Ю.И. Воронцов, И.А. Биленко - Методическая разработка по радиофизике, страница 4

2.7: К заданию 2.2.Задание 2.2 Докажите, что напряжение на конце линии можно рассчитать с помощью эквивалентной схемы рис.2.7.Задание 2.3 Вычислите коэффициент отражения потока энергии гармонической волны от конца идеальной линии, нагруженной RC-цепочкой рис.2.8, если R = ρ = 100 Ом,C = 100 пкФ, частота волны f = 15 МГц.PrPdCRПример.

Распространение прямоугольного импульса в отрезке идеальной линии с активной нагрузкой R и активнымвнутренним сопротивлением генератора Ri (рис.2.9).Напряжение на входе линии до прихода отраженной волны равноρ.u1 (0, t) = e(t)ρ + RiРис. 2.8: К заданию 2.3.Когда импульс достигает конца линии, напряжение на нагрузкеu1 (l, t) = u(0, t − l/v) + Ru (l)u(0, t − l/v).Отраженный от конца импульс Ru (l)u(0, t − l/v) вернется к началу линии и частичноотразится назад. Напряжение на входе линии в это времяu2 (0, t) = u1 (0, t − 2l/v) + Ru (l)u1 (0, t − 2l/v) + Ru (0)Ru (l)u1 (0, t − 2l/v)RiRe(t)0xРис. 2.9: Распространение прямоугольного импульса в идеальной линии25Ru=-1/3Ru=1/3UU(0,t) 81U( ,t)x0U811/2-27U=81-27=54-9U=-27-9=-363/23U=3+1=4U=-9+3=-615/21/3U=1-1/3=2/3-1/97/2t/( /V)Рис.

2.10: Диаграмма для расчета движения прямоугольного импульса в отрезке линиии эпюры напряжения на ее входе и выходе.Здесь Ru (l), Ru (0) — коэффициенты отражения напряжения от конца и начала линиисоответственно. К выходу линии пойдет отраженный импульсRu (0)Ru (l)u1 (0, t − 2l/v).Дальше процесс будет повторяться до полного исчезновения импульса.

Схему расчетаиллюстрирует диаграмма рис.2.10 в случае Ru (0) = 1/3, Ru (l) = −1/3 при длительностиимпульса меньше 2l/v. На рис.2.10 представлены соответствующие изменения входного ивыходного напряжений во времени.Задание 2.4 Постройте аналогичные эпюры напряжения в случае, когда длительностьпрямоугольного импульса больше 2l/v.2.3Входное сопротивление отрезка линии.По определению входное сопротивление линии есть отношение напряжения к току навходе линии. Напряжение на входе u(0, t) = ud (0, t) + ur (0, t), а ток i(0, t) = id (0, t) + ir (0, t).Следовательно, входное сопротивление зависит от того, есть или нет в данный моментна входе обратная волна.

Если обратная волна возникает в результате отражения прямойволны от конца линии, то в течение времени 2l/v с момента включения напряжения навходе входное сопротивление будет равно ud (o, t)/id (0, t). В идеальной линии это отношениеравно ρ. В общем же случае отношение входного напряжения к току будет функциейвремени.

Только для комплексных амплитуд напряжения и тока гармонической волны(соответственно, в установившемся режиме) можно определить постоянное во временивходное сопротивлениеZвх ≡Ũd (0) + Ũr (0)Ũ (0)=ρ.˜J(0)Ũd (0) − Ũr (0)26В линии без потерь Ũr (0) = Ru Ũd (0)e−iβ2l . ( Это соотношение можно объяснить так:обратная волна в точке x=0 возникает в результате того, что прямая волна от началалинии доходит до ее конца, отражается и возвращается к началу. Время распространенияволны к концу линии и обратно равно 2l/v. Этому соответствует запаздывание по фазена 2lω/v = 2lβ.)Следовательно,1 + Ru e−iβ2lρ.Zвх =1 − Ru e−iβ2lПримеры.1) Если Ru = 0, то Zвх = ρ.2) В случае Ru = 1, Zвх = −iρctgβl.(Рис.2.11,1)Im(Z )1 (-ctg(βl))2 (tg(βl))π2π3π βl=2πl/λРис. 2.11: Зависимость от βl входного сопротивления отрезка идеальной линии: 1 - короткозамкнутого, 2 - разомкнутого.Следовательно, разомкнутый на конце отрезок линии длиной l = (2n + 1)λ/4 имеетнулевое входное сопротивление.

