Ю.И. Воронцов, И.А. Биленко - Методическая разработка по радиофизике, страница 6

3.11: Преобразование спектра слабого гармонического сигнала ("линейное" детектирование).39Пример. Ri = 50 Ом, R = 5 × 104 Ом, ω = 2π × 106 c−1 , Ω = 2π × 104 c−1 , s(t) = sin Ωt,E0 = 1 В, m = 0, 5.Найдем: 1) необходимую емкость C;2) амплитуду полезного сигнала на выходе детектора в режиме линейного детектирования.Решение.1.Должно быть11<< RC << .ωΩ−12−10Следовательно, 3 × 10<< C << 3 × 10 Ф.Можно взять C ' 3 × 10−11 Ф = 30 пкФ.i 1/3) ' 0, 2, cos Θ ' 0, 98. U0 = mE0 cos Θ = 0, 49 В.2. Θ ' ( 3πRRКвадратичное детектирование.

Если амплитуда напряжения e(t) на входе детектора недостаточна для применения кусочно-линейной аппроксимации характеристики диода, детектор используют в режиме квадратичного детектирования.При слабом сигнале ток через нелинейный элемент (в частности, через диод)i(t) = i0 + a1 e(t) + a2 e2 (t) =11= i0 + a1 E(t) cos ωt + a2 E 2 (t) cos 2ωt + a2 E 2 (t).22Интересующий нас сигнал s(t) содержится в последнем слагаемом:11a2 E 2 (t) = a2 E02 (1 + 2ms(t) + m2 s2 (t)).22Однако, здесь кроме тока, пропорционального сигналу ms(t) содержится слагаемое m2 s2 (t),спектр которого может частично перекрываться со спектром сигнала. Например, еслиs(t) = sin Ω1 t+sin Ω2 t, то в спектре s2 (t) будут составляющие с частотами 2Ω1 , 2Ω2 , Ω1 ±Ω2 . В результате на выходе детектора сигнал будет воспроизведен с искажениями. Дляуменьшения искажений уменьшают коэффициент модуляции m.

Применение квадратичного детектирования нецелесообразно, когда требуется неискаженное воспроизведение сигнала.Процесс детектирования не требует привлечения каких либо вспомогательных колебаний. Другие преобразования сигнала, связанные с переносом спектра (например, модуляция, гетеродинирование), получаются при воздействии на нелинейную цепь сигнала всумме с вспомогательным гармоническим напряжением.3.3.1Преобразование сигнала в сумме с гармоническим напряжением в резистивной нелинейной цепиРеальным сигналам соответствует не чисто гармоническое колебание, а некоторая функция времени s(t). Однако вначале рассмотрим случай гармонического сигнала s(t) =E1 cos (ω1 t + φ1 ) и положимe(t) = E1 cos (ω1 t + φ1 ) + E2 cos (ω2 t + φ2 ).40Si(ω)0 ω1 2ω1ω2ω2− ω1 ω2+ ω12ω2ωРис.

3.12: Спектр тока при смешении на квадратичной нелинейности двух гармонических сигналов.Такая сумма представляет собой бигармоническое колебание. Рассмотрим преобразованиебигармонического колебания отдельно на квадратичной и кубичной нелинейностях. Изсоотношенияe2 (t) = E12 cos2 (ω1 t + φ1 ) + E22 cos2 (ω2 t + φ2 ) + 2E1 E2 cos (ω1 t + φ1 ) cos (ω2 t + φ2 ) == 1/2(E12 + E22 ) + 1/2E12 cos (2ω1 t + 2φ1 ) + 1/2E22 cos (2ω2 t + 2φ2 )++E1 E2 {cos [(ω1 + ω2 )t + φ1 ) + φ2 )] + cos [(ω1 − ω2 )t + φ1 ) − φ2 )]} (3.6)следует, что при воздействии бигармонического колебания на цепь с квадратичной нелинейностью кроме постоянной составляющей и гармоник с частотами 2ω1 , 2ω2 , возникаюткомбинационные колебания с частотами ω1 ± ω2 .В цепи с кубичной нелинейностью бигармонический сигнал вызовет появление комбинационных составляющих с частотамиnω1 ± mω2 ,где m + n = 3.(В общем случае сумма n + m равна степени нелинейности.)Пример.

