Ю.И. Воронцов, И.А. Биленко - Методическая разработка по радиофизике

Методическая разработка по радиофизикеЮ.И.Воронцов И.А.Биленко5 мая 2006 г.111.1Линейные цепи с постоянными параметрамиПринцип анализа линейных цепей.Задачей анализа является определение отклика x(t) цепи на внешнее воздействие f (t). Воснове методов анализа линейныхцепей лежит принцип суперпозиции [1, 2], согласноPкоторому сумма откликовxi (t) от отдельныхPвоздействий fi (t) на линейную цепь совпадает с откликом x(t) от суммы воздействийfi (t).

Принцип суперпозиции позволяетпредставить отклик цепи на сложный сигнал f (t) как сумму откликов на отдельные егосоставляющие. Эти составляющие могут выбраны так, чтобы сделать анализ максимально простым. При таком подходе решение задачи разделяется на три этапа.1) Сигнал f (t) представляется в виде суммы удобных для решения функций.2) Рассчитывается отклик цепи на действие каждой составляющей сигнала.3) Суммируются найденные отклики.Выбор функций, по которым производится разложение зависит от цели разложения, которыми могут быть:1. точное разложение на простейшие функции;2.

аппроксимация f (t) минимальным числом членов при допустимой погрешности.В первом случае наиболее распространено разложение по гармоническим функциям (вформе ряда или интеграла Фурье). Их достоинства: а) гармонические сигналы в линейныхцепях не изменяют свою форму, б) позволяют применять символический метод анализа(метод комплексных сопротивлений).В качестве простейших функций для разложения используются также δ-функции иступенчатые функции Хевисайда.Во втором случае применяется разложение по ортогональным полиномам и функциямЧебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра, разложение по функциям Уолша, Готтенмахера,Адамара ([2], стр.423), разложение по вэйвлет-функциям [5]. Ортогональные полиномыи функции Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра используются преимущественно дляпредставления непрерывных сигналов, а функции Уолша чаще используются для представления дискретных сигналов.Разложение на стандартные по форме функции позволяет представить суммарный отклик в виде суммы стандартных откликов.

Эти стандартные отклики служат общимихарактеристиками цепи, зная которые, можно рассчитать отклик цепи на любое воздействие.1.21.2.1Характеристики линейных цепейПередаточная функция (коэффициент передачи) цепиПри разложении сигналов по комплексным гармоническим функциям eiωt характеристикой цепи является отклик цепи на входной комплексный сигнал Ũвх eiωt . При этом откликцепи (выходной сигнал) будет сигналом вида Ũвых eiωt .

Отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала на выходе цепи к комплексной амплитуде входного сигналаK̃(ω) ≡2Ũвых.Ũвхназывают передаточной функцией цепи. Её находят, решая уравнения цепи с правойчастью в виде Ũвх exp (iωt). Передаточную функцию можно представить в видеK̃(ω) = K(ω)eiϕ(ω) .Модуль K(ω) называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а ϕ(ω) —фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) цепи.При таком подходе входной и выходной сигналы представляют в виде интеграла Фурье.Если входной сигнал равенZ∞1S̃вх (ω)eiωt dω,fвх (t) =2π−∞то спектральная плотность выходного сигнала S̃вых (ω) связана со спектральной плотностью входного S̃вх (ω) соотношениемS̃вых (ω) = K̃(ω)S̃вх (ω).Соответственно, выходной сигнал будет равенZ∞1fвых (t) =K̃(ω)S̃вх (ω)eiωt dω.2π(1.1)(1.2)−∞Пример.

