Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы (1134107), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ãàóóñîâñêèéïðîöåññ, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòèì ôóíêöèÿì a(·) è B(·). Çíà÷åíèÿïðîöåññà â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ íåêîððåëèðîâàíû, à ïîñêîëüêóëþáîé èç íàáîðîâ (X(t1 ), . . . , X(tn )) ãàóññîâñêèé, òî óêàçàííûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìû.Òàêèì îáðàçîì, ýòî ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè(îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè) çíà÷åíèÿìè.• Ïóñòü òåïåðü T = [0, ∞), a(t) = 0, B(s, t) = min(s, t).Óñëîâèå 1 òåîðåìû î÷åâèäíûì îáðàçîì âûïîëíåíî.Ïðîâåðèì óñëîâèå 2 íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè. Ïîëîæèì(1, u ≤ t,χ(−∞,t] (u) =0, u > t.14Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûòîãäà ìîæíî çàïèñàòüZ∞min(s, t) = χ(−∞,s] (u)χ(−∞,t] (u) du0Ñëåäîâàòåëüíî,nXλk λj B(tk , tj ) =k,j=1nXZ∞λk λjk,j=1=0Z∞ Xn0χ(−∞,tk ] (u)χ(−∞,tj ] (u) du =!2λk χ(−∞,tk ] (u)du ≥ 0kè, çíà÷èò, ñóùåñòâóåò ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñ óêàçàííûìè ïàðàìåòðàìè.Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòðîåííîãîïðîöåññà èìåþò ïëîòíîñòü è íàéòè åå ÿâíûé âèä.Ëåììà.
Ãàóññîâñêèé ïðîöåñ ñ ïàðàìåòðàìè a(t) = 0, B(s, t) =min(s, t), s, t ≥ 0, óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:• Ýòî ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè,• Ïðè s < t ïðèðàùåíèå X(t)−X(s) ýòî ãàóññîâñêàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà ñ íóëåâûì ñðåäíèì è äèñïåðñèåé (t − s),• X(0) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ëþáûõ 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn ñëó÷àéíûéâåêòîð (X(t1 ), . . . , X(tn )) ãàóññîâñêèé. Âåêòîð (X(t2 )−X(t1 ), X(t3 )−X(t2 ), . . . , X(tn ) − X(tn−1 )), ïîëó÷åííûé èç ïðåäûäóùåãî ñ ïîìîùüþëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, òàêæå ãàóññîâñêèé ñ ïàðàìåòðàìèE(X(tj ) − X(tj−1 )) = a(tj ) − a(tj−1 ) = 0,cov(X(tj ) − X(tj−1 ), X(tl ) − X(tl−1 )) == E(X(tj ) − X(tj−1 ))(X(tl ) − X(tl−1 )) == EX(tj )X(tl ) − EX(tj )X(tl−1 )−− EX(tj−1 )X(tl ) + EX(tj−1 )X(tl−1 ) == min(tj , tl ) − min(tj , tl−1 )−− min(tj−1 , tl ) + min(tj−1 , tl−1 ).Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè l 6= j ìû èìååìcov(X(tj ) − X(tj−1 ), X(tl ) − X(tl−1 )) = 0,à ïðè l = j ïîëó÷àåì D(X(tj ) − X(tj−1 )) = tj − tj−1 .Ëåêöèÿ 215Ïîñêîëüêó êîìïîíåíòû ãàóññîâñêîãî âåêòîðà íåêîððåëèðîâàíû, îíèíåçàâèñèìû, ò.å.
óñëîâèå 1 âûïîëíåíî.Ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ 2 âûòåêàåò èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé.Äîñòàòî÷íî âçÿòü n = 2 è ïîëîæèòü t1 = s, t2 = t.×òî êàñàåòñÿ óñëîâèÿ 3, òî èç òîãî, ÷òî EX(0) = 0, DX(0) = 0,âûòåêàåò X(0) = 0 ïî÷òè íàâåðíîå.Çàäà÷à. (îáÿçàòåëüíàÿ). Äîêàçàòü, ÷òî ïðîöåññ, óäîâëåòâîðÿþùèéóñëîâèÿì 13 ëåììû, ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèì ñEX(t) = 0 è cov(X(s), X(t)) = min(s, t), s, t ≥ 0.Ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì ïî âðåìåíè, åñëè ðàñïðåäåëåíèÿïðèðàùåíèé X(t) − X(s), s < t, çàâèñÿò ëèøü îò ðàçíîñòè t − s.Ðàññìîòðåííûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì.
