Метода, страница 2

В этом случае стационарныйслучайный процесс ξ(t) называется эргодическим по отношению ккорреляционной функции. Вычисление корреляционной функциикак среднего по множеству в формуле (20) можно приближеннозаменить вычислением среднего по времени согласно формуле(21) или (22). В частности, при τ = 0 отсюда можно получить оценку для дисперсии эргодического процесса:TT11Dˆ ξ = ∫ ( x (t ) − mˆ ξ ) 2 dt = ∫ x 2 (t ) dt − mˆ ξ2 .T 0T 08(23)На практике оценку корреляционной функции обычно вычисляют по дискретным значениям реализации случайного процессаξ(ti). В этом случае вместо (21) используют следующую формулу:Kˆ ξ (m) =N −m1∑ ( x(ti ) − mˆ ξ )(x(ti+ m ) − mˆ ξ ),N − m + 1 i =0(24)где m = 0, 1, 2, …, N, N = T/Δt = Tfd.Из последней формулы при m = 0 получим оценку дисперсии истандартного (среднего квадратического) отклонения:Dˆ ξ =1 N∑ ( x(ti ) − mˆ ξ ) 2 ,N + 1 i =0σˆ ε = Dˆ ε .(25)Определив оценку корреляционной функции, можно вычислить и оценку спектральной плотности (11).

С учетом четностикорреляционной функции формулу (11) можно переписать в виде∞Sξ (ω) = 2∫ Kξ (τ) cos ωτ d τ.0Учитывая, что оценка корреляционной функции (24) полученана интервале [0; T], получим следующую формулу для вычисленияоценки спектральной плотности эргодического случайного процесса:NSˆξ ( ω ) = Δτ Kˆ ξ (0) + 2 Δτ ∑ Kˆ ξ ( m Δτ ) cos ω m Δτ,(26)m =1где Δτ = T/N.В данном цикле лабораторных работ предполагается, что рассматриваемые случайные процессы являются стационарными иэргодическими. Поэтому их статистические характеристики могутбыть определены как по формулам (14) – (16)), т. е.

путем усреднения по множеству реализаций, так и по формулам (19), (24), (25),предполагающим усреднение по времени, вычисляемое для однойреализации при достаточно большом времени наблюдения.С учетом условия (18) время наблюдения Т выбирают из условия | Kˆ ξ ( τ) | < ε при τ > T, где ε — достаточно малое положительное9число по сравнению с Kˆ ξ ( τ). Поскольку максимальное значениеKˆ ξ ( τ) обычно достигается при τ = 0, то можно выбрать, например,ε < 0,05 Kˆ ξ (0) = 0,05 D̂ξ .1.2. Определение характеристик стационарногослучайного процесса на выходе линейной системыРассмотрим линейную систему с постоянными параметрами,на вход которой поступает стационарный случайный процесс ξ(t).Система описывается своей передаточной функцией W(s) (рис. 1).Рис.

1. Линейная система, на вход которойпоступает случайный процессНиже приведены формулы, позволяющие определить основныехарактеристики случайного процесса на выходе системы x(t), еслиизвестна ее передаточная функция и соответствующие характеристики входного случайного процесса ξ(t), в том числе математическое ожидание, спектральную плотность, автокорреляционнуюфункцию и дисперсию случайного процесса x(t):mx = W (0)mξ ;2S x (ω) = W ( jω) Sξ (ω );∞K x (t ) =12W ( jω) Sξ (ω)e j ωt d ω;∫2π −∞∞12Dx =W ( jω) Sξ (ω)d ω.∫2π −∞(27)(28)(29)(30)Приведенные формулы можно использовать и для формирования случайного процесса с заданными характеристиками из белогошума с помощью формирующего фильтра.

Если случайный процесс ξ(t) на входе фильтра с передаточной функцией Wф(s) — белый шум, для которого mξ = 0, Sξ (ω) = с2, то в соответствии с при10веденными формулами характеристики случайного процесса x(t)на выходе формирующего фильтра составят соответственноmx = 0;2S x (ω) = Wф ( jω) с 2 ;∞21Dx =Wф ( jω) с 2 d ω.∫2π −∞(31)(32)Если задана спектральная плотность случайного процессаS x (ω) , то, используя формулу (31), можно подобрать частотнуюхарактеристику формирующего фильтра.Пусть теперь на вход системы подается аддитивная смесь полезного случайного сигнала ξ(t) и случайного сигнала η(t), являющегося помехой (рис. 2), тогда дисперсия ошибки ε(t) = ξ(t) – x(t)определяется следующим образом:∞Dε =где∞1122Sξ (ω) Φε ( jω) d ω +Sη (ω) W ( jω) d ω,∫∫2π −∞2π −∞Φε ( jω) =1.1 + W ( jω)(33)(34)Для замкнутой системы автоматического регулирования, навход которой подается аддитивная смесь полезного случайногосигнала ξ(t) и помехи η(t) (рис.

