Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы, страница 2

. , xin ) = Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ),(2) ñîãëàñîâàííîñòèFt1 ,...,tn ,tn+1 (x1 , . . . , xn , +∞) = Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ).Ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî.Ïîëîæèì Ω = RT (ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íûõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé{x(t), t ∈ T }), à â êà÷åñòâå F âîçüìåì BT . ñèëó óñëîâèé 1) è 2) ìû ìîæåì îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ìåðó∗ëþáîãî èíòåðâàëà I = Π−1t1 ,...,tn (I ). Òàê, íàïðèìåð, åñëèI ∗ = (a1 , b1 ] × · · · × (an , bn ],ïîëîæèì Π(I) = Pt1 ,...,tn (I ∗ ), ãäåPt1 ,...,tn (I ∗ ) =nXk=0(−1)kXFt1 ,...,tn (c1 , . .

. , cn ),i1 <···<ikçäåñü cis = ais , s = 1, k , è cj = bj ïðè j 6= i1 , . . . , ik .Äàëåå, ìîæíî, èñïîëüçóÿ êîíå÷íóþ àääèòèâíîñòü, îïðåäåëèòü ìåðóëþáîãî ìíîæåñòâà èç A.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèìåíèòü òåîðåìó Êàðàòåîäîðè, íåîáõîäèìî óñòàíîâèòüñ÷åòíóþ àääèòèâíîñòü ïîñòðîåííîé ìåðû Π íà A.Ïðåäïîëîæèì, ýòî äîêàçàíî, ò.å. ïî êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿìóäàëîñü îäíîçíà÷íî çàäàòü ìåðó Π ëþáîãî ìíîæåñòâà èç BT .Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîñòðîåíî âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (RT , BT , Π),ò.å. ìåðà P = Π. Òåïåðü ïîëîæèì X(t, ω) = X(t, x(·)) = x(t). Òîæäåñòâåííîåîòîáðàæåíèå X : RT → RT BT \ BT -èçìåðèìî, ò.å. ñëó÷àéíûé ïðîöåññ(â ñìûñëå âòîðîãî îïðåäåëåíèÿ).Ëåêöèÿ 29Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñòðîåííûé ïðîöåññ èìååò çàäàííûå êîíå÷íîìåðíûåðàñïðåäåëåíèÿ.Îòìåòèì, ÷òî òðàåêòîðèè äàííîãî ïðîöåññà ñîâïàäàþò ñ ýëåìåíòàðíûìèñîáûòèÿìè ω = x(·).Òàêîé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî çàäàííûì.

(Ïðîäîëæåíèåäîêàçàòåëüñòâà â ëåêöèè 2).Ëåêöèÿ 2Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû Êîëìîãîðîâà.Îñòàëîñü ïðîâåðèòü ñ÷åòíóþ àääèòèâíîñòü ìåðû Π íà àëãåáðå A.Ïîñêîëüêó ëþáîå ìíîæåñòâî èç A ýòî êîíå÷íàÿ ñóììà íåïåðåñåêàþùèõñÿèíòåðâàëîâ è Π êîíå÷íî-àääèòèâíà, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî∞XΠ(I) =Π(Ik ), åñëè I = I1 + I2 + . . .k=1(ò.å. èíòåðâàë I = It1 ,...,tn0 åñòü îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿèíòåðâàëîâ Ik = It1 ,...,tnk , n0 ≤ n1 ≤ . .

