Лекция 2 - Математическое описание САУ (PDF-лекции), страница 2

Преобразование ЛапласаПри рассмотрении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами удобно использовать преобразование Лапласа, так как оно сводит решениедифференциальных уравнений к алгебраическим операциям.Преобразованием Лапласа называют соотношение∞X ( s ) = ∫ x(t )e − st dt ,(2.10)0ставящее функции x(t ) вещественного переменного в соответствие функцию X (s) комплексного переменного s ( s = σ + jω ). При этом x(t ) называют оригиналом, X (s ) – изображением или изображением по Лапласу и s – переменной преобразования Лапласа.Оригинал обозначают строчной, а его изображение – одноименной прописной буквой.Предполагается, что функция x(t), подвергающаяся преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:1) функция x(t)) определена и кусочно-дифференцируема на интервале [0, ∞) ;2) x(t ) ≡ 0 при t < 0 ;43) существуют такие положительные числа c и M, что x(t ) < Me ct при 0 ≤ t < ∞ .Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функцией-оригиналом.Соотношениеσ + j∞1x(t ) =X ( s )e st ds ,(2.11)2πj σ −∫j∞определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа.

В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re s = σ > c .Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно ввидеX ( s ) = L{x(t )}, x(t ) = L−1{ X ( s )} ,где L – оператор Лапласа, а L−1 – обратный оператор Лапласа.2.4.1. Основные свойства преобразования Лапласа1. Свойство линейности. Для любых постоянных α и βL{αx1 (t ) + βx2 (t )} = αL{x1 (t )} + β L{x2 (t )} ,2. Дифференцирование оригиналаL{x& (t )} = sX ( s) − x(0) ,где X ( s ) = L{x(t )}, x(0) = lim x(t ) .t → +0(n)Если n-я производная x (t ) является функцией-оригиналом, то( n −1)(n)L{ x (t )} = s n X ( s ) − s n−1 x(0) − s n−2 x& (0) − K − x (0) .(k )(k )Здесь x (0) = lim x (t ), k = 0,1,K, n − 1 .t → +0( n −1)При x(0) = x& (0) = K = x (0) = 0 последняя формула принимает вид(n)L{ x (t )} = s n X ( s )3.

Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на s:⎫ X ( s)⎧t.L ⎨∫ x(τ )dτ ⎬ =s⎭⎩04. Теорема запаздывания. Для любого τ > 0L{x(t − τ )} = e −τ s L{x(t )} = e −τ s X ( s ) .5. Теорема о свертке (умножении изображений). Если x1 (t ) и x2 (t ) – оригиналы,а X 1 ( s ) и X 2 ( s ) – их изображения, то⎫⎧t⎫⎧tX 1 ( s ) ⋅ X 2 ( s ) = L ⎨∫ x1 (τ ) x2 (t − τ )dτ ⎬ = L ⎨∫ x2 (τ ) x1 (t − τ )dτ ⎬ .⎭⎩0⎭⎩0Интеграл в правой части называют сверткой функций x1 (t ) и x2 (t ) , его обозначаютx1 (t ) * x2 (t ) . ПоэтомуX 1 ( s ) ⋅ X 2 ( s ) = L{x1 (t ) * x2 (t )}.То есть, оригинал умножения изображений равен свертке оригиналов.6. Теоремы о предельных значениях.

Если x(t ) – оригинал, а X (s ) – его изображение, то5x(0) = lim sX ( s ) ;s →∞и если существует предел x(∞) = lim x(t ) , тоt →∞x(∞) = lim sX ( s) .s →02.4.2. Изображения Лапласа распространенных функций1) Дельта-функцияДельту-функцию δ (t ) можно определить следующим образом: для любой непрерывной функции ϕ (t ) и бесконечно малого положительного числа ε выполняются следующие равенства:⎧∞, t = 0,δ (t ) = ⎨⎩ 0, t ≠ 0;∞∫ δ (t )dt = 1;−∞∞ε−∞−∫ δ (t )ϕ (t )dt = ∫ε δ (t )ϕ (t )dt = ϕ (0).Схематический график дельта-функции показан нарис.