Ïîñêîëüêó ýòîò ïðîöåññïðåäíàçíà÷åí äëÿ îïèñàíèÿ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, òî åñòåñòâåííîïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèå åùå îäíîãî óñëîâèÿ:• Âñå òðàåêòîðèè ïðîöåññà íåïðåðûâíû.Ïðîöåññ, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì 14, íàçûâàåòñÿ òàêæå ñòàíäàðòíûìâèíåðîâñêèì, ïîñêîëüêó â óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ïðîöåññ èçó÷àëñÿ Âèíåðîìâ 20-å ãîäû XX âåêà.Òåîðåìà Êîëìîãîðîâà, êàê ìû óæå âèäåëè, ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòüïðîöåññ, îáëàäàþùèé ñâîéñòâàìè 13.
Îäíàêî ìíîæåñòâî C T ⊂ RTíåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íå ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâñêèì (C T ∈/ BT ), ïîýòîìóìû íå ìîæåì íå òîëüêî óòâåðæäàòü, ÷òî âñå òðàåêòîðèè ïðîöåññàíåïðåðûâíû (èëè ïî÷òè âñå îíè íåïðåðûâíû, ò.å. Π(C T ) = 1), íî èâîîáùå îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà (òàê êàê îíî íåèçìåðèìî).Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïóòåé ïðåîäîëåíèÿ ýòîé òðóäíîñòè. Îäèí èçíèõ îñíîâàí íà ïîíÿòèè ýêâèâàëåíòíîñòè ïðîöåññîâ.Äâà ñëó÷àéíõ ïðîöåññàX = {X(t), t ∈ T } è Y = {Y (t), t ∈ T },îïðåäåëåííûå íà îäíîì è òîì æå âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P )è èìåþùèå îäíî è òî æå ïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî T , íàçûâàþòñÿýêâèâàëåíòíûìè, åñëè P (X(t) = Y (t)) = 1 äëÿ ëþáîãî t ∈ T .Çàäà÷à. Ýêâèâàëåíòíûå ïðîöåññû èìåþò îäèíàêîâûå êîíå÷íîìåðíûåðàñïðåäåëåíèÿ.
Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.Ýêâèâàëåíòíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ òàêæå ìîäèôèêàöèåéèñõîäíîãî ïðîöåññà.Ïîíÿòèå ýêâèâàëåíòíîñòè ïðèâîäèò ê ðàçëè÷íûì ïîñëåäñòâèÿìäëÿ ïðîöåññîâ ñ äèñêðåòíûì è ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì.16Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññû òî âðåìÿ êàê äëÿ ïðîöåññîâ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì èç ýêâèâàëåíòíîñòèñëåäóåò ñîâïàäåíèå ïî÷òè âñåõ òðàåêòîðèé (ò.ê. P {∩t∈T (Xt = Yt )} = 1,åñëè T ñ÷åòíî), äëÿ ïðîöåññîâ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì ýòî âîâñåíå òàê. À èìåííî, ìíîæåñòâî ñîâïàäàþùèõ òðàåêòîðèé ìîæåò èìåòüëþáóþ ìåðó îò 0 äî 1 èëè âîîáùå áûòü íåèçìåðèìûì.Ðàññìîòðèì ïðèìåð.Ïóñòü T = [0, 1], Ω = [0, 1], F = B[0,1] áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà íà[0, 1], à âåðîÿòíîñòü P ìåðà Ëåáåãà.
Ïîëîæèì X(t, ω) = 0 äëÿ âñåõt ∈ T , ω ∈ Ω, à Y (t, ω) = 1 ïðè t = ω è Y (t, ω) = 0 ïðè t 6= ω .• Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ïðîöåññû ýêâèâàëåíòíû, ò.ê. ïðè ôèêñèðîâàííîìt îíè îòëè÷àþòñÿ ëèøü â îäíîé òî÷êå ω , íîP (X(t) = Y (t), t ∈ [0, 1]) = 0,íè îäíà èç òðàåêòîðèé ó äâóõ ïðîöåññîâ íå ñîâïàäàåò.• Ó ïðîöåññà X âñå òðàåêòîðèè íåïðåðûâíû, à ó Y ðàçðûâíû.• Äàëåå, sup X(t) = 0, à sup Y (t) = 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.t∈[0,1]t∈[0,1]Çàäà÷à.
