Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы (1134107), страница 4
Текст из файла (страница 4)
À òàê êàê èçñõîäèìîñòè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, òîPXtn −→ Yt , tn ∈ S , tn → t. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó ñòîõàñòè÷åñêîéPíåïðåðûâíîñòè ïðîöåññà X èìåååì Xtn −→ Xt . Êàê èçâåñòíî, ïðåäåëâ ñìûñëå ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè åäèíñòâåííûé (ñ òî÷íîñòüþ äîýêâèâàëåíòíîñòè). Ïðîâåðèì ýòî. ÄåéñòâèòåëüíîεεP (|Xt − Yt | ≥ ε) ≤ P |Xt − Xtn | ≥+ P |Yt − Xtn | ≥−→ 0,22 n→∞à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî P (Xt 6= Yt ) = 0.Çàäà÷à. Áóäåò ëè òåîðåìà ñïðàâåäëèâà, åñëè â óñëîâèè 2.
ïîòðåáîâàòüïðîñòî íåïðåðûâíîñòü (à íå ðàâíîìåðíóþ) íà ñ÷åòíîì âñþäó ïëîòíîììíîæåñòâå S ?Ïîëó÷èì òåïåðü äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíîéìîäèôèêàöèè â òåðìèíàõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Òåîðåìà (Êîëìîãîðîâà). Ïóñòü T = [a, b] è ñóùåñòâóþò α > 0,γ > 0 è c > 0, ÷òîE|x(t + h) − x(t)|α ≤ c|h|1+γïðè ëþáûõ t, t + h ∈ T . Òîãäà ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíûé ïðîöåññY = {Yt , t ∈ T } ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Íàäî ïðîâåðèòü ñâîéñòâà 1 è 2 ïðåäûäóùåéòåîðåìû. Óñëîâèå 1. (ñòîõàñòè÷åñêàÿ íåïðåðûâíîñòü) âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà×åáûøåâà.
 ñàìîì äåëå,∀ε > 0 P (|X(t + h) − X(t)| ≥ ε) ≤E|X(t + h) − X(t)|αc≤ α |h|1+γ −→ 0.h→0εαεÏðè ïðîâåðêå ñâîéñòâà 2. áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì,÷òî [a, b] = [0, 1].  êà÷åñòâå S âîçüìåì ìíîæåñòâî äâîè÷íî-ðàöèîíàëüíûõòî÷åê, ò.å.knS=, 0≤k≤2 , n≥1 .2nÄàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé Áîðåëÿ-Êàíòåëëè. Äëÿ ýòîãî ââåäåì ñîáûòèÿ k+1k 1Ank = ω : X−X≥, k = 0, 2n − 1, n ≥ 1.2n2n n 2≤20Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÈñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà è óñëîâèé òåîðåìû äàåòP (Ank ) ≤ cn2α2n(1+γ).Ñëåäîâàòåëüíî,n−1∞ 2XXnP (Ank ) ≤n=1 k=0∞ 2X−1Xcn=1 k=0n2α2n(1+γ)=c∞Xn2α<∞2nγn=1Òàêèì îáðàçîì, ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ïðîèñõîäèò ëèøü êîíå÷åíîå ÷èñëîñîáûòèé Ank . Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ ïî÷òè âñåõ ω ñóùåñòâóåò n0 = n0 (ω)òàêîå, ÷òî ïðè ëþáûõ n > n0 è k < 2n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî X k + 1 − X k < 1 .nn22 n2Ðàññìîòðèì äàëåå òîëüêî òàêèå ω .
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 çàäàäèìòàêîå n1 , ÷òîX 12<εn2n≥n1è ïîëîæèì n̄ = n̄(ω) = max(n0 (ω), n1 ). Èòàê, ïóñòü z1 è z2 òàêèåäâîè÷íî-ðàöèîíàëüíûå òî÷êè, ÷òî |z1 − z2 | < 1/2n̄ . Ëþáîé äâîè÷íîðàöèîíàëüíûé îòðåçîê ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû "ñòàíäàðòíûõ"äâîè÷íîðàöèîíàëüíûõîòðåçêîââèäû( 2km , k+1ïðè÷åìîòðåçêè2m ),rr1 = s0rs1rslrsl+1 = r2êàæäîãî ðàíãà (ò.å. ñ ñîîòâåòñòâóþùèìm) âñòðå÷àþòñÿ íå áîëåå 2 ðàç,ïðè÷åì ðàíãè âñåõ èíòåðâàëîâ íå íèæå n̄.
