Лекция 2 - Математическое описание САУ (PDF-лекции), страница 5

Поэтому в рассматриваемом примере при ω < ω1L(ω ) ≅ 40 − 20 lg ω .Это уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами ω = 1 иL = 40 с наклоном –20дБ/дек. Прямая имеет наклон –20дБ/дек; это означает, что при увеличении частоты на декаду (т.е. в 10 раз) L(ω ) уменьшается на 20дБ (рис. 2.18, а).Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте (рис. 2.18, б).При ω1 ≤ ω < ω 2 аналогично имеемL(ω ) ≅ 40 − 20 lg ω − 20 lg(10ω ) = 20 − 40 lg ω .16Это уравнение второй асимптоты. Ее наклон по отношению к первой асимптоте изменяется на –20дБ/дек и обуславливается апериодическим звеном, т. е.

множителем 1-го порядка в знаменателе рассматриваемой передаточной функции. Вторую асимптоту проводят отконца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты согласно ее уравнению под наклоном –40дБ/дек.а)б)Рис. 2.18. К построению асимптотических ЛАЧХ: а – наклоны асимптот;б – асимптотическая ЛАЧХПри ω 2 ≤ ω < ω3L(ω ) ≅ 20 − 40 lg ω + 20 lg ω = 20 − 20 lg ω .Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон по отношению ко второй асимптотеизменяется на 20 дБ/дек и обуславливается форсирующим звеном, т.

е. множителем 1-гопорядка в числителе. Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьейсопрягающей частоты под наклоном –20дБ/дек.При ω > ω3L(ω ) ≅ 20 − 20 lg ω − 20 lg(0,1ω ) 2 = 20 − 20 lg ω − 40 lg(0,1ω ) = 60 − 60 lg ω .Это уравнение последней, четвертой асимптоты. Ее наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на –40дБ/дек и обуславливается колебательным звеном, т.е.множителем 2-го порядка в знаменателе.Теперь нетрудно сформулировать правило построения асимптотических ЛАЧХ вобщем случае.Правило построения асимптотических ЛАЧХ.1) Пользуясь представлением (2.32), вычислить 20 lg k и сопрягающие частотыωi = 1 / Ti , которые следует пронумеровать в порядке возрастания ω1 < ω 2 < K2) На оси абсцисс отметить сопрягающие частоты, а на координатной плоскости –точку (1, 20 lg k ). Построить первую асимптоту – прямую под наклоном –v20дБ/дек, проходящую через отмеченную точку на координатной плоскости.

Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте ω1 .3) Построить вторую асимптоту, которая начинается с конца первой асимптоты ипроводится до второй сопрягающей частоты ω 2 . Ее наклон изменяется на ±20дБ/дек или±40дБ/дек в зависимости от того, обуславливается ω1 элементарным множителем 1-го или2-го порядка. Берется знак плюс, если указанный множитель находится в числителе, изнак минус, если этот множитель находится в знаменателе.4) Построить остальные асимптоты, которые строятся аналогично второй асимптоте: i-я асимптота начинается с конца предыдущей, (i – 1)-й асимптоты и проводится до сопрягающей частоты ωi .

Ее наклон определяется сопрягающей частотой ωi −1 .175) Последняя асимптота представляет собой прямую, которая начинается с концаасимптоты, закачивающейся на последней сопрягающей частоте, и уходит в бесконечность.Примечание. Асимптотическая ЛАЧХ наиболее сильно отличается от точнойЛАЧХ в точках излома (при сопрягающих частотах). Причем в точках излома, где наклонизменяется на ±20дБ/дек, это отличие (при условии, что соседние точки излома располагаются не очень близко) примерно равно 3дБ/дек.

В точках излома, где наклон изменяетсяна ±40дБ/дек, т.е. при сопрягающих частотах, обуславливаемых форсирующим звеном 2го порядка или колебательным звеном, отклонение зависит от коэффициента ξ и при малых ξ может быть значительным.2.12. Построение ЛФЧХНапомним: при построении ЛФЧХ по оси ординат откладываются значения фазовой функции ϕ (ω ) , а по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, – частота в логарифмическом масштабе, т.е. наносятся деления, соответствующие значениям lg ω , а указываются значения ω .ЛФЧХ системы (звена) можно построить следующим образом: разложить числитель и знаменатель передаточной функции на элементарные множители и представить ее ввиде произведения передаточных функций элементарных звеньев, затем построить ЛФЧХэлементарных звеньев и в соответствии с формулой (2.33б) их геометрически сложить.ЛФЧХ пропорционального, дифференцирующего и интегрирующего звеньев представляют собой прямые и строятся легко.Форма ЛФЧХ апериодического и форсирующего звеньев не зависит от значенийпараметров и для их построения можно воспользоваться шаблоном, причем одним шаблоном, так как ЛФЧХ апериодического звена получается из ЛФЧХ форсирующего звеназеркальным отображением относительно оси частот (рис.

2.19, а). В зависимости от постоянной времени Т они перемещаются вдоль оси абсцисс: при ω = 1 / T фазовая частотнаяфункция форсирующего звена принимает значение π / 4 , а апериодического звена – значение − π / 4 .Форма ЛФЧХ форсирующего звена 2-го порядка и колебательного звена зависит откоэффициента демпфирования ξ . Положение вдоль оси частот зависит от постояннойвремени Т: при ω = 1 / T фазовая частотная функция форсирующего звена 2-го порядкапринимает значение π / 2 , а колебательного звена – значение − π / 2 .

ЛФЧХ колебательного звена получается из ЛФЧХ форсирующего звена 2-го порядка зеркальным отображением относительно оси частот (рис. 2.19, б), и для их построения можно воспользоватьсяодним шаблоном. Однако в данном случае нужны шаблоны для различных значений параметра ξ .Раньше при построении ЛФЧХ довольно часто использовались шаблоны.

В настоящее время в связи с компьютеризацией необходимость использования шаблонов отпадает.а)б)Рис. 2.19. Шаблоны ЛФЧХ элементарных звеньев: а – форсирующего (кривая 1) и апериодического (2) звеньев; б – форсирующего 2-го порядка (1) и колебательного (2) звеньев18.