Метода
Описание файла
PDF-файл из архива "Метода", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "статистическая динамика" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "статистическая динамика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.С. Ющенко, Д.С. ДелияСТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯМетодические указания к лабораторному практикумупо курсу «Статистическая динамика системавтоматического управления»Под редакцией А.С. ЮщенкоМоскваИздательство МГТУ им.
Н.Э. Баумана2009УДК 519.711.3ББК 22.161.6Ю985Ю985Рецензент д-р техн. наук, проф. В.С. МедведевЮщенко А.С., Делия Д.С.Статистический анализ линейных систем автоматического управления: Метод. указания к лабораторному практикуму по курсу «Статистическая динамика систем автоматического управления» / Под ред. А.С. Ющенко. — М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 52 с.: ил.В работе приведено описание трех лабораторных работ по курсу«Статистическая динамика систем автоматического управления» сиспользованием ПЭВМ и пакета MATLAB 7, посвященных формированию случайных процессов с заданными характеристиками, анализулинейной непрерывной автоматической системы при воздействии нанее случайного процесса и исследованию автоматической системыпри воздействии на нее случайного сигнала и помехи. Методическиеуказания содержат необходимые математические формулы, сведенияо пакете MATLAB 7, необходимые при проведении лабораторных работ, а также примеры проведения исследований.Для студентов старших курсов, обучающихся по направлениямподготовки 220400 «Мехатроника и робототехника» и 220200 «Управление в технических системах».УДК 519.711.3ББК 22.161.6Учебное изданиеЮщенко Аркадий СеменовичДелия Данила СергеевичСТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯРедактор С.А.
СеребряковаКорректор М.А. ВасилевскаяКомпьютерная верстка С.А. СеребряковойПодписано в печать 16.12.2008. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 2,83.Изд. № 148. Тираж 200 экз. Заказ.Издательство МГТУ им. Н.Э. БауманаТипография МГТУ им. Н.Э. Баумана105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5© МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2009ВВЕДЕНИЕДанное пособие предназначено для самостоятельного проведениястудентами цикла лабораторных работ по курсу «Статистическая динамика систем автоматического управления» на ПЭВМ с использованиемпрограммного пакета MATLAB. Такой курс предусмотрен в учебномплане ряда специальностей, связанных с автоматизацией, мехатроникой иробототехникой. Предполагается, что студенты знакомы с основным курсом теории автоматического управления и с теорией вероятностей. Длятого чтобы облегчить проведение лабораторных работ, в методическихуказаниях даны основные соотношения из курса «Статистическая динамика систем автоматического управления», которые используются пристатистическом анализе линейных стационарных автоматических систем.Приведено краткое описание возможностей пакета MATLAB 7 для проведения такого анализа.В пособии даны указания к проведению трех лабораторных работ,объединенных в общий цикл.
Вначале нужно построить формирующийфильтр, позволяющий получить случайный процесс с заданными статистическими характеристиками. Затем провести исследование системы, навход которой поступают детерминированный сигнал и случайная помеха.Наконец, предлагается исследовать замкнутую систему автоматическогорегулирования, ко входу которой приложен случайный сигнал, представляющий собой аддитивную смесь полезного случайного сигнала и случайного шума. Описание каждой лабораторной работы сопровождаетсяпримерами.
Для того чтобы правильно интерпретировать получаемыерезультаты, мы рекомендуем предварительно выполнить статистическоеисследование в аналитической форме с использованием приведенных впособии соотношений. Более подробную информацию о методах статистического анализа автоматических систем и о возможностях пакетаMATLAB можно найти в литературе, список которой приведен в концепособия [1 – 4].31.
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ,ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕАВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ1.1. Характеристики случайных процессовОсновными характеристиками случайных величин являютсяфункция распределения вероятности и плотность распределениявероятности. Функция распределения случайной величины ξ, принимающей любые вещественные значения, определяется соотношениемFξ (x) = P{ξ < x}(1)и представляет собой вероятность того, что случайная величина ξпринимает значения, меньшие заданного значения x.Плотность распределения вероятности случайной величины ξможет быть определена по функции распределения вероятностис использованием формулыpξ (x) =dFξ (x)dx.(2)Случайный процесс определяется множеством случайных реализаций ξ(t), 0 ≤ t ≤ T.
Фиксируя произвольным образом моментывремени ti, i = 1, 2, …, N, можно получить N-мерную случайную величину ξ = [ξ(t1), ξ(t2),…,ξ(tN)], т. е. случайный вектор, компонентами которого являются случайные величины, представляющие собойзначения реализаций ξ(t) в дискретные моменты времени. Такимобразом, случайный процесс характеризуется множеством функцийраспределения вероятности, определяющих векторную случайнуювеличину ξ:4Fξk (x1 , x2 ,..., xk , t1, t2 ,..., tk ) = P{ξ(t1 ) < x1, ξ(t2 ) < x2 , ..., ξ(tk ) < xk }, (3)где k = 1, 2, …, N, или соответствующим множеством плотностейраспределения вероятности:p ξ k ( x1 , x 2 , ..., x k , t1 , t 2 , ..., t k ) ==∂kFξ k ( x1 , x 2 , ..., x k , t1 , t 2 , ..., t k ), (4)∂ x1∂ x 2 ...∂ x kгде k = 1, 2, …, N.Используя плотности распределения вероятности, можно определить моменты различного порядка для случайного процессаξ(t). Наиболее часто применяют начальный момент первого порядка (математическое ожидание):∞mξ (t ) = M {ξ(t )} =∫ xpξ1(x, t)dx(5)−∞и центральный момент второго порядка (корреляционную (автокорреляционную) функцию):K ξ (t1 , t2 ) = M {ξ(t1 ) ξ(t2 )} ==∞ ∞∫ ∫ ( x1 − mξ (t1 ))(x2 − mξ (t2 )) pξ2 ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2 .