Спектр тока в случаеi(u) = a1 e(t) + a2 e2 (t) и ω2 ω1изображен на рис.3.12Выделение амплитудно-модулированного колебания.Группа спектральных компонент с частотами ω1 − ω2 , ω1 , ω1 + ω2 соответствует спектру амплитудно-модулированного колебания (ω2 — несущая частота, ω1 ± ω2 — боковыечастоты.)Задание 3.3 Докажите, что сумма гармонических составляющих с указанными вышечастотами образует колебание(1 + m cos ω2 t)A cos ω1 t,гдеA = a1 E1 ,Докажите, что в случаеe(t) = s(t) + E cos ωtможно получить амплитудно модулированное колебание(1 + ms(t))A cos ωt.41m = 2a2 E2 /a1 .Преобразование частоты сигнала (гетеродинирование). Преобразованием частоты, или гетеродинированием, называют такое преобразование сигнала, в процессе которого происходит изменение его несущей частоты при сохранении вида модуляции. Врезультате гетеродинирования спектр сигнала без искажения перемещается по оси частот.Для преобразования частоты сигнала необходимо подать на нелинейную цепь сигналe(t) в сумме с опорным гармоническим напряжением E cos ωg t от вспомогательного генератора, называемого гетеродином.Задание 3.4 Докажите, что амплитудно и фазо-модулированный сигналe(t) = A(t) cos (ωt + φ(t))с помощью квадратичной нелинейности может быть перенесен по частоте на ωg вверхили вниз без искажения модуляции.Гомодинирование.

Процесс преобразования частоты сигнала вниз, когда частотаопорного колебания равна частоте несущей сигнала, т.е. ω = ωg .Контрольные вопросы.1. Виды нелинейных элементов.2. Принцип преобразования спектра сигнала с помощью нелинейной цепи.3. Виды аппроксимаций вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных элементов.4. Преобразование спектра гармонического сигнала в цепях с квадратичной и кубичнойнелинейностях.5.

Спектр тока через диод при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ диода.6. Принцип умножения частоты сигнала.7. Принцип выпрямления напряжения.8. Связь постоянной составляющей напряжения с углом отсечки тока.9. Формула угла отсечки тока.10. Способы подавления пульсаций напряжения в выпрямителях.11. Схема двухполупериодного выпрямителя.12. Принципы амплитудного детектирования сильных и слабых сигналов.13. Преобразование спектра бигармонического сигнала.14.

Получение амплитудно-модулированного колебания из бигармонического.15. Перенос спектра сигнала (гетеродирирование).Тригонометрические соотношения.311 1+ cos 2x, cos3 x = cos x + cos 3x,2 2443 11cos4 x = + cos 2x + cos 4x,8 28551cos5 x = cos x +cos 3x +cos 5x.81616cos2 x =424Флуктуации в радиоцепях.В любых каналах передачи информации сигналы сопровождаются шумами, источникамикоторых могут быть самые различные физические явления. С математической точки зрения все шумы объединяются одним понятием случайного процесса (ξ(t)).

В результатерегистрации случайного процесса получают некоторую случайную запись x(t), называемую реализацией случайного процесса. При повторении регистрации при одних и тех женачальных условиях получаются различные реализации x(t). В этой совокупности реализаций каждому моменту времени t соответствует множество значений x. Каждое иззначений x встречается с некоторой вероятностью. Вероятность значения x2 в момент t2может зависеть от значения x1 в момент t1 . Знание этих вероятностей позволяет вычислить среднее значение, дисперсию, корреляционную функцию, спектральную плотностьмощности шума и другие характеристики. Характеристики шума в общем случае зависятот времени. Однако есть практически важный вид шумов, характеристики которых независят от времени.