3), дисперсия ошибки является показателем точности отработки случайного полезного сигнала ивычисляется по формулеDε =∞∞1122Sξ (ω) Φε ( jω) d ω +Sη (ω) Φ( jω) d ω, (35)∫∫2π −∞2π −∞где Фε( jω) — частотная (амплитудно-фазовая) характеристиказамкнутой системы по ошибке, определяемая по формуле (34),Ф( jω) — частотная характеристика замкнутой системы по входному воздействию:W ( jω)(36)Ф( jω) =.1 + W ( jω)11Рис. 2.

Аддитивная смесьполезного сигнала и помехина входе линейной системыРис. 3. Замкнутая система автоматического регулированияВыражения (33), (35), определяющие дисперсию ошибки,представляют собой стандартные интегралы вида∞Jn =1hn ( jω) d ω(−1) n −1 N n=∫ gn ( jω) gn (− jω) 2a0 M n ,2π −∞(37)где hn ( j ω ) = b1 ( j ω ) 2 n − 2 + b2 ( j ω ) 2 n − 4 + ... + bn ;g n ( j ω ) = a 0 ( j ω ) n + a1 ( j ω ) n −1 + ...

+ a n .Определители Nn и Mn составляют по определенным правиламиз коэффициентов этих полиномов, например, для n = 3:b1a00a1a00N3 = b2a2a1 , M 3 = a3a2a1 .b30a300a3(38)Аналогично для n = 4:N4 =b1a000a1a000b2b3a2a4a1a3a0a, M4 = 30a2a2a4a1a3a0.a2b400a4000a4(39)Формулу (37) рекомендуется использовать для расчета дисперсии ошибки системы автоматического регулирования и в даннойлабораторной работе.121.3. Вычисление дисперсии сигналана выходе линейной системыПриведем пример расчета для разомкнутой системы, схема которой приведена на рис. 4.Рис.

4. Линейная система с формирующим фильтромНа вход системы подается случайный процесс — белый шумξ(t) со спектральной плотностью Sξ (ω) = c 2 .Сигнал на выходе формирующего фильтра с передаточнойфункцией Wф ( s ) =KфTф s + 1, т. е. входной сигнал линейной систе-мы x(t), будет иметь дисперсиюDx =∞Kф212c∫ T jω + 1 2 d ω.2π −∞ф(40)Дисперсия выходного сигнала y(t) будет равна∞Kф2122Dy =cΦ( jω) d ω,∫22π −∞ T jω + 1ф(41)где2Φ( jω) =K2T1 ( jω) 2 + jω + K2.Подынтегральные выражения в (40) и (41) представляют собойспектральные плотности соответствующих сигналов:13S x (ω) =S y (ω) =c 2 Kф2Tф jω + 12;(42)c 2 Kф2 K 2T1Tф ( jω)3 + (T1 + Tф )( jω )2 + (1 + KTф ) jω + K2.Поскольку спектральные плотности (42) представляют собойдробно-рациональные функции, то вычисление интегралов (40),(41) сводится к вычислению стандартного интеграла (37).Для дисперсии входного сигнала (40) получим:h1 ( jω) = c 2 Kф2 , g1 ( jω ) = Tф jω + 1 .Следовательно, коэффициенты многочленовb1 = c 2 K ф2 ; a0 = Tф ; a1 = 1;N1 = b1 = c 2 Kф2 ; M 1 = a1 = 1.Таким образом, по формуле (37) при n = 1 находим:Dx =2 2( −1)1−1 N1 c Kф=.2 a0 M 12TфПроведем аналогичные расчеты для дисперсии выходного сигнала.