Расчет отклика на реальное гармоническое воздействиеfвх (t) = u0 cos (ω0 t + ϕ0 ).Есть два варианта расчета.1.Расчет по формуле (1.2). Спектральная плотность функции fвх (t)Z∞Z∞u0(ei(ω0 t+ϕ0 ) + e−i(ω0 t+ϕ0 ) )e−iωt dt =S̃вх (ω) =u0 cos (ω0 t + ϕ0 )e−iωt dt =2−∞−∞= πu0 [eiϕ0 δ(ω − ω0 ) + e−iϕ0 δ(ω + ω0 )].Из (1.2) получимu0fвых (t) =2Z∞K̃(ω)(eiϕ0 δ(ω − ω0 ) + e−iϕ0 δ(ω + ω0 ))eiωt dω =−∞u0(K̃(ω0 )ei(ω0 t+ϕ0 ) + K̃ ∗ (ω0 )e−i(ω0 t+ϕ0 ) ) = u0 K(ω0 ) cos (ω0 t + ϕ0 + ϕ(ω0 )).22.

Другой вариант расчета. Поскольку cos (ω0 t + ϕ0 ) = Re(ei(ω0 t+ϕ0 ) ), то отклик наcos (ω0 t + ϕ0 ) будет равен реальной части отклика на ei(ω0 t+ϕ0 ) . Следовательно,=fвых (t) = u0 Re(K̃(ω0 )ei(ω0 t+ϕ0 ) ) = u0 K(ω0 ) cos (ω0 t + ϕ0 + ϕ(ω0 )).Задание 1.1 Найдите решение при fвх (t) = u0 sin (ω0 t + ϕ0 ).Полоса пропускания цепи.Полосой пропускания цепи называют интервал частот, в пределах которого квадрат модуля передаточной функции (т.е. коэффициент передачи энергии) изменяется√не более, чемв 2 раза. Этому соответствует изменение модуля передаточной функции в 2 раз.31.2.2Импульсная характеристика цепи.При разложении сигналов по δ-импульсам в качестве характеристики цепи используютимпульсную характеристику g(t) — отклик цепи на δ-импульс.В этом случае входной сигнал представляется в видеZ∞fвх (ξ)δ(t − ξ)dξ,fвх (t) =−∞а выходной сигнал вычисляется по формулеZtfвх (ξ)g(t − ξ)dξ.fвых (t) =(1.3)−∞Такого вида интеграл называется интегралом наложения, интегралом Дюамеля.

Верхнийпредел интегрирования t — отражение принципа причинности: выходной сигнал в данныймомент не может зависеть от значений сигнала в будущем. Если условиться считать g(t −ξ) = 0 при ξ > t, то предел интегрирования можно положить равным ∞.1.2.3Переходная характеристика цепи.При разложении по ступенчатым функциям характеристикой цепи является переходная характеристика цепи h(t) - отклик цепи на сигнал в виде ступеньки единичнойвысоты (функции единичного скачка, функция Хевисайда)1 t ≥ t01(t − t0 ) =0 t < t0 .t0 — момент включения ступеньки.Выходной сигнал при этом представляется в видеZtfвых (t) =df 0вх (ξ)h(t − ξ)dξ =dtfвх (ξ)h(t − ξ)dξ.−∞−∞1.2.4ZtВзаимосвязь характеристик цепи.Поскольку спектральная плотность δ(t)-функцииZ∞S̃δ (ω) =δ(t)e−iωt dt = 1,−∞то спектральная плотность отклика на δ(t)S̃δвых (ω) = S̃δ (ω) ∗ K̃(ω) = K̃(ω).В соотьветствии с (1.2)1g(t) =2πZ∞−∞4K̃(ω)eiωt dω.(1.4)Следовательно,Z∞K̃(ω) =g(t)e−iωt dt.−∞Поскольку ступенчатая функция равна интегралу от δ(t) - функции, переходная характеристика связана с импульсной соотношениемZtg(t − x)dx.h(t) =0Спектральная плотность ступенчатой функции ([2] стр.33, 50 )S̃l (ω) = πδ(ω) + 1/(iω).1.3Метод комплексных сопротивленийРассмотрим решение уравнения, описывающего схему рис.1.1,Z1diidt + iR = u(t).L +dt CПредставим u(t) в виде интеграла Фурье1u(t) =2πZ∞Ũ (ω)eiωt dω−∞и решим уравнение с правой частью Ũ exp (iωt).

