Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы (1134107), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòüþ P (s, x, t, ·)).Ñâîéñòâà 10 )60 ) îïåðàòîðîâ P st â ïðîñòðàíñòâå V àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì1)6).10 ) Îïåðàòîðû P st ëèíåéíû â ñèëó îïðåäåëåíèÿ.Ëåêöèÿ 63920 ) Îïåðàòîðû ñæèìàþùèå, ïîñêîëüêó â ñèëó 1◦ ïîëó÷àåìkνP st k ≤ kνk.30 ) Ìåðû ïåðåâîäÿòñÿ â ìåðû.40 ) νP st (X) = ν(X).(Ýòè äâà ñâîéñòâà ñïðàâåäëèâû òàêæå â ñèëó 1◦ ).05 ) P ss = E ñëåäóåò èç 3◦ .60 ) P st = P sk P ut äëÿ s ≤ u ≤ t. ñàìîì äåëå, óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà ïðåâðàùàåòñÿ âñîîòíîøåíèåνP st = (νP sk )P ut ,ò.å. ïî ôîðìå 60 ) ñîâïàäàåò ñ 6). Îäíàêî ïîðÿäîê ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðîâçäåñü äðóãîé (ñíà÷àëà P su , à ïîòîì P ut ).Çàìåòèì äàëåå, ÷òî îïåðàòîðû P st â ïðîñòðàíñòâàõ B è V ñîïðÿæåíûäðóã äðóãó, ïîñêîëüêó äëÿ f ∈ B, ν ∈ V ν, P st f = νP st , f ,òàê êàê ïðàâàÿ è ëåâàÿ ÷àñòè ðàâíûZZν(dx)P (s, x, t, dy)f (y).(Áîëåå òî÷íî, îïåðàòîð P st íà B ýòî ñóæåíèå îïåðàòîðà â V∗ , ñîïðÿæåííîãîê îïåðàòîðó P st â V, è íàîáîðîò).Ïîëó÷èòü ñâîéñòâà 10 )60 ) èç 1)6).Äîêàçàòü, ÷òî kP st k = 1.Çàäà÷à.Êàê ìû âèäåëè, ñåìåéñòâà îïåðàòîðîâ P st ñâÿçàíû ëèøü ñ ïåðåõîäíîéôóíêöèåé.Äàëåå ìû óâèäèì, êàêîâ èõ âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë.Ëåêöèÿ 6Ïóñòü çàäàíî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî (X, B), ò.å.
èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî,â êîòîðîì âñå îäíîòî÷å÷íûå ìíîæåñòâà èçìåðèìû (òî÷êè ôàçîâîãîïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè. Äàëåå, ïóñòü P (s, x, t, A) ìàðêîâñêàÿ ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì 1◦ 4◦ , à(Xt , Ft )t∈T ýòî ìàðêîâñêèé ïðîöåññ îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà σ -àëãåáð(Ft ).Îïðåäåëåíèå.
Ãîâîðÿò, ÷òî (Xt , Ft )t∈T ýòî ìàðêîâñêèé ïðîöåñññ ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé P (s, x, t, A), åñëèP (Xt ∈ A|Xs ) = P (s, Xs , t, A) ï.í.40Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûäëÿ ëþáûõ s ≤ t, s, t ∈ T , è ëþáîãî A ∈ B.(Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó ìàðêîâîñòè ïðîöåññà òàêæå P (Xt ∈ A|Fs ) =P (s, Xs , t, A) ï.í.)Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà íèîòêóäàíå ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ôóíêöèè ñî ñâîéñòâàìè 1◦ 4◦ .Ïðîñòî ìû õîòèì ðàññìàòðèâàòü ëèøü òå ïðîöåññû, äëÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèåóñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ðåãóëÿðíû.Çàäà÷à. Ïîêàçàòü, ÷òî ðåãóëÿðíàÿ óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñóùåñòâóåò,åñëè σ -àëãåáðà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé îíà áåðåòñÿ, ïîðîæäåíà êîíå÷íûì÷èñëîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ïóñòü Ω = [0, 1], A σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâè λ ìåðà Ëåáåãà. Ñóùåñòâóåò òàêîå ïîäìíîæåñòâî D, ÷òî λ(D) = 1,λ(D) = 0, çäåñü λ âíåøíÿÿ, λ âíóòðåííÿÿ ìåðà.