Êàê âèäîèçìåíèòü îïðåäåëåíèå ïðîöåññà Y , ÷òîáû ìíîæåñòâîñîâïàäàþùèõ òðàåêòîðèé X è Y áûëî íåèçìåðèìûì? îòëè÷èå îò äèñêðåòíîãî âðåìåíè, ãäå supt Xt , inf t Xt , limt→t0 Xt ,limt→t0 Xt ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, äëÿ íåïðåðûâíîãî âðåìåíèýòî íå òàê. Ìíîãèå èíòåðåñíûå äëÿ ïðàêòèêè ìíîæåñòâà íå ÿâëÿþòñÿáîðåëåâñêèìè.  ðåçóëüòàòå èõ âåðîÿòíîñòü ëèáî âîâñå íå çàäàíà, ëèáîíå îïðåäåëíà îäíîçíà÷íî êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè.Èòàê, îáû÷íî âîïðîñ ñòàâèòñÿ òàêèì îáðàçîì: ñóùåñòâóåò ëè óäàííîãî ïðîöåññà ìîäèôèêàöèÿ, îáëàäàþùàÿ íóæíûìè íàì ñâîéñòâàìè(à íå òàê, îáëàäàåò ëè ñàì ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ ýòèìè ñâîéñòâàìè).Èñõîäÿ èç ýòèõ ñîîáðàæåíèé, â ñëåäóþùèé ðàç äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèåâèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.Ìû óâèäèì, ÷òî òðåáîâàíèå íåïðåðûâíîñòè íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèåíà êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ.Åñëè ðàññìàòðèâàòü âòîðîå îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (êàêèçìåðèìîå îòîáðàæåíèå èç Ω â RT ), ìû ïðèõîäèì ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâòðàåêòîðèé.Ãîâîðÿò, ÷òî X = {X(t), t ∈ T } âûáîðî÷íî íåïðåðûâåí (äèôôåðåíöèðóåìèëè èíòåãðèðóåì) â òî÷êå ω , åñëè ýòî âåðíî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåéòðàåêòîðèè, ò.å.
ôóíêöèè X(·, ω) îò t.Ïðîöåññ âûáîðî÷íî íåïðåðûâåí íà ìíîæåñòâå A ∈ F, åñëè òðàåêòîðèèíåïðåðûâíû äëÿ âñåõ ω ∈ A.Ëåêöèÿ 317 òîì ñëó÷àå, êîãäà P (A) = 1, ãîâîðÿò, ÷òî ïî÷òè âñå òðàåêòîðèèïðîöåññà íåïðåðûâíû èëè ïðîöåññ âûáîðî÷íî íåïðåðûâåí ñ âåðîÿòíîñòüþ1.Åñëè æå èñõîäèòü èç ïåðâîãî îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà êàêêðèâîé â ïðîñòðàíñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìîæíî äàòü 4 îïðåäåëåíèÿíåïðåðûâíîñòè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (â ñîîòâåòñòâèè ñ 4 òèïàìè ñõîäèìîñòè).(1) Ïðîöåññ íåïðåðûâåí ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 â òî÷êå t0 ∈ T , åñëèP X(t) −→ X(t0 ) = 1.t→t0(2) Ïðîöåññ íåïðåðûâåí ïî âåðîÿòíîñòè (èëè ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâåí)â òî÷êå t0 , åñëè P (|X(t) − X(t0 )| ≥ ε) ïðè t → t0 äëÿ ∀ε > 0.P(Èíà÷å, X(t) −→ X(t0 )).t→t0(3) Ïðîöåññ íåïðåðûâåí â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì â òî÷êå t0 , åñëèE(X(t) − X(t0 ))2 −→ 0t→t0(èëè l.i.mt→t0 X(t) = X(t0 )).(4) Ïðîöåññ íåïðåðûâåí ñëàáî (èëè ïî ðàñïðåäåëåíèþ) â òî÷êå t0 ,åñëèFt (x) −→ Ft0 (x)t→t0(â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ft0 ).Ïðîöåññ (â ñîîòâåòñòâóþùåì ñìûñëå) íåïðåðûâåí (èëè íåïðåðûâåííà T ), åñëè óêàçàííîå ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè âûïîëíåíî â ëþáîéòî÷êå t0 ∈ T .Çàäà÷à.
Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ââåäåííûå âûøå 5 ñâîéñòâíåïðåðûâíîñòè?Ëåêöèÿ 3Íàïîìíèì, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ââåäåííûå ïðîøëûé ðàç âèäûíåïðåðûâíîñòè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ:(0) ïî÷òè íàâåðíîå âûáîðî÷íàÿ íåïðåðûâíîñòü,(1) íåïðåðûâíîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 (äëÿ âñåõ t),(2) ñòîõàñòè÷åñêàÿ íåïðåðûâíîñòü,(3) ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ íåïðåðûâíîñòü,(4) íåïðåðûâíîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ.×òîáû íàãëÿäíåå áûëà ðàçíèöà ìåæäó äâóìÿ ïîíÿòèÿìè íåïðåðûâíîñòè:0.
(âûáîðî÷íàÿ ï.í.) è 1. (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1), óäîáíî èõ îïèñàòü âîòðèöàòåëüíîé ôîðìå.18Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññû0-1PqP213-4Åñëè P (Xt → Xt0 , t → t0 ) 6= 1, òî ãîâîðÿò, ÷òî t0 ôèêñèðîâàííàÿòî÷êà ðàçðûâà. Òî÷êà t0 = t0 (ω), íå ÿâëÿþùàÿñÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êîéðàçðûâà, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííîé òî÷êîé ðàçðûâà.Òàêèì îáðàçîì, íåïðåðûâíîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îçíà÷àåò îòñóòñòâèåôèêñèðîâàííûõ òî÷åê ðàçðûâà, à ïî÷òè íàâåðíîå âûáîðî÷íàÿ íåïðåðûâíîñòüîçíà÷àåò, ÷òî çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà òðàåêòîðèé íóëåâîé ìåðûîòñóòñâóþò è ïåðåìåííûå òî÷êè ðàçðûâà.Òåïåðü ïðèñòóïèì ê ðàññìîòðåíèþ âûáîðî÷íîé íåïðåðûâíîñòè.
Àèìåííî, äîêàæåì íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿíåïðåðûâíîé ìîäèôèêàöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T = [a, b], õîòÿ ðåçóëüòàòñïðàâåäëèâ è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñåïàðàáåëüíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâàT.Òåîðåìà. Ó ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X = {Xt , t ∈ T } ñóùåñòâóåòýêâèâàëåíòíûé åìó ïðîöåññ Y = {Yt , t ∈ T } ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìèòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà(1) X ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâåí íà T ,(2) ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè X ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû íà íåêîòîðîìñ÷åòíîì âñþäó ïëîòíîì ïîäìíîæåñòâå S ìíîæåñòâà T .Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðîöåññ Y ={Yt , t ∈ T } ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè, ýêâèâàëåíòíûé X = {Xt , t ∈T }.
Òàê êàê T = [a, b], òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíîíåïðåðûâíà íà T . Äàëåå, åñëè S ⊂ T ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî, òî P (∪t∈S {Xt 6=Yt }) = 0. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè X ñîâïàäàþò íà S ñòðàåêòîðèÿìè Y , à çíà÷èò, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû íà S .×òî êàñàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé íåïðåðûâíîñòè, òî ýòî óñëîâèå, íàëîæåííîåíà äâóìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ó ýêâèâàëåíòíûõ ïðîöåññîâ ñîâïàäàþò.P (|Xt − Xt0 | ≥ ε) = P (|Yt − Yt0 | ≥ ε) −→ 0.t→t0(Âòîðàÿ âåðîÿòíîñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òàê êàê èç íåïðåðûâíîñòèòðàåêòîðèé ñëåäóåò ñòîõàñòè÷åñêàÿ íåïðåðûâíîñòü).Äîñòàòî÷íîñòü.
Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1 è 2. Ïîëüçóÿñü 2, îïðåäåëèì lim Xtn (ω), åñëè ïðåäåë ñóùåñòâóåò,tn →tYt (ω) = tn ∈S0,â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.Òàê êàê ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè X ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû íà S , ïîëó÷èâøèéñÿïðîöåññ Y = {Yt , t ∈ T } îáëàäàåò íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè.Ëåêöèÿ 319Èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâà 1. (ñòîõàñòè÷åñêîé íåïðåðûâíîñòè), ïîçâîëÿåòóñòàíîâèòü ýêâèâàëåíòíîñòü X è Y .  ñàìîì äåëå, ïî ïîñòðîåíèþ Yt ,äëÿ ëþáîãî t ∈ T èìååì P (Xyn → Yt , tn → t, tn ∈ S) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