. , nk → ∞ ïðè k → ∞; Ij ∩ Il ,j 6= l).Òàê êàê I ⊃ I1 + · · · + Im , òî â ñèëó êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè,mXΠ(Ik ),Π(I) ≥k=1äëÿ ëþáîãî m ≥ 1.Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè m → ∞, ïîëó÷èì∞XΠ(I) ≥Π(Ik ).k=1Ïðåäïîëîæèì, ÷òîΠ(I) =∞XΠ(Ik ) + α,k=1äëÿ íåêîòîðîãî α > 0, è ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ.Ïîëîæèì A0 = I , Am = I \ (I1 + · · · + Im ), m ≥ 1.Î÷åâèäíî, Am = πt−1A∗m , ãäå A∗m êîíå÷íàÿ ñóììà nm -ìåðíûõ1 ,...,tmèíòåðâàëîâ (èëè ïàðàëëåëåïèïåäîâ èç Rnm ), ÿâëÿþùèõñÿ îñíîâàíèÿìèèíòåðâàëîâ, ñîñòàâëÿþùèõ Am .Ïðè ýòîì A0 ⊃ A1 ⊃ . . . è Π(Am ) ≥ α ïðè âñåõ m ≥ 0. ñèëó ñâîéñòâ êîíå÷íîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, â òîì÷èñëå íåïðåðûâíîñòè ñâåðõó Ft1 ,...tnm â ëþáîé òî÷êå (x1 , .

. . , xnm ), äëÿïðîèçâîëüíîãî ε > 0 â êàæäîì èç ñîñòàâëÿþùèõ A∗m ïàðàëëåëåïèïåäîâ10Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûìîæíî íàéòè çàìêíóòûé îãðàíè÷åííûé ïàðàëëåëåïèïåä, òàêîé, ÷òî∗∗äëÿ èõ ñóììû Bmâåðíî ñîîòíîøåíèå Pt1 ,...tnm (A∗m \ Bm) < ε/2m+1 .m+1À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Π(Am \ Bm ) < ε/2.∗∗Ïóñòü, äàëåå, Cm = B0 B1 . . . Bm = πt−1Cm, ãäå Cm êîíå÷íàÿ1 ,...tnmñóììà nm -ìåðíûõ çàìêíóòûõ îãðàíè÷åííûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ.Òàê êàêAm \ Cm = Am C̄m = Am (B̄0 ∪ · · · ∪ B̄m ) ⊂ A0 B0 ∪ · · · ∪ Am Bm ,òîΠ(Am \ Cm ) ≤mXΠ(Ak B̄k ) ≤ ε.k=0CmÎòñþäà Π(Cm ) = Π(Am ) − Π(Am \ Cm ) ≥ α − ε > 0 (ïðè ε < α).Ïðè ëþáîì m ìíîæåñòâà Cm íå ïóñòû, ñëåäîâàòåëüíî, èç êàæäîãîìîæíî âûáðàòü òî÷êó xm , ò.å. ôóíêöèþ âèäà(yms , t = ts , s = 1, nm ,xm (t) =,0,äëÿ îñòàëüíûõ t.ïðè ýòîì âåêòîð (ym1 , .

. . , ymnm ) ýòî òî÷êà îäíîãî èç ïàðàëëåëåïèïåäîâ,∗(îñíîâàíèå Cm ).ñîñòàâëÿþùèõ CmÈç ïîñòðîåíèÿ Cm ñëåäóåò, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì s ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{yms }m≥0 îãðàíè÷åíû. Ñ ïîìîùüþ äèàãîíàëüíîé ïðîöåäóðû ìîæíîíàéòè òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü m1 < m2 < . . . , ÷òî ymk s → ys ,k → ∞, ïðè âñåõ s = 1, 2, . . .

.Ïîñêîëüêó C0 ⊃ C1 ⊃ . . . è âñå Cm çàìêíóòû, òî(ys , t = ts , s = 1, 2, . . .x(t) =,0, äëÿ îñòàëüíûõ t.(êàê òî÷êà RT ) ïðèíàäëåæèò ëþáîìó Cm , à, çíà÷èò, è Am . À ýòîïîêàçûâàåò, ÷òî x ∈ I , íî x ∈/ Im , m ≥ 1, ò.å. ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþñ ðàâåíñòâîì I = I1 + I2 + . . . .Òàêèì îáðàçîì, ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü Π íà àëãåáðå A äîêàçàíà,÷åì è çàêîí÷åíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êîëìîãîðîâà.Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî àíàëîã òåîðåìû Êîëìîãîðîâà ñïðàâåäëèâäëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ñî çíà÷åíèÿìè â ïîëüñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ.Èòàê, ñåìåéñòâî êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèÿì ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàííîñòè, çàäàåò ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.