Таковыми обычно можно считать шумы приборов в установившемся(постоянном) режиме. Подобные шумы называют стационарными.4.1Основные характеристики случайных процессов.Среднее значение (математическое ожидание) случайного процесса hξ(t)i. (Скобкиозначают усреднение x(t) по всем возможным реализациям.)Дисперсия∆2 ξ(t) = hξ 2 (t)i − hξ(t)i2 .Ковариационная функцияK(t1 , t2 ) = hx(t1 )x(t2 )i,характеризующая статистическую зависимость значений x в различные моменты времени.Корреляционная функция случайного процессаB(t1 , t2 ) = hx(t1 )x(t2 )i − hx(t1 )ihx(t2 )i.Корреляционная функция характеризует отклонение от среднего значения и совпадает сковариационной функцией, если среднее значение случайного процесса равно нулю.В случае стационарного процесса среднее значение не зависит от времени, а ковариационная и корреляционная функции зависят только от разности времен τ = t2 − t1 .При вычислении характеристик стационарного шума усреднение по множеству реализаций можно заменить усреднением по времени одной достаточнодлинной реализации.4.1.1Характеристики стационарных шумов.Среднее значение стационарного шумаZT /21ξ == limT →∞ Tx(t)dt,−T /243(4.1)где T — длительность реализации x(t).

Черта сверху означает усреднение по времени.Ковариационная функция стационарного шумаZT /21K(τ ) = limT →∞ Tx(t)x(t + τ )dt.(4.2)−T /2Корреляционная функция стационарного шума1B(τ ) = limT →∞ TZT /22x(t)x(t + τ )dt − ξ .(4.3)−T /2Функции K(τ ) и B(τ ) характеризуют связь (корреляцию) между значениями x(t), разделенными промежутком времени τ .

Чем медленнее, плавнее изменяется x(t), тем медленнее зависимость ковариационной и корреляционной функций от τ . (Функцию B(τ ) такженазывают автокорреляционной, поскольку она характеризует корреляцию значений xв одной и той же реализации x(t).) Функции B(τ ) и K(τ ) — четные.Спектральная плотность мощности случайного процессаZ∞SK (ω) =Z∞K(τ )e−iωτ dτ =−∞K(τ ) cos ωτ dτ.−∞SK (ω) = SK (−ω).Функцию K(τ ) можно представить в виде интеграла ФурьеZ∞K(τ ) =dω=SK (ω)eiωτ2π−∞Z∞+SK(ω) cos ωτdω.2π0+SK(ω) = 2SK (ω).SK (ω) — спектральная плотность мощности, определенная в полосе частот от −∞ до+∞.

Спектральная плотность SK(ω) определена в полосе 0 ÷ ∞.В радиофизике в качестве характеристики мощности шума используют величинусредней по времени мощности шумаTR/2TP =R∞(x(t))2 dt−T /2T1 −∞=2π|S̃T (ω)|2 dωT,где S̃T (ω) — обычное фурье-преобразование реализации x(t) случайного процесса длительностью T .Спектральная плотность средней мощности шума в радиофизике была определена как|S̃T (ω)|2Srf (ω) = lim.(4.4)T →∞T44Теорема Винера - Хинчина.

Спектральная плотность мощности стационарного шумаSK (ω) равна спектральной плотности средней мощности шума Srf (ω), т.е.Z∞−iωτK(τ )e|S̃T (ω)|2dτ = lim.T →∞T(4.5)−∞(Доказательство теоремы приведено в приложении 1.)При анализе случайных процессов обычно основной интерес представляет его флуктуационная составляющая ξ(t)−ξ(t). Ее характеристикой является корреляционная функцияB(τ ) и соответствующаяспектральная плотность мощности флуктуацийZ∞−iωτB(τ )eS(ω) =Z∞dτ =−∞B(τ ) cos ωτ dτ.−∞B(τ ) = B(−τ ),S(ω) = S(−ω).

Размерность спектральной плотности мощности шума:если имеются ввиду флуктуации напряжения, то [S(ω)] = В2 /Гц.; в случае флуктуацийтока [S(ω)] = A2 /Гц.Дисперсия стационарного случайного процесса2∆2 ξ = ξ(t)2 − ξ(t) = B(0) =Z∞=dω=S(ω)2π−∞4.1.2Z∞S + (ω)dω.2π0Спектральные характеристики источников шума.1. Тепловой шум сопротивления. Формула Найквиста.Спектральная плотность мощности тепловых флуктуаций напряжения на сопротивлении R (в классическом приближении kT ~ω) равнаSU+ (ω) = 4kT R.SU (ω) = 2kT R,2.