Шпоры на билеты (немного другая подборка), страница 11

Теорема доказана.Следствие. Спектр σ(A ) - замкнут.Теорема 2. Пусть X - банахово бесконечномерное пространство и A – вполненепрерывный оператор в нем. Тогда 0 ∈ σ(A ) , то есть λ = 0 не является регулярнымзначением.Если бы 0 ∈ ρ(A ) , то оператор A имел бы ограниченный обратный оператор и операторAA -1 = I являлся вполне непрерывным, что невозможно.Теорема 3 (теорема Гильберта-Шмидта).

Пусть A = A * - вполне непрерывныйоператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда любой элемент x ∈ ImAпредставим в виде ряда Фурьеx=∑ (x, ek)e kλk ≠0по собственным элементам e k оператора A, образующим ортонормированнуюсистему.Замечание. Для всякого самосопряженного вполне непрерывного оператора A всепарабельном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базиспространства H, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Для этогодостаточно систему из теоремы 3 дополнить произвольным ортонормированным базисомиз KerA .44. Три теоремы ФредгольмаТеорема I. Неоднородное уравнение Lx = f разрешимо ⇔ правая часть f ортогональналюбому решению неоднородного уравнения Lx = 0, т.е. f ⊥ Ker(L).Теорема II (альтернавтива Фредгольма). Либо неоднородное уравнение имеетединственное решение при любой правой части, либо однородное уравнение имеетненулевое решение.Теорема III.

Однородное уравнение Lx = 0 и сопряженное однородное уравнение L*y= 0 имеют одинаковое и конечное число линейно независимых решений..