Зависимость Zвх от частоты вблизи этих точек подобназависимости от частоты сопротивления последовательного LC — контура.Вблизи частот, соответствующих l = nλ/2, разомкнутый отрезок ведет себя подобнопараллельному LC — контуру.3) При Ru = −1, Zвх = iρtgβl. (Рис.2.11,2)Следовательно, короткозамкнутый отрезок длиной l = (2n + 1)λ/4 имеет бесконечноевходное сопротивление подобно параллельному LC — контуру. Вблизи l = nλ/2 короткозамкнутый отрезок подобен последовательному LC — контуру.Входное сопротивление оказывается равным нулю вследствие того, что прямая и обратная волны напряжения на входе линии равны по амплитуде, но находятся в противофазе,а волны тока — в фазе (имеет место резонанс напряжений).Входное сопротивление получается бесконечным, когда прямая и обратная волны напряжения на входе в фазе, а волны тока в противофазе (резонанс токов).27ρ1ρρ1ρ2L=(2n+1)λ/4ρRL=(2n+1)λ/4Рис.

2.12: Использование четвертьволнового отрезка линии для согласования двух√раз√личных линий (а) или для согласования линии с нагрузкой (б) (ρ = ρ1 ρ2 или ρ = ρ1 Rсоответственно).4) Полуволновый (l = nλ/2) отрезок линии имеет входное сопротивление равное сопротивлению его нагрузки: Zвх = Z.5) Входное сопротивление четвертьволнового (l = (2n + 1)λ/4) отрезка Zвх = ρ2 /Z.Следовательно, входное сопротивление четвертьволнового отрезка при заданной нагрузкеможно изменять за счет изменения волнового сопротивления отрезка. Это свойство четвертьволнового отрезка линии используется для согласования двух различных линий илидля согласования линии с нагрузкой (рис.2.12а,б).Резонансный характер зависимости входного сопротивления отрезка линии от частоты дает возможность использовать отрезки линии в качестве частотно избирательныхэлементов радиотехнических схем.

В отличие от сосредоточенных LC – контуров, распределенные резонаторы имеют множество резонансных частот.Разомкнутый отрезок линии длиной l подобен параллельному LC контуру на частотахνn = nv.2lЕсли фазовая скорость не зависит от частоты, то спектр резонансных частот эквидистантен, т.е. разность между соседними резонансными частотами постоянна.Пример.

В случае линии длиной 1 м, заполненной диэлектриком с ε = 2, ν1 ' 108 Гц.Разомкнутый отрезок подобен последовательному LC – контуру на частотах1 vνn = (n + ) .2 2lЗадание 2.5 Найдите спектр резонансных частот короткозамкнутого отрезка линии.Задание 2.6 В идеальной линии с ρ = 100 Ом амплитуда напряжения прямой (падающей) гармонической волны равна 10 В. Найдите полный ток и напряжение на расстояниях λ/2 и λ/4 от коротко замкнутого конца линии и поток энергии в этих сеченияхлинии.282.3.1Передаточная функция (коэффициент передачи) отрезка линии.Длинные линии используют для передачи сигналов от источника к нагрузке.

Расчет выходного сигнала в линии, также как и в случае сосредоточенных цепей, можно вести спомощью соответствующей передаточной функции (коэффициента передачи). Рассмотрим отрезок линии, нагруженный на комплексное сопротивление Z (рис. 2.13). На входеотрезка действует генератор комплексной эдс Ẽвх eiωt , внутреннее сопротивление генератора — Ri .Комплексная амплитуда напряжения на входе линии (между точками 1-2)Ũ12 = ẼвхZвх,Zвх + Riгде Zвх — входное сопротивление нагруженного отрезка линии. С другой стороны, напряжение на входе линии равно сумме напряжений прямой иобратной волн в точке x = 0:2RiŨ12 = Ũd (0) + Ũr (0) = Ũd (l)eiβl + Ũr (l)e−iβl =iβl= Ũd (l)(e−iβl+ Ru (l)eŨвых)=(eiβl + Ru (l)e−iβl ).1 + Ru (l)Здесь использованы соотношения:Ũd (l) = Ũd (0)e−iβl , Ũr (l) = Ũr (0)eiβl , (рассматриваемлинию без потерь (α = 0)) иZUe(t)10Рис.

