Лекция 2 - Математическое описание САУ (PDF-лекции)

Лекция 2. Математическое описание систем управленияВ теории управления при анализе и синтезе систем управления имеют дело с ихматематической моделью. Математическая модель САУ представляет собой уравнения,передаточные или временные функции, которые описывают процессы, протекающие всистеме управления.

Математическая модель может быть получена аналитически на основе физических законов, которым подчиняются процессы в системе управления, или экспериментально.При математическом описании исходят из противоречивых требований. С однойстороны, математическая модель должна как можно полнее отражать свойства оригинала(исходной системы), а с другой стороны – быть по возможности простой, чтобы не усложнять исследование.

Часто полезно на начальном этапе исследования принимать болеепростую модель, а затем при необходимости усложнять ее, принимая во внимание дополнительные факторы, которые на начальном этапе не учитывались.2.1. Уравнения динамики и статикиСистема управления и любой ее элемент производят преобразование входного сигнала x(t ) в выходной сигнал y (t ) .

С математической точки зрения они осуществляютотображениеy (t ) = Ax(t ) ,согласно которому каждому элементу x(t ) из множества входных сигналов ставится в соответствие некоторый вполне определенный элемент y (t ) из множества выходных сигналов. В приведенном соотношении A называется оператором. Оператор, определяющийотображение между входным и выходным сигналами системы управления (элемента), называется оператором этой системы (элемента).Задать оператор системы – это значит задать правило определения выходного сигнала этой системы по ее входному сигналу. Мы будем рассматривать системы, операторыкоторых могут быть заданы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений.Математическая модель системы управления может быть представлена в виде соединения звеньев.

Звено – это математическая модель системы или любой ее части, определяемой некоторым оператором. В частном случае звено может быть математическоймоделью элемента.Для примера рассмотрим звено, которое задается уравнением(2.1)F ( y, y& , &y&, u , u& , v) = 0 ,где у – выходная переменная; u и v – входные переменные; точки над переменными обозначают дифференцирование по времени:dyd2y&y = ,&y& = 2 .dtdtПусть при постоянных входных воздействиях u = u 0 и v = v 0 процесс в звене установится: выходная переменная со временем принимает постоянное значение y = y 0 . Тогда производные обращаются в нуль и уравнение (2.1) принимает видF 0 = F ( y 0 ,0,0, u 0 ,0, v 0 ) = 0 .(2.2)Уравнение (2.1), описывающее процессы в звене при произвольных входных воздействиях, называется уравнением динамики.

Уравнение (2.2) описывает статический режим, т.е. процесс в звене при постоянных входных воздействиях, и называется уравнениемстатики.В общем случае, когда звено описывается дифференциальным уравнением, значение его выходной величины в момент t зависит от предыстории, т.е. от значений входной1переменной до момента t. В этом случае говорят, что звено обладает динамическим запаздыванием.Статический режим можно описать графически с помощью статических характеристик. Статической характеристикой звена (элемента) называют кривую зависимостивыходной переменной от входной в статическом режиме. Статическую характеристикуэлемента можно построить экспериментально, подавая на вход элемента постоянные воздействия и измеряя значения выходной переменной после окончания переходного процесса или вычисляя с использованием уравнения статики.Рассмотрим для примера звено, состоящее из подпружиненной массы с демпфером(рис.

2.1, а). Уравнение динамики для данногозвена записываются на основании 2-го законаНьютона:m&y& = −cy − ky& + F или m&y& + ky& + cy − u = 0 .Уравнение статики для данного звенаимеет вид:cy 0 − u 0 = 0 .абСтатическая характеристика звена предРис. 2.1.ставлена на рис. 2.1, б.2.2. Линеаризация уравненийБольшинство систем управления описываются нелинейными дифференциальнымиуравнениями. Но во многих случаях их можно линеаризовать, т.е.

заменить исходные нелинейные уравнения линейными. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.Достаточными признаками возможности проведения линеаризации обычно является отсутствие разрывных, неоднозначных или резко изменяющихся характеристик, а также правомерность уравнения для всего интервала времени регулирования.Назначение систем управления – это поддержание некоторого заданного режима.При этом режиме входные и выходные переменные звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенныепостоянные значения.

Но из-за различных возмущающих факторов фактический режимотличается от требуемого, и текущие значения входных и выходных переменных не равнызначениям, соответствующим заданному режиму. Обычно систему управления проектируют таким образом, чтобы реальный процесс мало отличался от требуемого режима, т.е.чтобы отклонения от заданного режима были малы. Это позволяет производить линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора в точке, соответствующей заданному режиму, и отбрасывая нелинейные относительно отклонений иих производных слагаемые. Проиллюстрируем сказанное на примере звена, заданногоуравнением:F ( y, y& , &y&, u, u& , v) = 0 .(2.3)Пусть заданному режиму соответствуют значенияy = y 0 , y& = 0, &y& = 0, u = u 0 , u& = 0, v = v 0 .(2.4)Обозначим отклонения реальных значений y, u и v от требуемых через Δy, Δu , и Δv .