Частное решениеуравнения ищем в виде i(t) = J˜ exp (iωt). После простых преобразований из дифференциального уравнения получим алгебраическое1 ˜ ˜J + JR = Ũ .iωLJ˜ +iωCЭтому уравнению соответствует эквивалентная схема рис.1.2, гдеZL = iωL,ZC =Рис.цепи1.1:Пример1iωC— комплексные сопротивления индуктивности и емкости соответственно. К этой схемеприменим закон Кирхгофа для комплексных напряжений и токовРис.

1.2: Эквивалентная схема для рис.1.15Рис. 1.3: Дифференцирующие цепочкиŨL + ŨC + ŨR = Ũ ,где˜ L,ŨL = JZ˜ C,ŨC = JZ˜ŨR = JR.Решение методом комплексных сопротивлений состоит в следующем. В рисунке исследуемой схемы индуктивности и емкости заменяют их комплекснымисопротивлениями и составляют уравнения Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжений и токов. Решив уравнения, находят передаточную функцию. Затем вычисляютотклик цепи по формуле (1.2).Следует иметь ввиду, что метод Фурье дает только частное решение.

Оно определяетвынужденное движение и не учитывает влияния начальных условий.Универсальным методом решения линейных интегро-дифференциальных уравненийявляется метод преобразования Лапласа — метод, в котором от переменной iω переходятк комплексной переменной p = σ + iω ([2], стр.55).1.41.4.1Характеристики RC и LR цепочекПередаточная функция (коэффициент передачи) дифференцирующихцепочек.Применим метод комплексных сопротивлений.

Емкость и индуктивность на рис.1.3 заменим их комплексными сопротивлениями ZC = 1/iωC и ZL = iωL. Для схемы рис.1.3aполучимŨвх˜, Ũвых = JR,J˜ =ZC + RRŨвых eiωt =Ũвх eiωt .R + ZCСледовательно, передаточная функция этой цепочкиK̃(ω) =RiωRC== K(ω)eiϕ .R + ZC1 + iωRC6Рис. 1.4: Зависимость модуля передаточной ф-ции от частоты для цепей на рис. 1.3ϕπ/2π/4ω1/RCРис.

1.5: Зависимость величины фазового сдвига от частоты для цепей на рис. 1.3Амплитудно - частотная характеристикаωRCK(ω) = p1 + (ωRC)2=pωτRC1 + (ωτRC )2,где τRC = RC -постоянная времени цепочки рис.1.3а.Фазо-частотная характеристикаϕ(ω) = π/2 − arctg(ωτRC ) = arctg(1/ωτRC )(рис.1.5).Передаточная функция LR - цепочки рис.1.3бK̃(ω) =iωτLR,1 + iωτLR7где τLR = L/R - постоянная времени LR-цепочки, подобна передаточной функции RCцепочки рис.1.3б.

Передаточные функции этих цепочек тождественны при τRC = τLR .Цепочки рис.1.3 называют дифференцирующими, поскольку при указанных нижеусловиях выходное напряжение в них подобно производной от входного напряжения.Условия дифференцирования.В случае гармонического напряженияd(Ũвх eiωt ) = iω Ũвх eiωt .dtСледовательно, выходное напряжение будет пропорционально производной от Ũвх exp(iωt)в случае, если K̃(ω) ∼ iω.