В этом случае n = 3,h3 ( jω) = 0 ⋅ ( jω ) 4 + 0 ⋅ ( jω) 2 + c 2 K ф2 ;g3 ( jω ) = T1Tф ( jω)3 + (T1 + Tф )( jω) 2 + (1 + KTф ) jω + K .Выпишем коэффициенты многочленов:b1 = 0; b2 = 0; b3 = c 2 Kф2 ;a0 = T1Tф ; a1 = T1 + Tф ; a2 = 1 + KTф ; a3 = K .Теперь воспользуемся формулами (38):14N3 =M3 =00T1Tф1 + KTфc 2 Kф20T1 + TфT1TфK1 + KTф000T1 + Tф = c 2 K ф2T1Tф (T1 + Tф );K0T1 + Tф = K (T1 + Tф )(1 + KTф ) − KT1Tф .KОкончательно получим:Dy =c 2 K ф2T1Tф (T1 + Tф )( −1)3 −1 N 3==2a0 M 32T1Tф K (T1 + Tф )(1 + KTф ) − KT1T()=(c2K ф2 (T1+ Tф )2 K (T1 + Tф )(1 + KTф ) − T1T).Выше приведены основные математические формулы, используемые при выполнении лабораторных работ по статистическомуанализу автоматических систем.

Далее мы кратко остановимся навозможностях пакета MATLAB 7 при решении этих задач.2. ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MATLABДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗААВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМMATLAB — это программный пакет для технических вычислений, объединяющий средства вычисления, визуализации и программирования. Этому пакету посвящено достаточно много пособий, с которыми читатель может ознакомиться самостоятельно(см., например, [3, 4]).2.1. Определение характеристик эргодическогослучайного процесса с помощью пакета MATLABНиже дано описание основных операций, выполняемых пакетом MATLAB при определении характеристик случайного процесса с использованием формул, приведенных в разд. 1.15Для определения среднего значения (19) по элементам вектораvalues используется функцияmean(values)Она определяет среднее значение по каждому столбцу матрицы values.Для расчета стандартного отклонения по формуле (25) применяется функцияs = std(values,1)Стандартное отклонение рассчитывается по каждому столбцуматрицы values.

Второй параметр (в нашем случае 1) указывает,что вычисление стандартного отклонения необходимо проводитьименно в виде (25).Для определения дисперсии случайного процесса (25) необходимо применить дополнительные преобразования:disp = (std(values,1))^2/time_scaleгде time_scale — период дискретизации значений values.Для нахождения оценки корреляционной функции случайногопроцесса используется функция xcov:[covv,lags] = xcov(values,'coeff')Параметр 'coeff' указывает MATLAB, что расчет выполняетсяпо приведенной ниже формуле (43), следующей из формулы (24).Здесь xi = ξ(ti ) — измеренные значения реализации ξ(t). Функцияc(m) =1cxx (m − N ), m = 1, ..., 2 N − 1,N − m +1(43)⎧ N −| m| −1 ⎛1 N −1 ⎞⎛1 N −1 ⎞xnmxxn+−−()()⎪ ∑ ⎜∑ i ⎟⎜∑ xi ⎟ при m ≥ 0,где cxx (m) = ⎨ n = 0 ⎝N i = 0 ⎠⎝N i =0 ⎠⎪cxx ( −m) при m < 0,⎩определяет значения корреляционной функции covv для значений m, заданных вектором lags.Для определения спектральной плотности случайного процессапо его корреляционной функции используется алгоритм быстрого16дискретного преобразования Фурье — дискретный аналог формулы (11):N/2⎛ −2π j⎞(44)Sξ (ω) = Δt ∑ Kξ ((i −1)Δt)exp ⎜(i − 1)ω ⎟.N⎝⎠i =1Этот алгоритм реализован функциейSp = abs(fft(covv))Здесь covv — вектор значений корреляционной функции,fft(covv) — функция вызова алгоритма быстрого преобразования Фурье.

Функция abs() используется для нахождения модулякомплексной величины.2.2. Формирование случайного сигналаФормирование случайного сигнала выполняется методом формирующего фильтра (см. подразд. 1.2). В связи с этим нам понадобятся функции, выполняемые пакетом MATLAB по формированиюбелого шума, стандартных сигналов, а также по формированию заданной передаточной функции формирующего фильтра.Функция randn создает нормально распределенные случайные числа и массивы со средним значением 0, дисперсией σ2 = 1.Эта функция имеет видY = randn(m,n) или Y = randn([m n])Она вычисляет матрицу случайных элементов размером m×n.Для изменения дисперсии случайного сигнала можно использовать следующую конструкцию:for i = 1:size(Y)Y(i)= sqrt(disp_val)*Y(i);endсмысл которой состоит в том, что значение случайного сигнала вкаждый момент времени умножается на корень квадратный из желаемой дисперсии.Для создания сигналов стандартного вида (синусоида, прямоугольные импульсы и т.