Ïîñòðîèì íîâóþσ -àëãåáðó F, ïîðîæäåííóþ A è D ñëåäóþùèì îáðàçîì: îíà ñîñòîèò èçìíîæåñòâ âèäà DA1 ∪DA2 , ãäå A1 , A2 ∈ A. Ìåðó îïðåäåëèì ñ ïîìîùüþñîîòíîøåíèÿ1P (DA1 ∪ DA2 ) = [λ(A1 ) + λ(A2 )],2òîãäà P (A) = λ(A) ïðè A ∈ A. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ðåãóëÿðíîéóñëîâíîé âåðîÿòíîñòè P (A|A), A ∈ F.Çàäà÷à.Èç òåîðåìû Êîëìîãîðîâà âûòåêàåò, ÷òî çíàíèå íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿâ ìîìåíò s, âåðîÿòíîñòíîé ìåðû νs (A), è ïåðåõîäíîé ôóíêöèè P (s, x, t, A)ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ìàðêîâñêèé ïðîöåññ.
À èìåííî, ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèéðåçóëüòàò (äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïðî÷èòàòü â êíèãå À.Ä.Âåíòöåëÿ "Êóðñòåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ").Òåîðåìà. Ïóñòü X σ -êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâîè B σ -àëãåáðà åãî áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ. È ïóñòü P (s, x, t, A)óäîâëåòâîðÿåò 1◦ 4◦ , à νt (A), t ∈ T , A ∈ B, ïðè ôèêñèðîâàííîì tâåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, ïðè÷åì νt = νs P st , ò.å.Zνt (A) = νs (dx)P (s, x, t, A).Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, äëÿ êîòîðîãî P (s, x, t, A) ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ, à νt (A) îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðîöåññà âìîìåíò t, ò.å.νt (A) = P (Xt ∈ A).Ñ ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé ñâÿçàíî ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ñåìåéñòâà,êîòîðîå îòðàæàåò âîçìîæíîñòü íà÷àòü ñëó÷àéíîå äâèæåíèå â ëþáîéòî÷êå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.Ëåêöèÿ 641Ïóñòü çàäàíû íåêîòðîå ìíîæåñòâî T ⊂ R1 , ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî(X, B) è ôóíêöèÿ P (s, x, t, A), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì 1◦ 3◦ .
Êðîìåòîãî, ïóñòü èìååòñÿ ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω è íà T × Ωçàäàíà ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ X(t, ω) = Xt (ω), ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿâ X. Êàê è ðàíåå, ñ ôóíêöèåé Xt (ω) ñâÿçàíû σ -àëãåáðû F≤t = σ(Xs , s ≤t), F≥t = σ(Xs , s ≥ t), F[s,t] = σ(Xu , u ∈ [s, t]), FT = σ(Xt , t ∈ T ).Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî äëÿ ëþáûõ s ∈ T è x ∈ X íà σ -àëãåáðåF≥s çàäàíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà Ps,x .Îïðåäåëåíèå.
Íàáîð ýëåìåíòîâ (Xt (ω), Ps,x ) íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêèìñåìåéñòâîì ñ ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé P (s, x, t, A), åñëè ïðè ëþáûõ s è xà) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Xt (ω), t ∈ T ∩ [s, ∞), íà âåðîÿòíîñòíîìïðîñòðàíñòâå (Ω, F≥s , Ps,x ) ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ò.å.Ps,x (BC|Xt ) = Ps,x (B|Xt )P (C|Xt )äëÿ ëþáûõ s, x, t ≥ s, B ∈ F≥t , C ∈ F[s,t] .á) ýòîò ìàðêîâñêèé ïðîöåññ îáëàäàåò çàäàííîé ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé,èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè ëþáûõ s ≤ u ≤ t, x ∈ X, A ∈ B ï.í.
