Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы, страница 8
Описание файла
PDF-файл из архива "Е.В. Булинская - Введение в случайные процессы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория случайных процессов" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
Çíà÷èò, îí ïðåäñòàâèìâ âèäå èíòåãðàëà îò f ïî íåêîòîðîé îáîáùåííîé ìåðå, êîòîðóþ îáîçíà÷èìP (s, x, t, ·), ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü çàâèñèìîñòü îò çàôèêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðîâ.Òåïåðü íàäî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ýòîé ôóíêöèè P (s, x, t, A) óñëîâèÿ1◦ 4◦ âûïîëíåíû. ñèëó 3) ýòî îáû÷íàÿ ìåðà, à â ñèëó 4) âåðîÿòíîñòíàÿ, ò.å. 1◦ñïðàâåäëèâî.Óñëîâèå 5) ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî P (s, x, s, A) = δx (A), ò.å. 3◦òàêæå óñòàíîâëåíî.Îñòàëîñü ïðîâåðèòü èçìåðèìîñòü (2◦ ) è óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà×åïìåíà (4◦ ).Äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà A èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîZP (s, x, t, A) =P (s, x, t, dy)χA (y).XÏîñêîëüêó ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ χA ðàçðûâíà, ìû íå ìîæåìóòâåðæäàòü, ÷òî èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ôóíêöèåé x.Ïóñòü ñíà÷àëà A çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.
Ïîëîæèìf (x) = e−ρ(x,A) ,ãäå ρ(x, A) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî ìíîæåñòâà A. Ôóíêöèÿ f (x)íåïðåðûâíà, f (x) = 1 äëÿ x ∈ A, à äëÿ x ∈/ A çàêëþ÷åíà ñòðîãî ìåæäó0 è 1. Ïðè ëþáîì n ≥ 1 ôóíêöèÿ f n (x) òàêæå íåïðåðûâíà, ïîýòîìó èZ(P st f n )(x) =P (s, x, t, dy)f n (y) íåïðåðûâíàÿ,Xà çíà÷èò, èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî f n (x) → χA (x) ïðè n →∞, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòèZP (s, x, t, A) =P (s, x, t, de)χA (y) =Z XZn=P (s, x, t, dy) lim f (y) = limP (s, x, t, dy)f n (y).Xn→∞n→∞XÏðåäåë èçìåðìûõ ôóíêöèé èçìåðèì, ò.å.
äëÿ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ Añïðàâåäëèâîñòü 2◦ äîêàçàíà.Èçìåðèìîñòü ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ñëîæåíèè íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ,âû÷èòàíèè èç ìíîæåñòâà åãî ÷àñòè è ïðè ìîíîòîííîì ïðåäåëüíîìïåðåõîäå. Çíà÷èò, îíà èìååò ìåñòî è äëÿ íàèìåíüøåé ñèñòåìû ìíîæåñòâ,çàìêíóòîé îòíîñèòåëüíî óêàçàííûõ îïåðàöèé è ñîäåðæàùåé âñå çàìêíóòûåìíîæåñòâà. Òàê êàê ïåðåñå÷åíèå çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ çàìêíóòî, òî ýòàñèñòåìà ñîâïàäàåò ñ íàèìåíüøåé σ -àëãåáðîé, ñîäåðæàùåé çàìêíóòûåËåêöèÿ 645ìíîæåñòâà, ò.å.
ñ áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðîé. (Äîêàçàòü ýòè óòâåðæäåíèÿâ êà÷åñòâå çàäà÷è).Òåïåðü ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà.Ïóñòü, êàê è ðàíåå, f (x) = e−ρ(x,A) , ãäå A çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. ñèëó óñëîâèÿ 6) P st = P su P ut èìååìZP (s, x, t, dy)f n (y) = P st f n (x) = P su P ut f n (x) =XZZ=P (s, x, u, dz)P (u, z, t, dy)f n (y).XXÏåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷èìZP (s, x, t, A) =P (s, x, u, dz)P (u, z, t, A)Xäëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà A.Îáå ÷àñòè óêàçàííîãî ðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ ìåðàìè. Ïîñêîëüêó âìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ìåðà ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà ìîæåòáûòü âîñòàíîâëåíà ïî åå çíà÷åíèÿì íà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâàõ, òî ðàâåíñòâîñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáûõ áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ.Çàäà÷à. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà A âìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò òàêèå ìíîæåñòâàF (çàìêíóòîå) è G (îòêðûòîå), ÷òîF ⊂ A ⊂ G è P (G \ F ) < ε.Íîâûé êëàññ ïðîöåññîâ, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû, ýòî äèôôóçèîííûåïðîöåññû.Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ Xt ñî çíà÷åíèÿìè â ôàçîâîìïðîñòðàíñòâå (R , A ) è ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé P (s, x, t, A) íàçûâàåòñÿäèôôóçèîííûì, åñëè1) äëÿ ëþáûõ x ∈ R1 è ε > 0 ðàâíîìåðíî ïî s < tZP (s, x, t, dy) = o(t − s).Îïðåäåëåíèå.11|x−y|>ε2) ñóùåñòâóþò òàêèå ôóíêöèè a(s, x), b2 (s, x), ÷òî äëÿ ëþáûõ x ∈R è ε > 0 ðàâíîìåðíî ïî s < tZP (s, x, t, dy)(y − x) = a(s, x)(t − s) + o(t − s),1|x−y|≤εZ|x−y|≤εP (s, x, t, dy)(y − x)2 = b2 (s, x)(t − s) + o(t − s).46Ââåäåíèå â ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÔóíêöèÿ a(s, x) íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ñíîñà, à b2 (s, x) êîýôôèöèåíòîìäèôôóçèè.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî a ýòî óðåçàííîå óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå, à b2 óðåçàííàÿ óñëîâíàÿ äèñïåðñèÿ.Çàäà÷à. Ïîêàçàòü, ÷òî äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü âûïîëíåíèå 1) ïðèëþáîì ε > 0, à 2) ëèøü ïðè íåêîòîðîì ε0 > 0, òîãäà ïðîöåññ äèôôóçèîííûé.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ êîýôôèöèåíòûa è b ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ ïðîöåññà P (s, x, t, A).×òîáû ýòî ïîíÿòü, âûâåäåì îáðàòíîå óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà.Òåîðåìà. Ïóñòü íåïðåðûâíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ f (x) òàêîâà,÷òî g(s, x) = P st f (x) èìååò íåïðåðûâíûå îãðàíè÷åííûå ïðîèçâîäíûåïî x 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêà, à ôóíêöèè a(s, x) è b2 (s, x) íåïðåðûâíû.
Òîãäàñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè g(s, x) ïî s è ïðè s ∈ (0, t), x ∈ R1ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ∂g∂g1∂2g−= a(s, x)+ b2 (s, x) 2 è∂s∂x 2∂xlim g(s, x) = f (x).s↑t.