Тогда получимy = y 0 + Δy, y& = Δy& , &y& = Δ&y&, u = u 0 + Δu, u& = Δu& , v = v 0 + Δv.Подставив эти выражения в исходное уравнение и рассматривая F ( y, y& , &y&, u, u& , v) какфункцию от независимых переменных y, y& , &y&, u, u& , и v, разложим ее в ряд Тейлора в точке(2.4):2000⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎟⎟ Δy + ⎜⎜⎟⎟ Δy& + ⎜⎜⎟⎟ Δ&y& +F ( y, y& , &y&, u, u& , v) = F ( y 0 ,0,0, u 0 ,0, v 0 ) + ⎜⎜&&&∂yyy∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠(2.5)000FFF∂∂∂⎞⎛⎞ & ⎛⎛⎞+⎜⎟ Δv + K = 0⎟ Δu + ⎜⎟ Δu + ⎜&⎝ ∂v ⎠⎝ ∂u ⎠⎝ ∂u ⎠Здесь многоточие обозначает слагаемые, содержащие произведения приращений и ихпроизводных.

Пренебрегая этими слагаемыми как бесконечно малыми величинами болеевысокого порядка, чем сами приращения и их производные, а также учитывая, чтоF ( y 0 ,0,0, u 0 ,0, v 0 ) = 0 в силу (2.2), последнее уравнение можно представить в видеa0 Δ&y& + a1Δy& + a2 Δy − b0 Δu& − b1Δu − c0 Δv = 0 ,(2.6)где000000⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎟⎟ , a1 = ⎜⎜⎟⎟ , a2 = ⎜⎜⎟⎟ , b0 = −⎜a0 = ⎜⎜⎟ Δv .⎟ , c0 = −⎜⎟ , b1 = −⎜⎝ ∂v ⎠⎝ ∂u ⎠⎝ ∂u& ⎠⎝ ∂&y& ⎠⎝ ∂y& ⎠⎝ ∂y ⎠Уравнение (2.6) получено при следующих предположениях:1) отклонения выходной величины Δy и входных величин Δu и Δv достаточномалы;2) функция F обладает непрерывными частными производными по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей заданному режиму.Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то, строго говоря, линеаризацию проводить нельзя.

По поводу условия 1) необходимо отметить следующее: нельзя рази навсегда установить, какие отклонения считать малыми; это зависит от вида нелинейности.Иногда нелинейную зависимость между отдельными переменными, входящими в уравнение звена, задают в виде графика (кривой). В этих случаях линеаризацию можно проводить графически. Геометрическилинеаризация нелинейной зависимости между двумяпеременными означает замену исходной кривой АВ отрезком касательной А'В' в точке О' (рис.

2.2), соответствующей заданному режиму, и параллельный переносРис. 2.2. Линеаризацияначала системы координат в эту точку.2.3. Символическая форма записи дифференциальных уравненийПри описании систем управления удобно использовать символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере уравнения (2.6).Перепишем его, опустив для сокращения записи знак Δ и оставив в левой части толькочлены, содержащие выходную переменную и ее производные:a0 &y& + a1 y& + a2 y = b0u& + b1u + c0 v.(2.7)Введем для операции дифференцирования по времени обозначение p:ddip≡ ,pi ≡ i .dtdtЗдесь знак тождества обозначает равенство по определению.Используя введенное обозначение, уравнение (2.5) можно записать в виде(2.8a)a0 p 2 y + a1 py + a2 y = b0 pu + b1u + c0 v.Рассматривая оператор дифференцирования p как сомножитель, а выражение py как произведение, не обладающее свойством коммутативности ( py ≠ yp ), уравнение (2.8а) можнозаписать в виде(a0 p 2 + a1 p + a2 ) y = (b0 p + b1 )u + c0 v .(2.8б)3Введем обозначения Q( p ) = a0 p 2 + a1 p + a2 , R1 ( p) = b0 p + b1 , R2 ( p) = c0 .

Используя эти обозначения, последнее уравнение можно записать в видеQ( p ) y = R1 ( p )u + R2 ( p )v(2.8в)Следует иметь в виду, что уравнения (2.8а) – (2.8в) представляют другую, символическую(операторную) форму записи уравнения (2.7). Иного смысла они не имеют.Дифференциальный оператор при выходной переменной называют собственнымоператором, дифференциальный оператор при входной переменной – оператором воздействия.

В последнем уравнении собственным оператором является Q( p) , а операторами воздействия R1 ( p ) и R2 ( p ) .2.4. Стандартная форма записи уравнения звенаПри исследовании систем управления удобно, если уравнение звена, описываемогодифференциальными уравнениями не выше 2-го порядка, представлено в стандартнойформе. При стандартной форме записи члены уравнения, содержащие выходную величину и ее производные, располагают в левой части, а все остальные члены – в правой; коэффициент при выходной переменной делают равным единице.

В правой части члены, содержащие одну и ту же входную переменную и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной переменной выносят за скобки.Уравнение (2.7) в стандартной форме принимает вид2T0 &y& + 2ξT0 y& + y = k1 (T1u& + u ) + k 2v(2.9)bcaa1b2где T0 = 0 , ξ =, k1 = 1 , T1 = 0 , k 2 = 0 .a2a2b1a22 a0 a2Здесь постоянные T0 , T1 и T2 имеют размерность времени, и их называют постоянными времени, коэффициенты k1 и k 2 – передаточными коэффициентами и безразмерный коэффициент ξ (при 0 < ξ < 1 ) – коэффициентом демпфирования. Если исходноеуравнение (2.7) не содержит y ( a2 = 0 ), то в стандартной форме коэффициент при y& должен быть равен единице: обе части уравнения делят на a1 .В символической форме уравнение (2.9) принимает вид2(T0 p 2 + 2ξT0 p + 1) y = k1 (T2 p + 1)u + k 2 v .2.4.