëèíñêàÿ Å.Â.Ëåêöèÿ 13Ëåêöèÿ 1Òðåòüÿ ÷àñòü âåðîÿòíîñòíîãî öèêëà ñëó÷àéíûå (èíà÷å, âåðîÿòíîñòíûåèëè ñòîõàñòè÷åñêèå) ïðîöåññû.Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå áûñòðîðàçâèâàþùèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí, â çíà÷èòåëüíîé ìåðå ýòîîïðåäåëÿåòñÿ ïîòðåáíîñòÿìè ïðàêòèêè: ôèçèêè, õèìèè, áèîëîãèè, ìåäèöèíû,èíæåíåðíîãî äåëà, ñòðàõîâàíèÿ, ôèíàíñîâîé äåÿòåëüíîñòè è äð.Âîçíèêíîâåíèå ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñâÿçàíî ñ èìåíàìèÊîëìîãîðîâà, Õèí÷èíà, Ñëóöêîãî, Âèíåðà è ìíîãèõ äðóãèõ ó÷åíûõ.Èçó÷åíèå õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèö öâåòî÷íîé ïûëüöû â æèäêîñòè(áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ), èñõîäÿ èç òåîðåòèêî-âåðîÿòíîñòíûõ ïðåäïîñûëîê,áûëî ïðîâåäåíî Ýéíøòåéíîì è Ñìîëóíîâñêèì â 1905 ã. è ñïîñîáñòâîâàëîâîçíèêíîâåíèþ ïðîöåññà, êîòîðûé ÷àñòî íàçûâàþò òàêæå âèíåðîâñêèì.Òîò æå ïðîöåññ áûë ââåäåí Áîòåëüå â 1900 ã.

äëÿ îïèñàíèÿ öåí.Ïîÿâëåíèå ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ñâÿçàíî ñ ðàáîòàìè Ýðëàíãåïî èçó÷åíèþ çàãðóçêè òåëåôîííûõ ñåòåé, à òàêæå ñ ìàòåìàòè÷åñêèìèìîäåëÿìè, ââåäåííûìè Ëóíäáåðãîì äëÿ îïèñàíèÿ äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâûõêîìïàíèé.(Áîëåå ïîäðîáíî îá èñòîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ìîæíî ïðî÷èòàòüâ äîïîëíåíèè ê êíèãå Á.Â. Ãíåäåíêî "Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé"èçä.6,1988, Ì: Íàóêà).Âî âñåõ äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèÿõ áåäåì ïðåäâîëàãàòü, ÷òî çàäàíîíåêîòîðîå îñíîâíîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P ).Ω = {ω} ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.F σ -àëãåáðà ñîáûòèé (èëè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ), ò.å. ñèñòåìàïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω, çàìêíóòàÿ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé äîïîëíåíèÿè ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ.Ïàðà (Ω, F) íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïðîñòðàíñòâîì.

Åñëè ïðîñòðàíñòâîΩ êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî (ò.å. äèñêðåòíî), F ñîñòîèò èç âñåõ ïîäìíîæåñòâΩ.P âåðîÿòíîñòü, ò.å. íåîòðèöàòåëüíàÿ ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿìíîæåñòâ (ìåðà), çàäàííàÿ íà F, è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ íîðìèðîâêèP (Ω) = 1.Ìåðà íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà íóëåâîéìåðû èçìåðèìî (è ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåðó 0).Çàäà÷à.Ïîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ íåïîëíàÿ ìåðà P ìîæåò áûòü ïîïîëíåíà.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå X : Ω → X. Ñ íèì ñâÿçàíûäâå σ -àëãåáðû:00FX= {B ⊂ X : X −1 (B) ∈ F} è FX = {X −1 (B) : B ∈ FX} ⊃ F,4Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññû(òî, ÷òî ýòî σ -àëãåáðû, âûòåêàåò èç ñîõðàíåíèÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé ïðè âçÿòèè ïðîîáðàçà).Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî (X, B), ò.å.