ïî ìåðå Ps,xPs,x (Xt ∈ A|F[s,u] ) = P (u, Xu , t, A).â) Ps,x (Xs = x) = 1 (â ìîìåíò s ïðîöåññ âûõîäèò èç òî÷êè x).Åñëè òðåáîâàíèå á) çàïèñàòü â èíòåãðàëüíîé ôîðìå, ìû ïîëó÷èì,÷òî äëÿ ëþáîãî D ∈ F[s,u]ZPs,x (D ∩ {Xt ∈ A}) =P (u, Xu (ω), t, A)Ps,x (dω).DÂîçüìåì D = Ω, u = s, òîãäàZPs,x (Xt ∈ A) =P (s, Xs (ω), t, A) Ps,x (dω).ΩÍî ïîñêîëüêó â ñèëó â) Ps,x ï.í. èìååì Xs (ω) = x, òî ïîäèíòåãðàëüíàÿôóíêöèÿ ðàâíà P (s, x, t, A), ñëåäîâàòåëüíî,(1)Ps,x (Xt ∈ A) = P (s, x, t, A).Äëÿ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ìíîãèå ôîðìóëèðîâêè ñòàíîâÿòñÿ ïðîùå.Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÑëåäñòâèå. (áåç äîêàçàòåëüñòâà).
Ïóñòü Xt (ω) ôóíêöèÿ íàT ×Ω ñî çíà÷åíèÿìè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (X, B), Ps,x , ïðè ëþáûõ sè x, âåðîÿíòíîñòíàÿ ìåðà ïî σ -àëãåáðå F≥s , à P (s, x, t, A) ôóíêöèÿ,óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì 1◦ 3◦ . Ïàðà (Xt , Ps,x ) ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèìñåìåéñòâîì ñ ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé P (s, x, t, A) òîãäà è òîëüêî òîãäà,42Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûêîãäà êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ Xt îòíîñèòåëüíî Ps,x çàäàþòñÿôîðìóëîéPs,x (Xt1 ∈ A1 , .
. . , Xtn ∈ An ) =ZZ=P (s, x, t1 , dy1 )A1Z...A2P (tn−1 , yn−1 , tn , dyn )Anïðè s ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn . À óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà (4◦ ) ýòîíåîáõîäèìîå óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè òàêîé ñèñòåìû êîíå÷íîìåðíûõðàñïðåäåëåíèé.Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî åñëè X σ -êîìïàêòíîåìåòðè÷åñêîå, à B = AX σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ, ïðè÷åìP (s, x, t, A) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1◦ 4◦ , òî ñóùåñòâóåò ìàðêîâñêîåñåìåéñòâî (Xt , Ps,x ) ñ çàäàííîé ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé.Òåïåðü âåðíåìñÿ ê îïåðàòîðàì P st â ïðîñòðàíñòâàõ B è V.
Îáîçíà÷èì÷åðåç Es,x èíòåãðàë ïî ìåðå Ps,x .  ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (??) è îïðåäåëåíèÿîïåðàòîðà P st â B ïîëó÷àåìP st f (x) = Es,x f (Xt ).Àíàëîãè÷íî â V èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîνP st (A) = Ps,ν (Xt ∈ A),ò.å. ïîëó÷àåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå Xt , åñëè â ìîìåíò s ðàñïðåäåëåíèå áûëîν , ò.å. P (Xs ∈ A) = ν(A).Ïðåäâîëîæèì, ÷òî çàäàíî ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ P st â ïðîñòðàíñòâåB, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì 1)6). Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü.
÷òî ñóùåñòâóåòìàðêîâñêîå ñåìåéñòâî. êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò äàííîå ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ?(Òî÷íåå, ìîæíî ëè ïðåäñòàâèòü îïåðàòîðû P st â èíòåãðàëüíîé ôîðìåñ ôóíêöèåé P (, s, x, t, A), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì 1◦ -4◦ .)Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòâåò çàâèñèò îò òîãî, áóäåò ëè B∗ = V èëè∗B ⊃ V.Äëÿ êîíå÷íûõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, â òîâðåìÿ êàê äëÿ ñ÷åòíîãî X, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Õàíà-Áàíàõà, ìîæíîïîñòðîèòü ïðèìåð ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà, íå ïðåäñòàâèìîãî â âèäåèíòåãðàëà.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè X êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî,B = AX , à C ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà X (à çíà÷èò,èçìåðèìûõ îãðàíè÷åííûõ, ò.å.