Èêëàññèôèêàöèþ ïðîöåññîâ ìîæíî ïðîâîäèòü â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìèèõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè êëàññàìè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.Ëåêöèÿ 211(1) Ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìè çíà÷åíèÿìè.Ãîâîðÿò, ÷òî X = {X(t), t ∈ T } èìååò íåçàâèñèìûå çíà÷åíèÿ,åñëè äëÿ ëþáûõ ti ∈ T , i = 1, n, n ≥ 2 ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûX(t1 ), . . . , X(tn ) (âçàèìíî) íåçàâèñèìû.Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ çàäàíèÿ òàêîãî ïðîöåññàäîñòàòî÷íî çíàòü ëèøü îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ Ft (x), t ∈T . Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿnYFt1 ,...,tnm (x1 , . . . , xn ) =Ftj (xj ),j=1ïîëó÷èì ñåìåéñòâî êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèÿì òåîðåìû Êîëìîãîðîâà.

Çíà÷èò, òàêîé ïðîöåññ äåéñòâèòåëüíîñóùåñòâóåò. ÷àñòíîñòè, ìû óñòàíîâèëè ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòèíåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ çàäàííûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ,êîòîðûå èñïîëüçîâàëè ïðè äîêàçàòåëüñòâå ÇÁ× è ÖÏÒ â êóðñåòåîðèè âåðîÿòíîñòåé. (Äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü T = {1, 2, . . .

}).Åñëè âçÿòü Ft (x) = F (x), t ∈ T , òî ïîëó÷èì ïðîöåññ ñíåçàâèñèìûìè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè.(2) Ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè.Ïðîöåññ X = {X(t), t ∈ T } èìååò íåçàâèñèìûå ïðèðàùåíèÿ,åñëè äëÿ ëþáûõ ti ∈ T , i = 1, n, n ≥ 3 ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûX(t2 ) − X(t1 ), X(t3 ) − X(t2 ), . . . , X(tn ) − X(tn−1 ) íåçàâèñèìû.Çàäà÷à.

×òî íàäî çíàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ïðîöåññ ñíåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè?(3) Ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû.Ñóùåñòâóþò ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû â óçêîì è øèðîêîìñìûñëå.(a) Ïðîöåññ X = {X(t), t ∈ T } íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì âóçêîì ñìûñëå, åñëè âñå åãî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿíå ìåíÿþòñÿ ïðè ñäâèãå, ò.å.∀ti ∈ T, ti + h ∈ T, i = 1, n, n ≥ 1, Pt1 +h,...,tn +h = Pt1 ,...,tn .Ïðèìåðîì ñòàöèîíàðíîãî â óçêîì ñìûñëå ïðîöåññà ìîæåòñëóæèòü ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìèçíà÷åíèÿìè.(b) Ïðîöåññ X = {X(t), t ∈ T } íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì âøèðîêîì ñìûñëå, åñëè ïðè ñäâèãå íå ìåíÿþòñÿ åãî ìîìåíòûïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å.∀t ∈ T, s ∈ T, t + h ∈ T, s + h ∈ T12Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûa(t + h) = a(t),R(s + h, t + h) = R(s, t),ãäå a(t) = EX(t),R(s, t) = EX(s)X(t).Çàäà÷à.

Êàê ìåæäó ñîáîé ñâÿçàíû êëàññû ñòàöèîíàðíûõ â óçêîìè øèðîêîì ñìûñëå ïðîöåññîâ?(4) Ãàóññîâñêèå (èëè íîðìàëüíûå) ïðîöåññû.Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X = {X(t), t ∈ T } íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì,åñëè âñå åãî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêèå.Âñïîìíèì, ÷òî âåêòîð ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ãàóññîâñêèé, åñëèåãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿPϕ(λ) = Eei(λ,ξ) (èíà÷å îíànçàïèñûâàåòñÿ ϕ(λ1 , . . . , λn ) = Eei j=1 λj ξj ) èìååò âèäϕ(λ) = Eei(λ,a)−1/2(Bλ,λ)Áîëåå ïîäðîáíî ìîæíî çàïèñàòüϕ(λ1 , . .

