Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы, страница 5

Äóáîì.Îïðåäåëåíèå. Ïðîöåññ {Xt , t ∈ T } íàçûâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíûìîòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî êëàññà A îäíîìåðíûõ áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ,åñëè ñóùåñòâóåò S = {tj } â T è òàêîå ìíîæåñòâî Λ íóëåâîé ìåðû â Ω(P (Λ) = 0), ÷òî äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî èíòåðâàëà I è ëþáîãî A ∈ A{ω : Xt (ω) ∈ A, t ∈ IS} \ {ω : Xt (ω) ∈ A, t ∈ IT } ⊂ Λ.Ëåêöèÿ 427Òàê êàê ïåðâîå ìíîæåñòâî èçìåðèìî, ÿâëÿÿñü ïåðåñå÷åíèåì ñ÷åòíîãî÷èñëà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, òî è âòîðîå ìíîæåñòâî èçìåðèìî (è ìåðûîáîèõ ìíîæåñòâ ñîâïàäàþò).Îáû÷íî ãîâîðÿò, ÷òî ïðîöåññ ñåïàðàáåëåí, åñëè A ýòî êëàññçàìêíóòûõ ìíîæåñòâ.Îïðåäåëåíèå.

Ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ âïîëíå ñåïàðàáåëåíûì, åñëèâ êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñåïàðàáåëüíîñòè S ìîæíî âçÿòü ëþáîå ñ÷åòíîåâñþäó ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî T .Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ñåïàðàáåëüíîãî ïðîöåññàsup Xt (ω) = sup Xt (ω),t∈ITt∈ISinf Xt (ω) = inf Xt (ω).t∈ITt∈ISÇàäà÷à. Ïóñòü {Xt , t ∈ [0, 1]} ñåïàðàáåëüíûé ïðîöåñññ, óäîâëåòâîðÿþùèéóñëîâèþ òåîðåìû Êîëìîãîðîâà î ñóùåñòâîâàíèè íåïðåðûâíîé ìîäèôèêàöèè.ÒîãäàP {ω : X(t, ω) t ∈ [0, 1]} = 1,ò.å. ñåïàðàáåëüíûé ïðîöåññ íåïðåðûâåí ñàì, åñëè ó íåãî ñóùåñòâóåòíåïðåðûâíàÿ ìîäèôèêàöèÿ.Óñòàíîâèì åùå îäíî ñâîéñòâî òðàåêòîðèé ïðîöåññà.Òåîðåìà.

Ïóñòü {Xt , t ∈ T } ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, äëÿ êîòîðîãîP (Xs ≤ Xt ) = 1 ïðè ëþáûõ s ≤ t, s, t ∈ T , T ⊂ R1 . Òîãäà ñóùåñòâóåòýêâèâàëåíòíûé ïðîöåññ, ó êîòîðîãî ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè íåóáûâàþùèåôóíêöèè.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ñíà÷àäà ïîêàæåì, ÷òî â êàæäîé òî÷êå t ∈ Tïðåäåëüíîé äëÿ T ñïðàâà (ñëåâà) ñóùåñòâóåò ïðåäåë ïî âåðîÿòíîñòèp = lim Xs (ñîîòâåòñòâåííî p = lim Xs ).s↓ts↑t ñàìîì äåëå, âîçüìåìt1 > t2 > · · · > tn > . . .

, ti ∈ T, i ≤ 1, tn ↓ t ïðè n → ∞.Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Xtn (ω) äëÿ ï.â. ω íå âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíàñíèçó Xt (ω), òî îíà ñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷èì ýòîò ïðåäåë Xt+ (ω). Èç ñõîäèìîñòèPñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè (Xtn → Xt+ ), ïðèýòîì Xt+ ≥ Xtn (ï.í.).Äàëåå, äëÿ s äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê t ñïðàâà è ε > 0P (Xt+ ≤ Xs < Xt+ + ε) ≥ P (Xt+ ≤ Xs < Xt+ + ε),ãäå n ìîæíî âûáðàòü ñêîëü óãîäíî áîëüøèì. Ñëåäîâàòåëüíî,PXs (ω) → Xt+ (ω) ïðè s ↓ t.28Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññû2. Òåïåðü ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ïðîöåññ {Xt , t ∈ T } ñòîõàñòè÷åñêèíåïðåðûâåí, êðîìå, ìîæåò áûòü, ñ÷åòíîãî ÷èñëà òî÷åê t ∈ T , èíà÷åãîâîðÿ,P (Xt+ = Xt = Xt− ) = 1 çà èñêëþ÷åíèåì óïîìÿíóòûõ òî÷åê.Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èì ϕ(t) = E arctg Xt (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåñóùåñòâóåò, òàê êàê arctg îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ).

Íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿϕ(t) èìåò íå áîëåå ñ÷åòíîãî ÷èñëà òî÷åê ðàçðûâà.  òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè0 = ϕ(t+ ) − ϕ(t− ) = E[arctg Xt+ − arctg Xt− ].Åñëè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íåîòðèöàòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûðàâíî 0, òî îíà ðàâíà íóëþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Òàê êàê arctg ñòðîãîìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ, òî Xt+ = Xt− ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, à Xt ëåæèòìåæäó íèìè.3. Ïóñòü T0 ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî, âêëþ÷àåùåå âñåòî÷êè, ãäå Xt íå ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâíûì.

 ñèëó ñ÷åòíîñòèT0 èìååìÏîëîæèì Xt äëÿ t ∈ T0 . Äàëåå, åñëè tn ∈ T \ T0 è t ïðåäåëüíàÿñïðàâà òî÷êà äëÿ òî÷åê èç T0 , ò.å. tn ↓ t, tn ∈ T0 , ïîëîæèì(Yt , åñëè ïðåäåë ñóùåòâóåò0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àåÅñëè òî÷êà t ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ñïðàâà, òî îíà ïðåäåëüíàÿ ñëåâà(îíà íå ìîæåò áûòü èçîëèðîâàííîé òî÷êîé T , âñå òàêèå òî÷êè âõîäÿòâ T0 , èíà÷å ýòî ìíîæåñòâî íå áóäåò âñþäó ïëîòíûì). Äëÿ òàêèõ òî÷åêïîëàãàåì(Yt , tn ∈ T0 , tn ↑ t, åñëè ïðåäåë ñóùåòâóåò0,â ïðîòèâíîì ñëó÷àåT.Î÷åâèäíî, ÷òî ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè Yt = 0 íåóáûâàþùèå.4. Íàêîíåö, ïðîâåðèì ýêâèâàëåíòíîñòü ïðîöåññîâ Xt è Yt = 0, t ∈Äëÿ t ∈ T0 îíè ñîâïàäàþò ïî ïîñòðîåíèþ.Åñëè æå t ∈ T \ T0 , òî Xtn → Yt ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 (à çíà÷èò,PXtn → Yt n → ∞ tn ∈ T0 ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó ñòîõàñòè÷åñêîéPíåïðåðûâíîñòè Xt âíå T0 òàêæå Xtn → Xt . Òàêèì îáðàçîì,P (Xt =Yt ) = 1 â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïðåäåëà ïî âåðîÿòíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî,ïðîöåññû âñàìîì äåëå ýêâèâàëåíòíû.Åùå îäèí ïîäõîä ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ðàññìîòðåíèååãî êàê ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ.Ëåêöèÿ 429Îïðåäåëåíèå.

Ïðîöåññ {Xt , t ∈ T } íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì, åñëèìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà T èçìåðèìî ïî Ëåáåãó, è ôóíêöèÿXt (ω) èçìåðèìà ïî ïàðå ïåðåìåííûõ (t, ω), ò.å.{(t, ω) : Xt (ω) ∈ B} ∈ A × Fäëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B , çäåñü A σ -àëãåáðà Ëåáåãîâñêèõïîäìíîæåñòâ T .Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äàþùàÿ óñëîâèÿ èçìåðèìîñòè.Ïóñòü ìíîæåñòâî T ⊂ R1 èçìåðèìî ïî Ëåáåãó, àïðîöåññ X ={Xt , t ∈ T } ñåïàðàáåëåí è ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî T1Òåîðåìà.P (lim Xs (ω) = Xt (ω)) = 1 t ∈ T \ T1s→t(ò.å.

âíå T1 ïðîöåññ íåïðåðûâåí ñ âåðîÿòíîñòüþ 1). Òîãäà ïðîöåññ Xèçìåðèì.Ââåäåì äâà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññà Y (n) è Z (n) ,ìåæäó êîòîðûìè áóäåò çàêëþ÷åí ïðîöåññ X . ÏîëîæèìÄîêàçàòåëüñòâî.(n)Yt(ω) =supXs (ω),(k+1)kn ≤s<n(n)Zt (ω) =inf(k+1)kn ≤s<nXs (ω)äëÿ t ∈ [ nk , (k+1)n ], t ∈ T .(n)(n)Òàê êàê X ñåïàðàáåëåí, òî Yt (ω) è Zt (ω) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,ïðè÷åì(n)(n)Zt (ω) ≤ Xt (ω) ≤ Yt (ω).(n)(n)Ïîñêîëüêó Ytè Zt (êàê ôóíêöèè t) êóñî÷íî ïîñòîÿííû, òîïðîöåññû Y (n) è Z (n) èçìåðèìû ïðè ëþáîì n (ïî ïàðå ïåðåìåííûõ). Âñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû ïðè ëþáîì t ∈ T \ T1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1èìååì(n)(n)Yt → Xt è Zt → Xt ïðè n → ∞.Çíà÷èò, ïðîöåññ X èçìåðèì.