Цепочки рис.3а,б можно считать дифференцирующими поотношению к гармоническому сигналу при условииωτRC 1,ωτLR 1Условием дифференцирования произвольного напряжения uвх (t) будет выполнение этихнеравенств для всех спектральных компонент функции uвх (t). Практически достаточновыполнение этих неравенств для компонент, несущих подавляющую часть энергии сигнала.Энергией сигнала называют величинуZ∞E=−∞f 2 (t)dt =Z∞|S̃(ω)|2dω.2π(1.5)−∞(Равенство Парсеваля).Например, в случае прямоугольного импульса единичной амплитуды длительностьюτimsin ωτim /2.S̃(ω) =ω/295% энергии заключено в полосе частот от 0 до ω1 = 4π/τim .Спектральная плотность треугольного равнобедренного импульса длительностью τim2sin ωτim /4 τim.S̃(ω) =ωτim /4295% энергии такого импульса заключено в полосе частот от 0 до ω1 = 2π/τim .1.4.2Передаточная функция интегрирующих цепочек.Цепочки рис.1.6 называют интегрирующими поскольку при определенных условиях выходное напряжение в них подобно интегралу входного напряжения.Задание 1.2 Найдите АЧХ и ФЧХ цепочек рис.1.6.

Докажите, что напряжение навыходе будет подобно интегралу от гармонического входного напряжения, если выполняются условияωτRC 1,ωτLR 1.8К сведению, 95% энергии прямоугольного импульса сосредоточены в полосе 1/τim ÷ ∞.95% энергии треугольного импульса заключено в интервале 0.2/τim ÷ ∞.Задание 1.3 Исследуйте, как повлияет на частотные характеристики дифференцирующих и интегрирующих цепочек внутреннее сопротивление источника входного напряжения.Задание 1.4 Докажите, что передаточная функция цепочки рис.1.7 (цепочка Вина)K̃(ω) =1.1 + C2 /C1 + R1 /R2 + i(ω 2 R1 C1 R2 C2 − 1)/(ωR2 C1 )Найдите частоту, при которой фаза передаточной функции равна нулю. Нарисуйте графики АЧХ и ФЧХ.Задание 1.5 Докажите, что передаточная функция цепочки рис.1.8 (3-х звенная RCцепь)1.K̃(ω) =5161 − (ωRC)+i−2(ωRC)3ωRCНайдите частоту, при которой фаза передаточной функции равна π.

Нарисуйте графикиАЧХ и ФЧХ.1.4.3Переходные характеристики цепочек.Переходная характеристика вычисляется путем решения уравнения цепи с правой частьюв форме ступеньки единичной высотыЗадание 1.6 Докажите, что переходная характеристика дифференцирующих RC- иLR- цепочекt(1.6)hd (t) = e− τ , t ≥ 0а переходная характеристика интегрирующих цепочекthi (t) = 1 − e− τ ,t ≥ 0.(Здесь введено единое обозначение постоянных времени цепочек τ = τRC , τLR .)Рис.

1.6: Интегрирующие цепочки9(1.7)Рис. 1.7: Цепочка ВинаCCRCRRРис. 1.8: 3-х звенная RC-цепьЗадание 1.7 Найдите отклик дифференцирующих и интегрирующих цепочек на прямоугольный импульс при различных соотношениях между длительностью импульса τim ипостоянными времени цепочек. (Указание: представить прямоугольный импульс в видесуммы двух сдвинутых относительно друг друга ступенчатых функций (см. рис. 1.9.)1.4.4Импульсные характеристики цепочекИмпульсная характеристика вычисляется путем решения уравнения цепи с правой частьюв форме δ-импульса.Задание 1.8 Докажите, что импульсная характеристика дифференцирующих RC- иLR- цепочек1 t(1.8)gd (t) = δ(t) − e− τ ( t ≥ 0),τа импульсная характеристика интегрирующих цепочек равнаgi (t) =1 −te τ .( t ≥ 0)τ(1.9)Пример. Расчеты с помощью импульсной и переходной характеристик.Найдем uвых (t) дифференцирующей цепочки, если uвх (t) = at при t > 0. Подставив всоотношение (1.3) uвх = at и импульсную характеристику (1.8), получимZtuвых (t) =t1 t−ξaξ[δ(t − ξ) − e− τ ]dξ = aτ (1 − e− τ ).τ0С помощью переходной характеристики из (1.4) и (1.6) получим10U0τ0tU0τt-U0Рис.