2.13: К определению коэффициента передачи линииŨвых = Ũd (l) + Ũr (l) = Ũd (l)(1 + Ru (l)).Следовательно, искомый коэффициент передачиK̃(ω) ≡=ZвхŨвых1 + Ru (l)==iβlZвх + RГ e + Ru (l)e−iβlẼвхρ(1 + Ru )e−iβl.(1 + Ru e−i2βl )ρ + RГ (1 − Ru e−i2βl )Если линия согласована с нагрузкой, т.е. Z = ρ, то Ru (l) = 0, Zвх = ρ иK̃(ω) =ρe−iβl .ρ + RiЗадание 2.7 Исследуйте коэффициент передачи в случаях: 1) Ru = 0, 2)Ru = 1, 3)Ru =−1.Задание 2.8 Исследуйте коэффициент передачи напряжения в случае Ri = ρ.Рассмотрим коэффициент передачи напряжения в случае Ri = 0:K̃0 (ω) =1 + R̃u (l)1 + R̃u (l)=e−iβl .iβl−iβl−i2βle + R̃u (l)e1 + R̃u (l)e29Если линия согласована с нагрузкой (Ru = 0), тоK̃0 = e−iβl .Если Ru 6= 0, |K0 | зависит от частоты волны и длины линии.

Если отрезок линии четвертьволновый, т.е. βl = (2n + 1)π/2,ZK̃0 = − .ρЕсли же 2βl = 2nπ, тоK̃0 = 1.В случае идеальной линии и активной нагрузки Z = R коэффициент отражения Ru —действительная величина, следовательно,|K̃0 | = p1 + Ru1+Ru2 (l)+ 2Ru cos 2βl.Пример зависимости |K̃0 (ω)| от частоты в случае Ru ≈ 1 приведен на рис. 2.14.K12K12maxK12max2∆21π2π3π2βРис. 2.14: Зависимость |K̃12 | от частоты в случае Ru ≈ 1В случае линии с потерями в приведенных выше формулах следует заменить iβl наγl = αl + iβl.√Задание 2.9 Докажите, что ширина резонансных пиков на уровне |K̃0 |max / 2 равна2δ(βl) ≈ 1 − Ru .Задание 2.10 Линия разветвляется на две, как показано на рис. 2.15.

Исследуйте, какая часть мощности, входящей в общую линию, поглощается в каждой из нагрузоквторичных линий. При каком соотношении между сопротивлениями R1 , включеннымипоследовательно со вторичными линиями, и волновым сопротивлением линий эта мощность будет максимальной? При каком значении R1 отсутствует отраженная волнаот места разветвления линии.30R=ρR1PdρρR1ρR=ρРис. 2.15: Согласование двух нагрузокКонтрольные вопросы. Что понимается под квазистационароностью поля в линии?Функциями каких аргументов являются прямая и обратная волны в линии?Как связаны между собой токи и напряжения в бегущих волнах?Что такое волновое сопротивление линии? Как оно связано с параметрами эквивалентнойсхемы линии?Что понимается под скоростью волны в идеальной линии? Что такое фазовая скоростьволны? Волновое число?Как постоянная распространения волны связана с параметрами эквивалентной схемы реальной линии?Формулы коэффициентов отражения напряжения, тока, потока энергии.Потоки энергии в прямой и обратной волнах.

Эффективный поток энергии.Что понимается под входным сопротивлением отрезка линии? Зависимость от частотывходного сопротивления разомкнутого, короткозамкнутого, нагруженного отрезков линии.Резонансные частоты отрезка линии.Коэффициент передачи отрезка линии.313Преобразование сигналов в нелинейных цепяхНелинейными называют цепи, содержащие нелинейные резистивные или реактивные элементы. Нелинейные резистивные элементы — элементы с нелинейной вольт-ампернойхарактеристикой i(u).

(Полупроводниковые диоды, триоды, микросхемы.) Нелинейныереактивные элементы — зависящая от тока индуктивность, зависящая от напряженияемкость.i(t)u (t)u(t)Рис. 3.1: Преобразование сигналов с помощью нелинейной цепиПринципиальное отличие преобразования сигналов в нелинейных цепях от преобразования в линейных в том, что в нелинейных цепях появляются гармонические составляющие, которых не было во входном сигнале. Это дает возможность производить такиенеобходимые при передаче сигналов операции, как модуляцию, детектирование, переносспектра сигнала в нужный диапазон частот и др.Общую схему преобразования иллюстрирует рис. 3.1.