 ñàìîì äåëå, ïî òåîðåìå Ôóáèíè,åñëè ïî÷òè âñå (ïî ìåðå Ëåáåãà) ñå÷åíèÿ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà èìåþòíóëåâóþ ìåðó P , òî ýòî ìíîæåñòâî èìåþò íóëåâóþ ìåðó l × P (ãäå t (n)(n)ìåðó Ëåáåãà). Òàêèì îáðàçîì, Yt (ω) (è Zt (ω)) ïðè ïî÷òè âñåõ (t, ω)ñõîäÿòñÿ ê îáùåìó ïðåäåëó, êîòîðûé èçìåðèì êàê ïðåäåë èçìåðèìûõôóíêöèé.Ñëåäñòâèå.Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ èçìåðèì.Çàäà÷à. Åñëè ó ïðîöåññà òðàåêòîðèè íåïðåðûâíû ñïðàâà (èëèñëåâà), òî îí èçìåðèì.30Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÇàäà÷à. Ïóñòü ïðîöåññ Xt (ω) èçìåðèì, à τ (ω) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàñî çíà÷åíèÿìè â T , òîãäà Xτ (ω) (ω) òàêæå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.Óñëîâèÿ ïðåäûäóùåé òåîðåìû ìîæíî îñëàáèòü.

Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùèéðåçóëüòàò áåç äîêàçàòåëüñòâà, êîòîðîå ìîæíî ïðî÷èòàòü â êíèãå Äóáà"Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû".Òåîðåìà. Ïóñòü {Xt , t ∈ T } ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ èçìåðèìûìïî Ëåáåãó ìíîæåñòâîì T . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò (íà òîìæå ñàìîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P )) ñåïàðàáåëüíûé îòíîñèòåëüíîêëàññà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ èçìåðèìûé ïðîöåññ {Yt , t ∈ T } ýêâèâàëåíòíûéèñõîäíîìó.

(Âåëè÷èíû Yt ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ±∞).Èçìåðèìîñòü ïðîöåññà ïîçâîëÿåò îáîñíîâàòü ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëîâîò òðàåêòîðèé.Òåîðåìà. Ïóñòü {Xt , t ∈ T } èçìåðèìûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.Òîãäà ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ èçìåðèìûìè ïî Ëåáåãó ôóíêöèÿìèt.Åñëè ïðè t ∈ T ñóùåñòâóåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå EXt ,òî îíî îïðåäåëÿåò èçìåðèìóþ ïî Ëåáåãó ôóíêöèþ t.

Åñëè A ýòîRèçìåðèìîå ïî ëåáåãó ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà (A ⊂ T ) èE|Xt | dt < ∞, òî ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè ïðîöåññà èíòåãðèðóåìûAïî Ëåáåãó íà ìíîæåñòâå A.Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòà òåîðåìà íà ñàìîì äåëå ÿâëÿåòñÿ ïåðåôîðìóëèðîâêîéòåîðåìû Ôóáèíè. Ïîñêîëüêó Xt (ω) ýòî èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ îò (t, ω),òî (ïî òåîðåìå Ôóáèíè) äëÿ ïî÷òè âñåõ ω ñå÷åíèå X· (ω) îïðåäåëÿåòèçìåðèìóþ ôóíêöèþ îò t, ò.å. ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè èçìåðèìû ïîËåáåãó, à òàêæå, åñëè EXt ñóùåñòâóåò, òî ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ôóíêöèåéîò t.Âòîðîå ïðåäïîëîæåíèå òåîðåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òî êîíå÷åí ïîâòîðíûéèíòåãðàë îò |Xt (ω)|, âçÿòûé ñíà÷àëà ïî ω , Rà çàòåì ïî t ∈ A. Ïîâòîðíûéèíòåãðàë, âçÿòûé â îáðàòíîìïîðÿäêå E A |Xt (ω)| dt òàêæå êîíå÷åí.RÀ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî A |Xt (ω)| dt ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ïðè ïî÷òè âñåõω , èíà÷å ãîâîðÿ, ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè èíòåãðèðóåìû ïî Ëåáåãó íàìíîæåñòâå A.Òàê êàê âåëè÷èíà àáñîëþòíî ñõîäÿùåãîñÿ ïîâòîðíîãî èíòåãðàëà íåçàâèñèò îò ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ, òîZZE|Xt (ω)| dt =EXt (ω) dt.AAËåêöèÿ 531Òåïåðü ïðîäîëæèì ðàññìîòðåíèå îòäåëüíûõ êëàññîâ ñëó÷àéíûõïðîöåññîâ.