âûäåëåíàσ -àëãåáðà B ïîäìíîæåñòâ X.Îïðåäåëåíèå. Îòîáðàæåíèå X : Ω → X íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûìýëåìåíòîì ñî çíà÷åíèÿìè â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (X, B), åñëè B ⊂FX .Èíûìè ñëîâàìè, îòîáðàæåíèå X ÿâëÿåòñÿ F \ B-èçìåðèìûì, ò.å.äëÿ ëþáîãî B ∈ B èìååì X −1 (B) ∈ F.Çàìå÷àíèå. Åñëè íåêîòîðûé êëàññ ìíîæåñòâ M ïîðîæäàåò B,ò.å. B = σ{M }, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû óñòàíîâèòü, ÷òî X ñëó÷àéíûé0ýëåìåíò ñî çíà÷åíèÿìè â (X, B), äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî M ⊂ FX0(òîãäà è σ{M } ⊂ FX ).Ëþáîå îòîáðàæåíèå X : Ω → X ïîçâîëÿåò çàäàòü âåðîÿòíîñòíóþ0ìåðó PX = P X −1 íà σ -àëãåáðå FX(ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ PX (B) =−10P (X (B)) äëÿ B ∈ FX ).Åñëè X ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ñî çíà÷åíèÿìè â (X, B), òî PX íàçûâàåòñÿðàñïðåäåëåíèåì ýòîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà.Çàìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñ.ý.

ýòî, âîîáùå ãîâîðÿ, ìåðà, çàäàííàÿäëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà ìíîæåñòâ, ÷åì B, ïðè÷åì ýòîò êëàññ çàâèñèòîò âèäà îòîáðàæåíèÿ X .×àñòíûå ñëó÷àè:(1) Åñëè X = R1 , B = B1 (áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà), òî ñëó÷àéíûéýëåìåíò ñî çíà÷åíèÿìè â (R1 , B) ýòî îáû÷íàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà.(2) Åñëè X = Rk , B = Bk , òî ðå÷ü èäåò î k -ìåðíîì ñëó÷àéíîìâåêòîðå.Êàêîå ñâîéñòâî ïðîñòðàíñòâà Rk ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü,÷òî íàáîð èç k ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (x1 , .

. . , xk ) ÿâëÿåòñÿ F \Bk -èçìåðèìûì îòîáðàæåíèåì Ω â Rk .Çàäà÷à.Äàëåå ìû óâèäèì, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûìýëåìåíòîì ñî çíà÷åíèÿìè â ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âûáðàííîì èçìåðèìîìïðîñòðàíñòâå.Îïðåäåëåíèå. Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíX = {X(t), t ∈ T } íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé.Åñëè T ⊂ Rk , ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì ïîëåì.Åñëè T ⊂ R1 , òî X = {X(t), t ∈ T } ýòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.Ëåêöèÿ 15 òîì ñëó÷àå, êîãäà T ⊂ R1 êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî, ãîâîðÿò î ñëó÷àéíîìïðîöåññå ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì (íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ ñëó÷àèT = Z1 èëè Z1+ ) èëè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè T ⊂ R1íåñ÷åòíî, òî ðå÷ü èäåò î ïðîöåññå ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì (îáû÷íî,T = R1 èëè R1+ èëè [a, b]).Âìåñòî X(t) ÷àñòî ïèøóò Xt , à æåëàÿ ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðå÷ü èäåòî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ, èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèÿ X(t, ω) èëè Xt (ω).Òàêèì îáðàçîì, ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ýòî îòîáðàæåíèå X : T ×Ω → R1 , èëè äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ, ïðè êàæäîìôèêñèðîâàííîì t èçìåðèìàÿ ïî ω .Ïðè ôèêñèðîâàííîì t ïîëó÷àåì ôóíêöèþ ω (ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó),êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ïðîöåññà â òî÷êå t (èëè åãî ñå÷åíèåì).Åñëè æå çàôèêñèðîâàòü ω , òî ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ t íàçûâàþòòðàåêòîðèåé ïðîöåññà (èëè ðåàëèçàöèåé) èëè âûáîðî÷íîé ôóíêöèåé.Ìíîæåñòâî RT = {x(t), t ∈ T } ïàðàìåòðà t ∈ T íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûìïðîñòðàíñòâîì.Ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòîáðàæåíèåX : Ω → RT ïðîñòðàíñòâà Ω â âûáîðî÷íîå ïðîñòðàíñòâî.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî ãîâîðèòü î ñëó÷àéíîì ýëåìåíòå, ââåäåìâ RT σ -àëãåáðó BT ñëåäóþùèì îáðàçîì.Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå Πt1 ,...,tk : RT → Rk ñîîòíîøåíèåì Πt1 ,...,tk (x) =(x(t1 ), .