C ⊂ B), òî ëþáîé ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûéôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå C ïðåäñòàâèì â âèäå èíòåãðàëà ïî îáîáùåííîéìåðåZϕ(f ) = hν, f i =ν(dx)f (x),XËåêöèÿ 643ïðè÷åì ôóíêöèîíàëàì, ïðèíèìàþùèì íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ íàíåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèÿõ, ñîîòâåòñòâóþò îáû÷íûå ìåðû, è ðàçëè÷íûåìåðû ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì ôóíêöèîíàëàì. (Åñëè X ýòî îòðåçîêäåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé, òî ýòî òåîðåìà Ðèññà.) Òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ,÷òî â ýòîì ñëó÷àå V = C∗ . Îäíàêî ìû ðàññìàòðèâàåì îïåðàòîðû P stíà ïðîñòðàíñòâå B, ò.å. âîîáùå ãîâîðÿ, ôóíêöèè èç C ïåðåâîäÿòñÿ â B.Íåîáõîäèìî íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, îáåñïå÷èâàþùååP st C ⊂ C, êîòîðîå âûäåëÿåò ñïåöèàëüíûé êëàññ ìàðêîâñêèõ ñåìåéñòâ,êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôåëëåðîâñêèìè.Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü X ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, B = AX ,C ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé. Ñåìåéñòâî(Xt , Ps,x ) íàçûâàåòñÿ ôåëëåðîâñêèì, åñëè P st C ⊂ C ïðè ëþáûõ s ≤ t.Èíà÷å, äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà X ôóíêöèÿP st f (x) íåïðåðûâíà ïî x (îãðàíè÷åííîñòü âûïîëíåíà àâòîìàòè÷åñêè),ò.å. ïðè x → x0ZZP (s, x, t, dy)f (y) → XP (s, x0 , t, dy)f (y)gX(òàêèì îáðàçîì, òðåáîâàíèå ôåëëåðîâîñòè, êàñàþùååñÿ ëèøü ïåðåõîäíûõôóíêöèé, ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìåðû P (s, x, t, A) ñëàáî íåïðåðûâíû ïîíà÷àëüíîé òî÷êå x).Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîìó ôåëëåðîâñêîìó ìàðêîâñêîìó ñåìåéñòâó ñîîòâåòñâóåòñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ P st íà ïðîñòðàíñòâå C, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì1)6).
Äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó, ïîêàçûâàþùóþ, ÷òî âåðíî è îáðàòíîåóòâåðæäåíèå.Òåîðåìà. Ïóñòü X êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî,B = AX (σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ). Ïóñòü, äàëåå, íà ïðîñòðàíñòâåC íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà X çàäàíî ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ P st , s ≤ t,s, t ∈ T ⊂ R1 , óäîâëåòâîðÿþùèõ òðåáîâàíèÿì 1)-6). Òîãäà ñóùåñòâóåòôåëëåðîâñêîå ìàðêîâñêîå ñåìåéñòâî (Xt , t ∈ T, Ps,x ), êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåòäàííîå ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.â âèäå èíòåãðàëàÄîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî P st f (x) ìîæíî ïðåäñòàâèòüP st f (x) =ZP (s, x, t, dy)f (y),Xãäå P (s, x, t, A) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1◦ 4◦ (ïîñêîëüêó, êàê áûëîóêàçàíî âûøå, ïåðåõîäíîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò ìàðêîâñêîå ñåìåéñòâî,â ñèëó óñëîâèÿ P st C ⊂ C ñåìåéñòâî áóäåò ôåëëåðîâñêèì).44Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÇàôèêñèðóåì s, t, x, òîãäà ñîãëàñíî 1) è 2) P st f (x) ëèíåéíûéôóíêöèîíàë íà C (ñ íîðìîé, íåïðåâîñõîäÿùåé 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