Íà÷íåì ñ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ.Ñóùåñòâóåò ìíîãî ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèé, ôîðìàëèçóþùèõíàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î òîì, ÷òî ó ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ïðè ôèêñèðîâàííîìíàñòîÿùåì ïðîøëîå è áóäóùåå íåçàâèñèìû.Ïóñòü {Xt , t ∈ T } ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, çàäàííûé íà íåêîòîðîìâåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P ). Îáîçíà÷èìF≤t = σ(Xs , s ≤ t),F≥t = σ(Xs , s ≥ t) èF=t = σ(Xs , s = t).Îïðåäåëåíèå.Ïðîöåññ X íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêèì, åñëèP (AB|F=t ) = P (A|F=t )P (B|F=t ),äëÿ ëþáûõ A ∈ F≥t , B ∈ F≤t è t ∈ T .Çàäà÷à. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé ýêâèâàëåíòíîîïðåäåëåíèþ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà:(1)P (A|F≤t ) = P (A|F=t ), ∀A ∈ F≥t , t ∈ T.(2)P (B|F≥t ) = P (B|F=t ), ∀B ∈ F≤t , t ∈ T.Ëåêöèÿ 5Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è åãîîñíîâíûå ñâîéñòâà.Ïóñòü (Ω, F, P ) íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, A σ àëãåáðà (A ⊂ F) è X ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ E|X| < ∞.Îïðåäåëåíèå.

Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E(X|A) ÿâëÿåòñÿA-èçìåðèìîé ôóíêöèåé ω , çàäàâàåìîé ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòèñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:ZZE(X|A) dP =X dP, ∀B ∈ A.BB(Ñóùåñòâîâàíèå ó.ì.î. âûòåêàåò èç òåîðåìû Ðàäîíà-Íèêîäèìà.)32Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÎïðåäåëåíèå. Ñóæåíèå E(X|A) íà êëàññ èíäèêàòîðîâ χA , A ∈F, íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ïðè çàäàííîé σ àëãåáðå A è îáîçíà÷àåòñÿ P (A|A).

Î÷åâèäíî, ÷òî P (A|A) ýòî Aèçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþZP (A|A) dP = P (AB), äëÿ ëþáîãî B ∈ A.BÑâîéñòâà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.(1) E(E(X|A)) = EX .(2) Åñëè X ÿâëÿåòñÿ A-èçìåðèìîé, òîE(X|A) = X ï.í.(3) Åñëè X = C ï.í., òî E(X|A) = C ï.í.,à åñëè X ≥ Y ï.í., òî E(X|A) ≥ E(Y |A) ï.í.(4) Ëèíåéíîñòü ó.ì.î.:E(c1 X1 + c2 X2 |A) = c1 E(X1 |A) + c2 E(X2 |A) ï.í.(5) Åñëè ñ.â. X èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî A, òîE(XY |A) = XE(Y |A) ï.í.(6) Ïóñòü σ -àëãåáðû Ai ⊂ F, i = 1, 2, è A1 ⊂ A2 , òîãäàE(E(X|A2 )|A1 ) = E(X|A1 ) = E(E(X|A1 )|A2 ) ï.í.Åñëè z : Ω → X íåêîòîðîå îòáðàæåíèå èç Ω â X, òî ïî îïðåäåëåíèþE(X|z) = E(X|Fz ),ãäå Fz = {z (B), B ∈ Fz0 }, à Fz0 = {B ⊂ X, z −1 (B) ∈ F}.(7) Åñëè ñ.â. X íå çàâèñèò îò σ -àëãåáðû A, òî−1E(X|A) = EX.(8) Åñëè z ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî áåðåòñÿFz = {z −1 (B), B ∈ B1 } (B1 σ -àëãåáðà),ïðè ýòîì E(X|z) = g(z), ãäå g(·) áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ.(9) Ñïðàâåäëèâû òàêæå òåîðåìû î ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè è àíàëîãèòåîðåì î ñõîäèìîñòè Ôàòó-Ëåáåãà:a) Åñëè 0 ≤ Xn ↑ X ï.í., òî 0 ≤ E(Xn |A) ↑ E(X|A) ï.í.