2.3.Изображение Лапласа для дельта-функции:Рис. 2.3. Схематическийграфик дельта-функцииL{δ (t )} = 1.2) Единичная функцияЕдиничная функция 1(t) определяется следующим образом (рис. 2.4):⎧1, t ≥ 0,1(t ) = ⎨⎩0, t < 0.Изображение Лапласа для единичной функции:∞Рис. 2.4. Графикединичной функции∞11X ( s) = L{1(t )} = ∫1 ⋅ e dt = − e− st = .ss00− st3) Единичная функция с запаздывающим аргументомДанная функция определяется следующим образом(рис. 2.5):⎧1, t ≥ τ ,1(t − τ ) = ⎨⎩0, t < τ .Согласно теореме запаздывания:Рис. 2.5.

Графикединичной функции сзапаздыванием1X ( s) = L{1(t − τ )} = e −τs L{1(t )} = e −τs .s4) Функция x(t)=tПри определении изображения функции x(t)=t используется интегрирование почастям:∞∞∞∞11t⎛ −1⎞X ( s) = L{t} = ∫ t ⋅ e dt =∫ t ⋅ ⎜ ⎟d (e− st ) = − ⋅ e− st + ∫ e− st dt = 2 .ss0s⎝ s ⎠000−αt5) Изображение функции x(t ) = e− st6Изображение данной функции определяется непосредственно из формулы преобразования Лапласа:∞{ }= ∫ eX ( s) = L e−αt0−αt∞⋅ e dt =∫ e− st0∞−(α + s ) t1− 1 −(α +s )t.dt =e=α +sα +s02.5.

Передаточные функцииКак было показано выше, система или звено с одним выходом и двумя входами вобщем случае описывается уравнением(n)( n −1)(m)( m −1)(l )( l −1)a0 y + a1 y + K + an y = b0 u + b1 u + K + bmu + c0 v + c1 v + K + cl vВ символической форме это уравнение принимает видn(a0 p + a1 p n−1 + K + an ) y = (b0 p m + b1 p m−1 + K + bm )u + (c0 p l + c1 p l −1 + K + cl )v(2.14)(2.15а)илиQ ( p ) y = R1 ( p )u + R2 ( p )v ,(2.15б)где Q( p) – собственный оператор, R1 ( p ) и R2 ( p) – операторы воздействия.Наряду с дифференциальными уравнениями при описании линейных систем широко используются передаточные и временные функции.Для описания линейных систем используются передаточные функции в операторной форме и передаточные функции в изображениях Лапласа.Передаточной функцией в операторной форме называется отношение операторавоздействия к собственному оператору.Для системы с одним входом и одним выходом передаточная функция равна:R( p)W ( p) =.Q( p)В случае системы управления, которая описывается уравнением (2.14) или (2.15),имеется два оператора воздействия: оператор воздействия R1 ( p ) по входу u и операторвоздействия R2 ( p) по входу v.Поэтому в этом случае система определяется двумя передаточными функциями –передаточной функциейR ( p) b0 p m + b1 p m −1 + K + bmWu ( p) = 1=(2.16а)Q( p) a0 p n + a1 p n −1 + K + anотносительно входа u и передаточной функциейR2 ( p) c0 p l + c1 p l −1 + K + clWv ( p) ==(2.16б)Q( p) a0 p n + a1 p n −1 + K + anотносительно входа v (рис.

2.6).Степень полинома знаменателяназывают порядком, а разность междустепенями знаменателя и числителя –относительным порядком передаточной функции и соответствующей систеРис. 2.6.мы.Нулями и полюсами передаточной функции называют нули ее числителя и знаменателя соответственно, т.е. корни уравнений R( p) = 0 и Q( p ) = 0 где p рассматривается какпеременная, а не как оператор.С помощью передаточной функции уравнение рассматриваемой системы управления можно записать в видеy = Wu ( p)u + Wv ( p)v .(2.17)7Передаточная функция в операторной форме является оператором.