. . , x(tk )) äëÿ ti ∈ T , i = 1, k , k ≥ 1.Íàçîâåì îòêðûòûì (n-ìåðíûì) èíòåðâàëîì â RT ìíîæåñòâî âñåõêîíå÷íûõ ôóíêöèé x(t), óäîâëåòâîðÿþùèõ êîíå÷íîìó ÷èñëó íåðàâåíñòâai < x(ti ) < bi , ãäå ai , bi êîíå÷íûå èëè áåñêîíå÷íûå âåùåñòâåííûå÷èñëà, ti ∈ T , i = 1, n, n ≥ 1.Èíà÷å, îòêðûòûé èíòåðâàëbnb−11It1 ,...,tn {(ai , bi ), i = 1, n} = Πt1 ,...,tn (I ∗ ),anb2a1ãäå I ∗ = (a1 , b1 )×(a2 , b2 )×· · ·×(an , bn )a2íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì îòêðûòîãî èíòåðâàëàt1t2tn{x(t) : ai < x(ti ) < bi , i = 1, n}.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ìíîæåñòâîIt1 ,...,tn {[ai , bi ], i = 1, n} = {x(t) : ai ≤x(ti ) ≤ bi , i = 1, n} íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûìèíòåðâàëîì (çäåñü âåëè÷èíû ai è bi êîíå÷íû), ïðè ýòîì åãî ìîæíî∗∗çàïèñàòü â âèäå Π−1t1 ,...,tn (I ), ãäå I = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ].Ïðîñòî èíòåðâàë ìû ïîëó÷àåì, åñëè âîçìîæíû ëþáûå êîìáèíàöèèçíàêîâ < è ≤ (òàì, ãäå ñòîèò ≤, ÷èñëà êîíå÷íû).

Îòêðûòûé èíòåðâàëÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêîé îêðåñòíîñòüþ äëÿ êàæäîé èç ñâîèõ òî÷åê. Â6Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûòîïîëîãèè, èíäóöèðîâàííîé òàêèìè îêðåñòíîñòÿìè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòî÷åê xn èç RT ñõîäèòñÿ ê x, åñëè xn (t) → x(t) äëÿ ëþáîãî t ∈ T .Êîíå÷íûå ñóììû íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ îáðàçóþò, êàê íåòðóäíîïðîâåðèòü, àëãåáðó A ïîäìíîæåñòâ RT .Íàèìåíüøóþ σ -àëãåáðó BT = σ{A}, ïîðîæäåííóþ àëãåáðîé A,áóäåì íàçûâàòü áîðåëåâñêîé.Ïîêàçàòü, ÷òî èíà÷å BT ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàêöèëèíäðè÷åñêàÿ σ -àëãåáðà, ò.å.Çàäà÷à.kBT = σ{Π−1t1 ,...,tk B, B ∈ B , ti ∈ T, i = 1, k, k ≥ 1}.Çàäà÷à.Ïðîâåðèòü, ÷òîBT =[B{t1 ,t2 ,... } ,{t1 ,t2 ,...

}⊂Tò.å. áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà îïèñûâàþò ïîâåäåíèå ôóíêöèé x(t) íå áîëåå÷åì â ñ÷åòíîì ÷èñëå òî÷åê.Çàäà÷à.ßâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé áîðåëåâñêèì?Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ýòî ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ñîçíà÷åíèÿìè â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (RT , BT ).Ëåììà.Äâà îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü X = {X(t), t ∈ T } ñëó÷àéíûéïðîöåññ â ñìûñëå ïåðâîãî îïðåäåëåíèÿ.

Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà îòîáðàæåíèåX : Ω → RT áóäåò F \ BT -èçìåðèìî, ò.å. ìû áóäåì èìåòü ñëó÷àéíûéýëåìåíò ñî çíà÷åíèÿìè â (RT , BT ), èëè æå ñëó÷àéíûé ïðîöåññ â ñìûñëåâòîðîãî îïðåäåëåíèÿ.Äåéñòâèòåëüíî, ìíîæåñòâîX −1 (It1 ,...,tn ) = {(X(t1 ), . . . , X(tn )) ∈ I ∗ },ãäå I ∗ ýòî îñíîâàíèå èíòåðâàëà It1 ,...,tn (ïðîèçâîëüíîãî). Òàê êàêI ∗ ∈ Bn , à (x(t1 ), . .

. , x(tn )) ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî ðàññìàòðèâàåìîåìíîæåñòâî ïðèíàäëåæèò σ -àëãåáðå F. Äàëåå, ïðîîáðàç ëþáûõ ìíîæåñòâèç A, à çíà÷èò, è èç BT = α{A} òàêæå ïðèíàäëåæèò F.2. Ïóñòü, íàîáîðîò, çàäàí ñëó÷àéíûé ýëåìåíò X ñî çíà÷åíèÿìè â(RT , BT ). Ïîëîæèì X(t) = Πt X , t ∈ T . Òîãäà{ω : X(t) ∈ B} = {ω : X ∈ Π−1t (B) ∈ F}Täëÿ B ∈ B1 , òàê êàê Π−1t (B) öèëèíäð (ò.å. ìíîæåñòâî èç B ), èåãî ïðîîáðàç ïðè îòîáðàæåíèè X èçìåðèì. À, çíà÷èò, {X(t), t ∈ T } ñëó÷àéíûé ïðîöåññ â ñìûñëå ïåðâîãî îïðåäåëåíèÿ.Ëåêöèÿ 17Èòàê, êàêîå áû îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ìû íè èñïîëüçóåì,(X(t1 ), . .

