Шпоры на билеты (немного другая подборка), страница 6

По теореме1 существует точка a 0 ∈ M , принадлежащая всем шарам. С другой стороны, этаточка a0 не принадлежит ни одному из множеств M n , поэтому a 0 ∉ M . Мы получилипротиворечие, которое и доказывает теорему.Если рассмотреть числовую прямую R 1 с обычной евклидовой нормой какметрическое пространство, то множество рациональных точек на R 1 представляетсобой множество 1-ой категории, а множество иррациональных точек являетсямножеством 2-ой категории.18. Линейные нормарованные пространства. Теорема Рисса.Определение 5.Пусть X - линейное пространство над полемвещественных или комплексных чисел. X называется линейным нормированнымпространством, если каждому его элементу x поставлено в соответствиевещественное число x , называемое нормой этого элемента, причем выполненыследующие аксиомы:1) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0 ,2) λx = λ x , λ - число из поля,3) x + y ≤ x + y .Сходимостьпоследовательности{x n }излинейногонормированногопространства отождествляется со сходимостью в метрике ρ ( x, y ) = x − y , причемполное линейное нормированное пространство называется банаховым.Примеры:1) R n - n мерное евклидово пространство, банохово пространство с нормой1/ 2 nx =  ∑ xi2  , где x = (x1 ,..., x n ) ; i=1 2) C[0,1] - пространство непрерывных на [0,1] функций с нормой x = max x(t ) ,t ∈[ 0 ,1]отвечающий равномерной сходимости, поэтому С[0,1] также банохово пространство.Определение 6.

Линейное многообразие L линейного нормированного пространстваX называется подпространством, если множество L замкнуто относительно сходимостипо норме.Отметим, что из x n − x → 0 при n → ∞ следует x n → x , так как x − y ≤ x − y вчастности, если последовательность { x n }- ограниченная числовая последовательность.Теорема 4 (теорема Рисса). Пусть L - подпространство линейного пространства X,L ≠ X . Тогда для любого ε ∈ (0,1) существует элемент y ∈ X \ L , y = 1 и такой, что||x-y||>1-e для x ∈ L .Доказательство.

Фиксируем произвольный элемент y 0 ∈ X \ L и обозначимd = inf y0 − x . Тогда d > 0, ибо если d = 0, тоx∈Ly 0 = lim X n и y 0 ∈ L (в силу замкнутости L),X n ∈Lчто невозможно. Для любого ε > 0 существует x 0 ∈ L такой, чтоПоложим y =Далее,доказана.d ≤ y 0 − x 0 < d + dε .y0 - x 0; y 0 ∉ L , так как в противном случае y 0 ∈ L , что невозможно, y = 1 .y0 - x 0y−x =y0 − ( x0 + x y0 − x0 )y0 − x0dε−x =≥= 1−> 1− ε .y0 − x0y0 − x0d + dε1+ εТеорема19. Линейные операторы и их свойства.

Теорема о полноте пространствалинейных ограниченных операторов.Пусть X и Y – линейные нормированные пространства над полемдействительных или полем комплексных чисел.Определение 1. Отображение A:X → Y (y = Ax), то есть оператор А,определяемый на X с областью значений в Y, называется линейным оператором,если для любых элементов x1 , x 2 ∈ X и любого числа λ справедливы равенства:а) A( x1 + x 2 ) = A x1 + A x 2 ,б) А(λ x1 )= λА x1Определение 2. Оператор A:X → Y непрерывен в точке x 0 ∈ X если длялюбойпоследовательности {x n },сходящейсякx0соответствующаяпоследовательность образов {Ax n } сходится к элементу А x 0 , то есть длялюбого ε > 0 существует δ > 0 и такое, что как только выполняется неравенствоx n − x 0 X < δ будет выполняться неравенство Ax n − Ax0 Y < εТеорема 1. Линейный оператор А непрерывен на всем пространстве Хтогда и только тогда, когда А – непрерывен в одной точке x 0 ∈ X.Доказательство.

