Шпоры на билеты (немного другая подборка)

1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямойТочка x0 называется предельной для множества Е, если любая ее окрестностьсодержит по меньшей мере одну точку x из E, отличную от x0. Если xo∈E, но не являетсяпредельной точкой, то она называется изолированной точкой E. Множество E' всехпредельных точек Е называется производным множеством для Е.

Если любая предельнаяточка Е принадлежит этому множеству (E'⊆E), то множество Е называется замкнутым.Если E=E', то множество Е называется совершенным. Множество [E]=E+E' называетсязамыканием E. Точка x0 называется внутренней точкой множества Е, если существуетокрестность x0, полностью лежащая в E. Множество Е называется открытым, если все еготочки внутренние.Теорема. Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собойсумму конечного или счетного числа попарное непересекающихся интервалов (при этомрассматриваются также "бесконечные" интервалы).Доказательство. Пусть x – произвольная точка множества E.

Так как E – открыто, тосуществует окрестность V (x) этой точки, принадлежащая множеству E. Объединение всехсодержащихся в E окрестностей V (x) точки x обозначим I (x) . Докажем, что I (x) –интервал. Пусть a = inf I ( x) , b = sup I ( x) (Может быть a= − ∞ , b=+ ∞ , если I ( x) неограничено. Достаточно доказать, что любая точка y ∈ (a, b) принадлежит множеству I ( x) .Пусть (ради определённости) a<y<x. По определению точной нижней грани существуетточка y '∈ I ( x) и такая что a< y ' < y . Следовательно, существует окрестность V ( x) точки x,содержащая точку y ' , но y ' < y <x и, значит, y ∈ V ( x) , или y ∈ I ( x) .

Таким образом мыдокажем, что I ( x) – интервал. Далее, интервалы I ( x1 ) и I ( x2 ) при x1 ≠ x2 либо совпадают,либо не пересекаются. Ибо, если они содержат общую точку x, то оба они содержатся вмножестве I ( x) , а, значит, совпадают. Построив для каждой точки x ∈ Ε свой интервал I ( x) ,отберём интервалы, не содержащие общих точек (т.е. попарно не пересекающиеся). Каждыйтакой интервал содержит, очевидно, хотя бы одну рациональную точку. Так как множестворациональных чисел счётно, то число всех попарно непересекающихся интервалов не более,чем счётно. Теорема доказана.Следствие. Всякое замкнутое множество получается из прямой выбрасываниемконечного или счетного числа интервалов.Следствие 2. Любое совершенное множество на прямой получается удалением из Rконечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов, которые не имеютобщих концов друг с другом.Канторово множество.Из единичного отрезка C0 = [0,1] удалим среднюю треть, т.

е. интервал . Оставшеесяточечное множество обозначим через C1. Множество состоит из двух отрезков; удалимтеперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C2.Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C3.Обозначим через C пересечение всех Ci. Множество C называется Канторовым множеством.Каждой точке множества можно поставить в соответствие последовательность a1, a2, . . .

,an, . . . , где ai = {0; 2}. Совокупность таких последовательностей образует множествомощности континуума => множество имеет мощность континуума. Кроме того, онозамкнуто и является совершенным (по следствию 2).2. Внешняя мера и ее свойства. Измеримость открытого множества,объединения счетного числа измеримых множеств, измеримостьзамкнутого множества. Измеримость дополнения, пересечения счетногочисла множествОпределение. Внешней мерой µ*(A) множества А называется нижняя грань мерыэлементарных множеств, включающих множество А.Свойства внешней меры.1.