. , λn ) = eiPnj=1λj aj −1/2Pnj,l=1λj λl bjl,ãäå a = (a1 , . . . , an ) âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé aj =Eξj , j = 1, n è B = (bjl )j,l=1,n ìàòðèöà êîâàðèàöèébjl = cov(ξj , ξl ) = E(ξj − Eξj )(ξl − Eξl ).Çàäà÷à. Âåêòîð ξ = (ξ1 , . . .

, ξn ) òîãäà è òîëüêî òîãäà ãàóññîâñêèé,åñëè ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ åãî êîîðäèíàò ãàóññîâñêàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà.Çàäà÷à. Ìàòðèöà B íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà. Åñëè B ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåíà, òî ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà ξ èìååò ïëîòíîñòün 1 XnnBkj (xk − ak )(xj − aj )p(x1 , . . . , xn ) = (2π)− 2 (det B)− 2 exp − 2k,j=1ãäå Bkj ýòî ýëåìåíòû ìàòðèöû, îáðàòíîé ê B .Çàäà÷à. Åñëè ìàòðèöà B èìååò ðàíã r < n, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1âåêòîð ξ ïðèíàäëåæèò r-ìåðíîìó ëèíåéíîìó ìíîãîîáðàçèþ.Çàäà÷à. Åñëè êîìïîíåíòû ãàóññîâñêîãî âåêòîðà íåêîððåëèðîâàíû,òî îíè íåçàâèñèìû. Ýòî óòâåðæäåíèå íåâåðíî, åñëè ëèøü (îäíîìåðíûå)ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò ãàóññîâñêèå.Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà.Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè a(t), t ∈ T , èäåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ B(s, t), s ∈ T , t ∈ T ,óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì:1) B(s, t) = B(t, s)Ëåêöèÿ 2132)nXB(tk , tj ) ≥ 0k,j=1äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ λ1 , .

. . , λn è tk ∈ T , k = 1, n, n ≥ 1, ñóùåñòâóåò ãàóññîâñêèé ïðîöåññ X = {X(t), t ∈ T }, äëÿ êîòîðîãîa(t) = EX(t) è B(s, t) = cov(X(s), X(t)).Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Êîëìîãîðîâà. À èìåííî,ïîñòðîèì ñåìåéñòâî êîíå÷íîìåðíûõ (ãàóññîâñêèõ) ðàñïðåäåëåíèé è ïîêàæåìèõ ñèììåòðèþ è ñîãëàñîâàííîñòü.Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ t1 , . . .

, tn îïðåäåëèì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþñëåäóþùèì îáðàçîìnn XX1λk λj B(tk , tj ) ,ϕ(λ1 , . . . , λn ) = exp iλk a(tk ) −2k=1k,j=1Ýòî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ãàóññîâñêîãî âåêòîðà ñ ìàòåìàòè÷åñêèìîæèäàíèåì (a(t1 ), . . . , a(tn )) è ìàòðèöåé êîâàðèàöèé (B(tk , tj ))k,j=1,n .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî óñëîâèÿ ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàííîñòè (âòåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé) âûïîëíåíû, à çíà÷èò, òðåáóåìûéãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñóùåñòâóåò.Èòàê, ãàóññîâñêèé ïðîöåññ çàäàåòñÿ ñâîèìè ïåðâûìè è âòîðûìèìîìåíòàìè.Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà.• Ïóñòü a(t) = 0, B(s, t) = σ 2 δ(s, t), ãäå δ(s, t) = 1 åñëè s = t èδ(s, t) = 0 ïðè s 6= t.Î÷åâèäíî, ÷òî òàêàÿ ôóíêöèÿ B(s, t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì1) è 2) ïðåäûäóùåé òåîðåìû.