Òàê êàêX(r2 ) − X(r1 ) = (X(r2 ) − X(sl ))++ (X(sl ) − X(sl−1 )) + · · · + (X(s1 ) − X(r1 )),òî |X(r2 ) − X(r1 )| ≤lXk=0|X(sk+1 ) − X(sk )| ≤ 2X 1< ε.n2n≥n̄Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü íà S ïî÷òè âñåõ òðàåêòîðèé äîêàçàíà, àñ íåé è âñÿ òåîðåìà.Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî â òåîðåìå Êîëìîãîðîâà, âîîáùå ãîâîðÿ,íåëüçÿ ïîíèçèòü ïîêàçàòåëè ñïðàâà, ïîëîæèâ γ = 0.Îäíàêî, äëÿ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ óñëîâèÿ ìîæíî îñëàáèòü.Ëåêöèÿ 321Ñëåäñòâèå. Ïóñòü X = {X(t), t ∈ [a, b]} ãàóññîâñêèé ïðîöåñññ íóëåâûì ñðåäíèì.
Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûåïîñòîÿííûå c è ε, ÷òîD(X(t + h) − X(t)) ≤ c|h|ε ,òî ó ïðîöåññà ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ìîäèôèêàöèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ãàóññîâñêóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíóη ñ ïàðàìåòðàìè (0, σ 2 ). Òîãäà ïîëó÷èìαE|η| = √12πσ+∞+∞ZZy2x2σαα − 2σ2√|x| edx =|y|α e− 2 dy = kα σ α2π−∞−∞(ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííûõ x/σ = y ).Òàê êàê X(t + h) − X(t) ãàóññîâñêàÿ âåëè÷èíà ñ íóëåâûì ñðåäíèì,òîααE(X(t + h) − X(t)|α = kα [D(X(t + h) − X(t))] 2 ≤ c 2 kα |h|αε2.Î÷åâèäíî, ÷òî ìîæíî ïîäîáðàòü α òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû αε2 = 1+γ , ãäåγ > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, áóäåò âûïîëíåíî óñëîâèå òåîðåìû Êîëìîãîðîâà.Çàäà÷à.Âû÷èñëèòü kα .Òàê êàê äëÿ ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà ñ íóëåâûì ñðåäíèì è êîâàðèàöèîííîéôóíêöèåé min(s, t) èìååì D(X(t + h) − X(t)) = |h|, òî (ïðè t ∈ [0, 1])ó íåãî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ìîäèôèêàöèÿ.
Çíà÷èò, ñóùåñòâîâàíèåâèíåðîâñêîãî ïðîöåññà íà îòðåçêå [0, 1] óñòàíîâëåíî.Äðóãîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, â âèòäå ñóììûðÿäà, ïîçâîëèò îñóùåñòâèòü òàêóþ êîíñòðóêöèþ íà [0, ∞).Ïðåæäå âñåãî íàì ïîíàäîáèòñÿ îäíî èíòåðåñíîå ñâîéñòâî ãàóññîâñêîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Ëåììà. Ïóñòü {ηn } ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãàóññîâñêèõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ Eηn = 0, Dηn = 1, òîãäà√P |ηn | = O( ln n) = 1.(ýòà çàïèñü îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ ω ñóùåñòâóåò êîíñòàíòàc = c(ω) è íîìåð n0 = n0 (ω) òàêèå, ÷òî√|ηn (ω)| ≤ c(ω) ln näëÿ âñåõ n ≥ n0 (ω). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõâåëè÷èí íå òðåáóåòñÿ.)22Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÄëÿ x > 0 èìååìZ∞Z∞2221 − u2 − u2P (|ηn | > x) = √du = √d −e 2 =eu2π2πxx∞Zx2x22 e− 21 − u2 2 e− 22.−edu ≤ √=√xu22π x2πÄîêàçàòåëüñòâî.xÎòñþäà âûòåêàåò, ÷òî2c∞√2 X n− 2√<∞P |ηn | > c ln n ≤ √2π n=2 c ln nn=1∞X√ïðè c > 2.Ïðèìåíÿÿ ëåììó Áîðåëÿ-Êàíòåëëè, ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ðåçóëüòàò.Ðàññìîòðèì äàëåå ôóíêöèè Õààðà.H0 (t) = 1, t ∈ [0, 1], è ïðè 2n ≤ k < 2n+1 , n ≥ 0, nk−2n + 12k−2n,2 2 ,2n ≤ t ≤2nn1nHk (t) = −2 n2 , k−2 n+ 2 < t ≤ k−2n +1 ,220,â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.1√2 6 H2 (t)6H1 (t)-−1121√26t√− 21214--1√− 212341Ôóíêöèè Hn (t), n ≥ 0, îáðàçóþò ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìóâ L2 [0, 1], ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ ôóíêöèÿ f èç ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ïðåäñòàâèìàâ âèäå ðÿäà∞Xf (t) =(f, Hk )Hk (t),k=0R1ãäå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (f, Hk ) = 0 f (t)Hk (t) dt.