. , X(tn )) ïðè ôèêñèðîâàííûõ ti ∈ T , i = 1, n, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûìnâåêòîðîì, à ïîòîìó èíäóöèðóåò ìåðó Pt1 ,...,tn (èëè PX Π−1t1 ,...,tn ) íà B .Ýòè ìåðû íîñÿò íàçâàíèå êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîãîïðîöåññà.Î÷åâèäíî, ÷òî ñåìåéñòâî êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé {Pt1 ,...,tn , ti ∈T, i = 1, n, n ≥ 1} îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàííîñòè:(1) Åñëè (i1 , . . .

, in ) ïåðåñòàíîâêà (1, 2, . . . , n), òî äëÿ ëþáûõBi ∈ B1 , i = 1, nPti1 ,...,tin (Bi1 × · · · × Bin ) = Pt1 ,...,tn (B1 × · · · × Bn ).(2)( ñàìîì äåëå, è ïðàâàÿ, è ëåâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà ýòî âåðîÿòíîñòüìíîæåñòâà ∩ni=1 {X(ti ) ∈ Bi }, ò.ê. ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ íåçàâèñèò îò ïîðÿäêà, â êîòîðîì ýòè ìíîæåñòâà ïåðåñåêàþòñÿ).Pt1 ,...,tn ,tn+1 (B1 × · · · × Bn × R1 ) = Pt1 ,...,tn (B1 × · · · × Bn ).(ýòî ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî A ∈ F âåðíîAΩ = A. Çäåñü A = {X(t1 ) ∈ B1 , . . . , X(tn ) ∈ Bn } è Ω ={X(tn+1 ) ∈ R1 }).Óñëîâèÿ ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàííîñòè íåòðóäíî ïåðåïèñàòü â òåðìèíàõêîíå÷íîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, âçÿâ Bi = (−∞, xi ].Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî óñëîâèå ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàííîñòè âòåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé èìåþò âèä:1) ϕti1 ,...,tin (λi1 , .

. . , λin ) = ϕt1 ,...,tn (λ1 , . . . , λn ).2) ϕt1 ,...,tn ,tn+1 (λ1 , . . . , λn , 0) = ϕt1 ,...,tn (λ1 , . . . , λn ).Ëåììà. Ñåìåéñòâî êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññàX îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ìåðó ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B(ò.å. B ∈ BT ) âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà RT .Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ìåðó ëþáîãî èíòåðâàëà â RT .

Èñïîëüçóÿ êîíå÷íóþàääèòèâíîñòü, ìîæíî îïðåäåëèòü ìåðó ëþáîãî ìíîæåñòâà A èç àëãåáðûA. Ïîëó÷åííàÿ ìåðà, åñòåñòâåííî, ñîâïàäàåò ñ PX (A) (ãäå PX ýòî0ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà X : Ω → RT ), ïîñêîëüêó A ⊂ FX.Ñëåäîâàòåëüíî, ìåðà, ïîñòðîåííàÿ ïî êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì,ñ÷åòíî-àääèòèâíà íà A. À òîãäà, ïî òåîðåìå Êàðàòåîäîðè, ýòó ìåðóìîæíî îäíîçíà÷íî ïðîäîëæèòü íà BT = σ{A}.8Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÍà ïðàêòèêå ÷àñòî áûâàåò èçâåñòíî òîëüêî ñåìåéñòâî êîíå÷íîìåðíûõðàñïðåäåëåíèé. Âîçíèêàåò âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññàñ äàííûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè. Îòâåò äàåò çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Êîëìîãîðîâà.Òåîðåìà (Êîëìîãîðîâà).

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë ñëó÷àéíûéïðîöåññ ñ çàäàííûì ñåìåéñòâîì êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé, íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ýòî ñåìåéñòâî óäîâëåòâîðÿëî óñëîâèÿì ñèììåòðèèè ñîãëàñîâàííîñòè.Íåîäõîäèìîñòü óñëîâèé áûëà ïðîâåðåíà âûøå.Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü T ⊂ R1 è çàäàíî ñåìåéñòâîÄîêàçàòåëüñòâî.{Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ), ti ∈ T, i = 1, n, n ≥ 1}êîíå÷íîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì:(1) ñèììåòðèèFti1 ,...,tin (xi1 , . .