Действительно, пусть x ∈ X – любая точка и x n → x . Тогдаx n − x − x 0 → x и в виду непрерывности А в точке x 0 : А x 0 = lim A(x n − x − x 0 ) =n →∞lim Ax n − Ax − Ax0 , то есть lim Ax n = Ax .n →∞n →∞Примеры:1) А=0 или А=I (тождественный оператор) линейные непрерывные операторы.2) X=C[0,1], x(t ) C = max x(t ) ,t ∈[ 0 ,1]Определение 3.

Оператор А называется ограниченным, если существуетпостоянная М такая, что оценка Ax ≤ M x выполняется для всех x ∈ X.Ограниченный оператор переводит ограниченное множество пространства X вограниченное множество пространства Y.Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывеннеобходимо и достаточно, чтобы А был ограничен.Необходимость. Пусть А – непрерывен, предположим А – неограничен. Тогдасуществует последовательность {x n }, для членов которой выполняется неравенство111Ax n ≥ n x n . Положим ξ n =, ξ n → 0 ,так как ξ n = . Но Aξ n =Axn ≥ 1 , тоn xnnn xnесть Aξ n не стремиться к A0 = 0. Следовательно, оператор А не являетсянепрерывным.Достаточность. Пусть А – ограничен, то есть Ax n ≤ M x n .

Если x n → x , илиx n − x → 0 при n → ∞ , то из неравенства Ax n − Ax ≤ M x n − x следует Ax n → Ax ,значит А – непрерывен.Определение 4. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условиюAx ≤ M x для линейного ограниченного оператора А называется нормойоператора А и обозначается A . Другими словами A = Supx ≠0Ax.xТеорема 3. Если Х – линейное нормированное пространство, а Y – банаховопространство(полноелинейноенормированноепространство),топространство L( X → Y ) также будет полным, то есть банаховым.Доказательство.Пустьпоследовательностьоператоров{A n }фундаментальна в L(X → Y), A n x − A m x ≤ A n − A m x → 0 , n, m → ∞ , следовательно,A n x − A m x → 0 , n, m → ∞ ,а, значит последовательностьесть ограниченная:An ≤ M{ A } фундаментальная, тодля всех номеров n.nОтсюдаAn x ≤ M xиAx = lim A n x ≤ M x , что и означает ограниченность оператора А.

Докажем формулуn →∞A = lim A n в смысле A − A n → 0, n → ∞ . Действительно, для любого ε > 0 существуетn →∞N = N(ε ) такой, что при всех n ≥ N и любом натуральном p для всех х ∈ Х, x ≤ 1 ,выполняется неравенство A n + p x − A n x < ε , переходя пределе при p → ∞ , получимAx − A n x ≤ εдлялюбогоn≥ NилюбогоA n − A = Sup (A n − A )x ≤ ε , то есть A = lim A nx ≤1n →∞х ∈ Х,x ≤1.Нотогдав смысле сходимости по нормепространства L(X → Y). Теорема доказана.Следствие.

Пространство X ∗ , сопряженное к линейному нормированномупространству X - банахово, так как R1 - банахово пространство20. Теорема Банаха-Штейнгауза и следствие из нее Пример из теории рядовФурье на применение теоремы Б-Ш.Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза – принцип равномернойограниченности). Пусть Х и Y – банаховы пространства.

Если An ∈ L( X → Y ) ипоследовательность An x ограничена для любого x, то найдется постоянная С{ A } ограничена.{A }последовательностьтакая, что An ≤ C , то есть числовая последовательностьДоказательство.Предположим,неограниченна, тогда множество{A x }nчтоnnнеограниченно на любом замкнутом шареB(x 0 , ε ) , x 0 ∈ X , ε > 0 .

В самом деле, если бы неравенство A n x ≤ C выполнялось длявсех номеров n и всех x ∈ B(x 0 , ε ) , то, взяв, любой элемент ξ ∈ X, ξ ≠ 0 , мы получимεэлементx = ξ + x 0 ∈ B(x 0 , ε ) .ДляэтогоэлементаAn x ≤ C ,илиξεεAnξ − An x0 ≤Anξ + An x 0 = An x ≤ C ,ξξследовательно,C + An x 02C2Cξ ≤ξ и An ≤, что противоречит предложению.εεεЕсли теперь B(x 0 , ε ) - любой замкнутый шар, то на нем множествоAnξ ≤{A x }nнеограниченно. Тогда существуют номер n1 и элемент x1 ∈ B0 такие, что A n1 x1 > 1 .