Ïîýòîìó äëÿ ëþáûõ f, g ∈ L2 [0, 1] ìîæíî çàïèñàòü(f, g) =∞Xk=0(f, Hk )(g, Hk ).Ëåêöèÿ 323Ââåäåì òàêæå ôóíêöèè ØàóäåðàZtSk (t) =Hk (u) du = (χ[0,t] , Hk ),0(1,ãäå χ[0,t] (u) =0,u ∈ [0, t]u > t.Íàì ïîíàäîáèòñÿ òàêæå ñëåäóþùàÿËåììà.ÐÿäS(t) =∞Xak Sk (t)k=0ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, åñëè |ak | = O(k ε ), ε < 1/2.Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç îïðåäåëåíèÿ Hk (t) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèènSk (t) íåîòðèöàòåëüíû è ïðè 2n ≤ k < 2n+1 îíè íå ïðåâîñõîäÿò 12 2− 2 .Åñëè k ìåíÿåòñÿ â óêàçàííûõ ïðåäåëàõ, òî ó ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíöêèéíåïåðåñåêàþùèåñÿ íîñèòåëè. Ïîëîæèì bn = max2n ≤k<2n+1 |ak |. ÓñëîâèåPnbn 2− 2 < ∞ äîñòàòî÷íî äëÿ àáñîëþòíîé è ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèðÿäà S(t).  óñëîâèÿõ ëåììû |ak | = O(k ε ) ñ ε < 12 , ïîýòîìó |bn | ≤ c2nε ,à çíà÷èò, ðÿä äåéñòâèòåëüíî ñõîäèòñÿ.Òåïåðü ïîëó÷åíû âñå ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû äëÿ äîêàçàòåëüñòâàñëåäóþùåé òåîðåìû.Òåîðåìà.
Ïóñòü {ξn , n ≥ 0} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõN (0, 1) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òîãäà ðÿäW (t) =∞Xξn Sn (t)n=0ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïðè t ∈ [0, 1] è çàäàâàåìûéèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ âèíåðîâñêèì.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåîðåìà äîêàçàíà è ïîëó÷èìÑëåäñòâèå.Ñóùåñòâóåò âèíåðîâñêèé ïðîöåññ W (t), t ≥ 0.(n)Âîçüìåì íåçàâèñèìûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ηk , k ≥0}n≥1 , ñîñòîÿùèå èç íåçàâèñèìûõ N (0, 1) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïî äîêàçàííîé(n)òåîðåìå ìîæíî ïîñòðîèòü (íåçàâèñèìûå) âèíåðîâñêèå ïðîöåññû W(t)Äîêàçàòåëüñòâî.24Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûïðè t ∈ [0, 1].
Îïðåäåëèì òåïåðü(1)0 ≤ t ≤ 1,W ,W (t) = W (1) (1) + W (2) (t − 1), 1 ≤ t ≤ 2,...Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî W (t) âèíåðîâñêèé ïðîöåññ íà [0, ∞),ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ñóììà íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåëè÷èí íîðìàëüíà,à ôóíêöèè îò íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêæå íåçàâèñèìû. Îïðåäåëåíèå.
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {N (t), t ≥ 0} íàçûâàåòñÿ ïóàññîíîâñêèì,åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(1) N (0) = 0,(2) Ýòî ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè.(3) Ïðèðàùåíèå N (t) − N (s) ïðè s < t èìååò ðàñïðåäåëåíèå ñïàðàìåòðîì λ(t − s), ò.å.P (N (t) − N (s) = k) =[λ(t − s)]k −λ(t−s)e.k!PkN (t) = max{k :i=1 ξi ≤ t} ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ,åñëè {ξn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ ïîêàçàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ñ ïàðàìåòðîì λ.Çàäà÷à.Ëåêöèÿ 4Çàäà÷à. Ñóùåñòâóåò ëè ó ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ìîäèôèêàöèÿñ íåóáûâàþùèìè òðàåêòîðèÿìè?Çàäà÷à. êàêîì ñìûñëå íåïðåðûâåí ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ N (t)Çàäà÷à.Íàéòè EN (t) è cov(N (s), N (t)).Çàäà÷à. Ïóñòü τn = inf{t : N (t) = n}, äîêàçàòü, ÷òî τ1 , τ2 − τ1 ,.