(6)−∞ −∞Из последнего выражения можно также найти дисперсию случайного процесса:Dξ (t ) = M {ξ(t ) ξ(t )}.(7)Взаимнокорреляционную функцию двух случайных процессовξ(t) и η(t) определяют по формулеKξη (t1, t2 ) = M{ξ(t1) η(t2 )} ==∞ ∞∫ ∫ (x1 − mξ (t1))(x2 − mξ (t2 )) pξη2(x1, x2 ,t1, t2 )dx1dx2.(8)−∞ −∞5Напомним, что случайный процесс ξ(t) называется стационарным (в широком смысле), если его математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разностиаргументов:mξ (t ) = mξ = const ,(9)Kξ (t1, t2 ) = Kξ (t1 − t2 ) = Kξ (τ).(10)Для стационарных процессов можно определить спектральнуюплотность случайного процесса как преобразование Фурье корреляционной функции:∞Sξ (ω) =∫ Kξ (τ)e− j ωτd τ.(11)−∞По заданной спектральной плотности можно определить корреляционную функцию:∞K ξ (τ) =1j ωτ∫ Sξ (ω)e d ω.2π −∞(12)Из последней формулы следует и выражение для вычисления дисперсии стационарного случайного процесса по его спектральнойплотности:∞1(13)Dξ = K ξ (0) =∫ Sξ (ω)d ω.2π −∞При статистической обработке случайных сигналов используются методы и формулы математической статистики.Пусть на интервале времени [0, T] экспериментально полученоn реализаций случайного процесса ξ(t), которые мы обозначимxi(t), i = 1, 2, …, n.
Тогда оценка математического ожидания случайного процесса может быть определена по формулеmˆ ξ (t ) =1 n∑ xi (t ).n i =1(14)Оценка (14) является несмещенной, т. е. M {mˆ ξ } = mξ , и состоятельной, поскольку выполняется условие lim D{mˆ ξ } = 0.n →∞6Вычислив оценку математического ожидания случайного процесса, можно найти оценку его автокорреляционной функции поформуле1 nKˆ ξ (t1 , t2 ) =∑ (xi (t1) − mˆ ξ (t1 ))(xi (t2 ) − mˆ ξ (t2 )).n − 1 i =1(15)11, а не , чтобы обеспечитьn −1nнесмещенность оценки (15).
Ее состоятельность, как и состоятельность оценки математического ожидания, можно легко проверить.Для оценки дисперсии из последней формулы получим:Здесь используется множитель1 nDˆ ξ (t ) =∑ (xi (t) − mˆ ξ (t ))2 .n − 1 i =1(16)При исследовании статистических характеристик стационарных случайных процессов часто применяют эргодическую гипотезу, позволяющую существенно упростить их вычисление. В этомслучае вместо усреднения значений множества реализаций в однии те же моменты времени, как в формулах (14) – (16), усредняютзначения одной реализации, взятые в различные моменты времени.Стационарный процесс называется эргодическим по отношению к математическому ожиданию, если является несмещенной исостоятельной следующая статистическая оценка математическогоожидания, определяемая по одной его реализации x(t), измеряемойна интервале времени [0; T]:T1mˆ ξ = ∫ x (t ) dt .T 0(17)Эта оценка является несмещенной и состоятельной, если выполняются условия M {mˆ ξ } = mξ и lim D{mˆ ξ } = 0.
Нетрудно непосредn →∞ственно убедиться в несмещенности оценки (17). Для ее состоятельности нужно дополнительно потребовать, чтобы выполнялосьусловиеlim K ξ (τ) = 0.τ→∞(18)7Смысл последнего условия состоит в том, что значения случайныхвеличин ξ(ti) и ξ(tj) становятся слабо коррелированными при увеличении временного интервала (tj – ti).Для практических расчетов по формуле (17) используют приближенное соотношение1 Nmˆ ξ =(19)∑ x(ti ).N + 1 i =0В частности, если интервал [0; T] разбит на N элементарных интервалов длиной Δt = T/N, то ti = iΔt, i = 0, 1, …, N.
Можно также записать, что N = T/Δt = Tfd, где fd = 1/Δt — частота дискретизации, Гц.Рассмотрим теперь оценку корреляционной функции стационарного случайного процесса:Kξ ( τ) = M {(ξ(t ) − mˆ ξ )(ξ(t + τ) − mˆ ξ )}.(20)Обозначив x(t) отдельную реализацию случайного процесса ипринимая во внимание, что интервал, на котором происходит вычисление оценки корреляционной функции, равен [0; T – τ], получим следующую формулу для оценки корреляционной функции:Kˆ ξ ( τ) =1T −τилиT −τ∫( x (t ) − mˆ ξ )( x (t + τ) − mˆ ξ ) dt ,(21)01Kˆ ξ (τ) =T −τT −τ∫ˆ ξ2 .x(t )x(t + τ) dt − m(22)0Эти оценки являются несмещенными, а для их состоятельностидостаточно выполнения условия (18).