Ее нельзя рассматривать как обычную дробь. В частности, нельзя числитель и знаменатель сокращатьна общий множитель, содержащий оператор дифференцирования.Пример. Определить передаточную функцию в операторной форме для звена, описываемого уравнением:0,1&y& + 1,1 y& + y = 2(u& + u ) .Решение. В символической форме это уравнение записывается в виде:(0,1 p 2 + 1,1 p + 1) y = 2( p + 1)u .Передаточная функция равна:2( p + 1)W ( p) =.0,1 p 2 + 1,1 p + 1Передаточной функцией системы (звена) в изображениях Лапласа называютимеющее наименьший порядок отношение изображений ее выходной и входной переменных при нулевых начальных условиях. Согласно определению передаточная функция визображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюсы, так как вэтом случае ее порядок можно было бы понизить, сократив числитель и знаменатель наобщий делитель.Если система (звено) имеет несколько входов, то при определении передаточнойфункции относительно какой-либо одной входной переменной остальные входные переменные полагают равными нулю.Найдем передаточные функции (в изображениях Лапласа) для системы, котораяописывается уравнением (2.14).

Применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа. Тогда, используя свойство линейности преобразования Лапласа, получим(n)( n −1)( m)( m −1)a0 L{ y } + a1 L{ y } + K + an L{ y} = b0 L{ u } + b1 L{ u } + K + bm L{u} +(l )( l −1)+ c0 L{ v } + c1 L{ v } + K + cl L{v}Последнее уравнение, учитывая свойство 2 преобразования Лапласа (дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях), можно записать в виде(a0 s n + a1s n−1 + K + an )Y ( s ) = (b0 s m + b1s m−1 + K + bm )U ( s ) + (c0 s l + c1s l −1 + K + cl )V ( s ) , (2.18)где Y ( s) = L{ y (t )}, U ( s) = L{u (t )}, V ( s) = L{v(t )} .Отсюда, положив V ( s ) = 0 , находим передаточную функцию относительно входаu (t ) :Y ( s) b0 s m + b1 s m −1 + K + bm.Wu ( s ) ==U ( s) a 0 s n + a1 s n −1 + K + a nАналогично, положив U ( s) = 0 , находим передаточную функцию относительновхода v(t ) :c0 s l + c1 s l −1 + K + clY (s).Wv ( s ) ==V ( s ) a 0 s n + a1 s n −1 + K + a nКак легко заметить, уравнение в изображениях Лапласа (2.18) получается из дифференциального уравнения (2.15а), т.е.

дифференциального уравнения, записанного всимволической форме, при подстановке p = s и замене переменных их изображениями.Поэтому передаточная функция W(s) произвольной стационарной линейной системы связана с ее передаточной функцией (в операторной форме) W(p) соотношениемW ( s) = W ( p) p = s(2.19)В тех случаях, когда W(p) имеет равные между собой нули и полюсы, предполагается, что в правой части (2.19) после подстановки p = s производится сокращение, и передаточная функция W(s) не имеет равных между собой нулей и полюсов.Обратное соотношение8W ( p) = W ( s) s = p(2.20)справедливо, если передаточная функция W(p) не имеет одинаковых нулей и полюсов.Примеры вычисления передаточных функций – на семинаре.2.6.

Временные функцииПомимо дифференциальных уравнений и передаточных функций при описании иисследовании линейных систем используют переходные и импульсные переходные функции и их графики – временные (ударение на предпоследнем слоге) характеристики.Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: реакция системы на несколько одновременно действующих воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.Принцип суперпозиции позволяет сводить исследование систем при несколькиходновременно действующих входных воздействиях к исследованию системы с однимвходным воздействием.