. . , τn − τn−1 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ïîêàçàòåëüíûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Òåïåðü äîêàæåì òåîðåìó î êîíñòðóêöèè âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ââèäå ðÿäà∞XW (t) =ξn Sn (t),n=0ãäå {ξn , n ≥ 0} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ N (0, 1) ñëó÷àéíûõâåëè÷èí, à ôóíêöèè Øîóäåðà.Ëåêöèÿ 425Òàê êàê ïî äîêàçàííîé ëåììå√P (|ξn |) = O( ln n) = 1,Pà ïî äðóãîé ëåììå ðÿäan Sn (t) ñõîäèòñÿP ðàâíîìåðíî, åñëè |an | =O(nε ) ïðè ε < 1/2, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ðÿä ξn Sn (t) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.Ñóììà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íåïðåðûâíà,ïîýòîìó òðåáîâàíèå î íåïðåðûâíîñòè òðàåêòîðèé âûïîëíåíî.Ïîñêîëüêó Sn (0) = 0, ïðè âñåõ n ≥ 0, òî W (0) = 0.Ïðîâåðèì, ÷òî îáëàäàåò íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, à ëþáîåïðèðàùåíèå W (t) − W (s), s < t ãàóññîâñêîå ñ íóëåâûì ñðåäíèì èäèñïåðñèåé t − s.
Äëÿ ýòîãî ïîêàæåì, ÷òîÄîêàçàòåëüñòâî.iEekP−1/2λj (W (tj )−W (tj−1 ))=ej=1kPλ2j (tj −tj−1 )j=1,çäåñü 0 = t0 < t1 < · · · < tn .Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè ïîëîæèì λk+1 = 0. Î÷åâèäíî, ÷òîkXλj (W (tj ) − W (tj−1 )) =j=1kXM (tj )(λj − λj+1 ) =j=1∞X=ξnn=0kX(λj − λj+1 )Sn (tj ).j=1Ïîñêîëüêó ðÿä ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 (à, çíà÷èò, è ñëàáî),õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ èìååò âèä:iEekPj=1λj (W (tj )−W (tj−1 ))i= lim EeNPξnn=0kP(λj −λj+1 )Sn (tj )=j=1N →∞ ñèëó íåçàâèñèìîñòè N (0, 1) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξn ïîñëåäíåå âûðàæåíèåïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì= limN →∞= limN →∞NYiξnEekP(λj −λj+1 )Sn (tj )=j=1n=0NY− 12EekP!2(λj −λj+1 )Sn (tj )j=1=n=0− 12= lim Ee!2NPkPn=0j=1(λj −λj+1 )Sn (tj )=N →∞− 12= lim EeN →∞!2∞PkPn=0j=1(λj −λj+1 )Sn (tj ).26Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÏîäñ÷èòàåì ñóììó ðÿäà, ñòîÿùåãî â ïîêàçàòåëå.∞ Xk XkX(λj − λj+1 )(λl − λl+1 )Sn (tj )Sn (tl ) =n=0 j=1 l=1k XkX(λj − λj+1 )(λl − λl+1 )∞XSn (tj )Sn (tl ) =n=0j=1 l=1Âñïîìíèì, ÷òî Sn (t) =, ñëåäîâàòåëüíî,∞XSn (tj )Sn (tl ) =n=0∞X(χ[0,tj ] , Hn )(χ[0,tl ] , Hn ) =n=0= (χ[0,tj ] , χ[0,tl ] ) = min(tj , tl ).Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî ìîæíî ïåðåïèñàòü ñóììó ðÿäà=k XkX(λj − λj+1 )(λl − λl+1 ) min(tj , tl ) =j=1 l=1=kXtj (λj − λj+1 )2 + 2j=1= tk λ2k +k−1Xtj (λj − λj+1 )j=1k−1XkX(λl − λl+1 ) =l=j+1tj [λ2j − 2λj λj+1 + λ2j+1 + 2λj λj+1 − 2λ2j+1 ] =j=1= tk λ2k +k−1Xj=1tj (λ2j − λ2j+1 ) =kXλj (tj − tj−1 ).j=1Òåì ñàìûì ïðîâåðåíû âñå ñâîéñòâà âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.Åñëè òðàåêòîðèè ïðîöåññà íåïðåðûâíû, òî, êàê ìû âèäåëè, ïîâåäåíèåïðîöåññà îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü òåì, ÷òî î íåì èçâåñòíî äëÿ ñ÷åòíîãîâñþäó ïëîòíîãî ìíîæåñòâà.Ïðîñòåéøèì òðåáîâàíèåì ðåãóëÿðíîñòè, ïðè÷åì íå íàêëàäûâàþùèìíèêàêèõ óñëîâèé íà êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà, ÿâëÿåòñÿñåïðàáåëüíîñòü, ââåäåííàÿ Äæ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