(E1 ⊆ E2 )⇒ µ*(E1) ≤ µ*(E2) (монотонность)2. (E = ∪Ek, k∈N) ⇒ (µ*(E) ≤ Σµ*(Ek))3. (ρ(E1,E2)>0) ⇒ (µ*(E1∪E2) = µ*(E1)+µ*(E2))4. Для любого множества E и любого числа ε > 0 существует открытое множество G,содержащее E, и такое, что | G |* ≤| Ε |* +ε .Определение 1. Покрытием s = s (Ε ) множества Ε называется любая конечная или счётнаясистема интерваловсоставляющих{∆ n }∞такая, что Ε ⊂ U ∆ n . Сумму длин всех интервалов ∆ n ,n =1∞s = s (Ε ) , обозначим σ (s ) = ∑ ∆ n ≤ ∞ . Внешней мерой множества En =1называетсяσ (s ) и обозначаетсяinf( )s ΕE = inf σ (s ) .*s (Ε )Определение.

Множество А называется измеримым по Лебегу, если для любого ε > 0найдется такое элементарное открытое множество B, что µ*(A \ B) < ε. Функция µ*,рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебеговой мерой µ.Теорема. Любое открытое множество измеримо, причем его мера равна сумме мернепересекающихся составляющих его интервалов.Доказательство. Надо в определении 2 положить G = Ε .Теорема. Любое замкнутое множество измеримо.Доказательство. Пусть F – замкнуто и ограничено. В силу свойства IV внешней меры**для любого ε >0 найдётся открытое множество G такое, что F ⊂ G и G ≤ F + ε .Множество G\F – открыто, поэтому по теореме 1 из §1 имеет место представление G\F∞= U ∆ n , причём все интервалы ∆ n = (a n , bn ) попарно не пересекающиеся. Мы докажемn =1∞оценку G \ F = ∑ ∆ n ≤ ε*n =1Для любого интервала ∆ = (a, b) и любого числа α из промежутка 0< α <αобозначим ∆α = (a + α , b − α ) , ∆ = [a + α , b − α ] , а если α ≥αnααb−a, то положим ∆α = ∆ = ∅ .2Для фиксированого номера n обозначим Ε n = U ∆ k ; ясно, чтоk =1b−a2∑αn*n= ∑ ∆αk .

Множествоk =1αΕ n - замкнуто и так, как оно не пересекается с замкнутым множеством F, то расстояниемежду ними положительно и согласно свойству III внешней меры имеет место равенство****Εαn U F ≤ G ≤ F + ε . Множество F ограничено, поэтому мы получаем оценку Εαn ≤ ε .Переходя к пределу сначала при α → 0 , а затем при n → ∞ , будем иметь неравенство∞∑∆n≤ ε , которое позволяет завершить доказательство измеримости ограниченностиn =1множество F.ЕслиF–неограниченно,товоспользуемся∞представлениемгдеF = U Fn ,n =1Fn = F ∩ [− n, n] - замкнутые и ограниченные множества. По доказанному выше все Fn –измеримы, а, значит, по теореме 2 и само множество F – измеримо.Теорема 4.

Если множество Ε – измеримо, то и его дополнение C Ε также измеримо.Доказательство. Так как Ε – измеримо, то для любого номера n существует открытое1*множество G такое, что Ε ⊂ Gn и Gn \ Ε < . Обозначим Fn=CGn – замкнутое множество, а,nзначит, по теореме 3 и измеримое. В силу CA\CB=B\A для любых множеств A и B имеем∞соотношение C Ε \Fn=C Ε \CGn=Gn\ Ε , откуда следует включение C Ε \ U Fn ⊂ Gn \ Ε . Согласноn =1∞**свойству I внешней меры справедливо неравенство CΕ \ U Fn ≤ Gn \ Ε <n =11для любогоn∞номера n. Таким образом внешняя мера множества Ε 0 = CΕ \ U Ε n равна нулю, или Ε 0 =0.