Всилу непрерывности оператораA n1неравенствонекотором шаре B1 (x1 , ε1 ) ⊂ B0 . На B1 множествоA n1 x > 1 выполняется и в{A x }nтакже неограниченно исуществуют номер n2 и элемент x2 ∈ B1 такие, что A n 2 x 2 > 2 и по непрерывностиоператораA n 2 этонеравенствовыполненовнекоторомзамкнутомшареB2 (x 2 , ε 2 ) ⊂ B1 и так далее. Можно считать, что n1 < n 2 < n 3 ... и ε n → 0 .

Тогда потеореме о вложенных шарах из §6 существует единственная точка x ∈ Bn (x n , ε n ) длявсех номеров n . В этой точкеA n k x > k , что противоречит условию теоремы.Теорема доказана.Следствие. Пусть Х и Y – банаховы пространства,существует последовательность{xn }An ∈ L( X → Y ) ,такая, что xn ≤ 1 и lim A n x n = ∞ . Тогдаn →∞существует x0 ∈ X , x 0 ≤ 1 и lim A n x 0 = ∞ .n →∞Приведем пример применения теоремы 4 в теории рядов Фурье. Мы докажемсуществование непрерывной периодической функции, для которой ряд Фурьерасходиться.∞aПустьf (x ) ∈ C[− π, π ] ,f (− π ) = f (π ) ,f (x ) ~ 0 + ∑ (a k cos(kx) + b ksin (kx )) ,2 k =1ππ11f(t)cos(kt)dt , b k = ∫ f(t)sin(kt)dt .∫π −ππ −πПреобразуемчастичнуюсуммурядаππnna11Sn (f, x) = 0 + ∑ (a k cos(kx) + b k sin (kx )) =f(t)dt + ∑ ∫ f(t)cosk(t − x)dt =∫2 k =12π − πk =1 π − πak =Фурье1sin  n + (t − x )12= ∫ f(t) dt .t−xπ −π2sin211Положим х=0 и g(t) =− ; g(t) непрерывная на [− π , π ] функция, если ееt t2tg2доопределить нулем в точке.1ttsin  n +  t sin(nt)cos  + cos(nt)sin 22 2  = sin(nt) + cos(nt) ==ttt22sin2sin2tg222sin(nt)cos(nt)=+ g(t)sin(nt) +t2π1sin(nt)Таким образом, Sn (f,0) = ∫ f(t)dt + O(1) , O(1) → 0 при n → ∞ .

Рассмотримπ −πtππsin(nt)1оператор A n f = ∫ f(t)dt - линейный оператор из пространства f(x) ∈ C[− π, π ] ,π −πtf(− π) = f(π( в пространстве R1 , ставящий с точностью до O(1) в соответствие f ( x) еечастичную сумму ряда Фурье в точке x = 0 . Пусть f n (t ) = sgn t ⋅ sin(nt ) ,πππnπnπnf n (t ) C = 1 ,πn1 sin 2 (nt)2 sin 2 (nt)1 sin 2 y1 sin 2 y1 dt 1 cos2yAnfn = ∫dt = ∫dt = ∫dy > ∫dy = ∫ − ∫dy =π −π tπ0tπ0 yπ1 yπ1 t π1 y=1ln(πn( + O(1) так как интегралπ+∞cos 2 ydy сходится по признаку Дирихлеy1∫Абеля. Итак, An f n → ∞ при n → ∞ и согласно следствию к теореме 4 существуетf 0 (x) ∈ C[− π, π ] , f 0 (− π) = f 0 (ππ для которой ряд Фурье расходится в точке t = 0 .21.

Обратный оператор. Достаточные условия существования обратногооператора.Пусть оператор А действует из множества Х на множество Y, R(A) ⊂ Y область значений оператора А. Если для любого элемента y ∈ R(A) уравнение Ax = yимеет единственное решение, то говорят, что оператор А имеет обратный операторА −1 , то есть х = А −1 y. Очевидно, что х = А −1 Ах и y = АА −1 y, или операторы I х = А −1 А,I y = АА −1 - тождественные операторы в Х и Y.