Аn =1так как∞∞U Fn ⊂ CΕ , то дополнения C Ε к множеству Ε является множеств Ε 0 иUFn =1n =1n, тоесть объединение измеримых множеств. По теореме 2 и само множество C Ε – измеримо.Следствие. Для того, чтобы множество Ε было измеримым необходимо идостаточно, чтобы для любого ε >0 существовало замкнутое множество F такое, что*F ⊂Ε и Ε\F <ε .Теорема 2. Объединение конечного или счетного числа измеримых множествявляется измеримым множеством.∞Доказательство. Пусть Ε = U Ε n и все En – измеримы. Тогда для любого En и любогоn =1ε > 0 найдется открытое множество Gn такое, что Ε n ⊂ Gn и | Gn \ Ε n |<∞G = U Gn и заметим вложение Ε ⊂ Gε2n.Положим∞G \ Ε ⊂ U (Gn \ Ε n ) (если x ∈ G \ Ε , то x ∉ Ε n для всехn =1n =1номеров n, x ∈ G , следовательно, x ∈ Gk для некоторого номера k и, значит, x ∈ Gk \ Ε k ).

Всилу свойства 2) внешней меры∞∞n =1n =1| G \ Ε |* ≤ ∑ | Gn \ Ε n |* < ε ∑ 2 −n = ε .Теорема 5. Пересечение конечного или счётного числа измеримых множеств являетсяизмеримым множеством.Доказательство.Пусть∞E = I En .Всилусоотношениядвойственностиn =1∞E = C U CE n  утверждение этой теоремы следует из теорем 2 и 4. n =1Теорема 6. Разность двух измеримых множеств является измеримым множеством.Доказательство. Следует заметить E \ B = A I CB и использовать теоремы 4 и53.Свойство счетной аддитивности меры. Множества типа G F.Теорема 7.

( σ - аддитивность меры). Мера суммы конечного или счётного числа попарнонепересекающихся измеримых множеств равна сумме мер этих множеств.∞Доказательство. Пусть Ε = Un =1 Ε n (Εi I Ε j = ∅, i ≠ j ) . Рассмотри сначала случай,когда все множества Ε n - ограничены. В силу следствия из теоремы 4 для любого номера nи любого числа ε > 0 найдётся замкнутое множество Fn такое, что Fn ⊂ Ε n и Ε n \ Fn <ε2n(поскольку все множества измеримы пишем только меру). Так как все множества Fn замкнуты, ограничены и попарно не пересекаются, то по свойству ΙΙΙ внешней меры имеетместо равенствоUmF = ∑ Fn для любого номера m . Из равенства Ε n = (Ε n \ F ) U Fn иn =1 nmn =1свойства ΙΙ внешней меры имеем соотношениеприводитm∑Εmnn =1к≤ ∑ Un =1 Fn +εmn =12nmmn =1n =1∑ Εn ≤ ∑ Fn +оценкеε2n,Ε n ≤ Ε n \ Fn + Fn < Fn +изкоторойε2nследует, котороенеравенство.

Но объединение всех множеств Fn содержится в множестве Ε ипоэтому при любом m имеет место соотношениеUmn =1Fn ≤ Ε , приводящее к неравенствуm∑Εn≤ Ε +ε .n =1Переходя к пределу сначала при m → ∞ , а затем при ε → ∞ , получим∞∑| Εn|≤| Ε | . Сn =1∞другой стороны, в силу свойства 2 внешней меры | Ε |≤ ∑ | Ε n | и теорема в этом случаеn =1доказана.Если Eи – не ограничены, то введем обозначение Ε kn = Ε n ∩ (k , k + 1] и запишем∞равенство Ε = U+∞UΕn =1 k = −∞∞∞kn.

Множества Ε kn не пересекаются. По доказанному выше∞∑| Εkn|=| Ε n |k = −∞∞и, значит, | Ε |= ∑ ∑ | Ε kn |= ∑ | Ε n | , что и требовалось доказать.n =1 k = −∞n =1Определение 3. Если множество E представимо в виде пересечения счетного числаоткрытых множеств, то оно называется множеством типа Gδ, а если E представимо в видеобъединения счетного числа замкнутых множеств, то оно называется множеством типа Fδ.Согласно утверждениям теорем 1-5 множества типа Gδ и Fδ - измеримы.Теорема 8. Если множество E – измеримо, то существуют множества E1 – типа Fδ и E2 –типа Gδ и такие, что Ε1 ⊂ Ε ⊂ Ε 2 , причем |E1|=|E|=|E2|.Приведём пример неизмеримого множества.