plan14 (В.А. Кондратьев, Ю.С. Ильяшенко - Программа и задачи к экзамену + общий план занятий)

Çàíÿòèå ïîñëåäíåå. Ïîäêîâà Ñìåéëà.ÒåîðèÿÎòîáðàæåíèå ïîäêîâûàçäåëèì êâàäðàò íà ïÿòü ðàâíûõ ãîðèçîíòàëüíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ è ïÿòü ðàâíûõ âåðòèêàëüíûõ. Âòîðîé è ÷åòâåðòûé ñíèçó ïðÿìîóãîëüíèêè îáîçíà÷èì ÷åðåç D0 è D1 . Âòîðîé è ÷åòâåðòûé′′ñëåâà ïðÿìîóãîëüíèêè îáîçíà÷èì ÷åðåç D0 è D1 .Îòîáðàæåíèå ïîäêîâû f : D = D0 ∪ D1 → D′ = D0′ ∪ D1′ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Íà D0 îòîáðàæåíèå f àèííî è ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé òðåõ îòîáðàæåíèé: ðàñòÿæåíèÿ â 5 ðàç′ïî âåðòèêàëè, ñæàòèÿ â 5 ðàç ïî ãîðèçîíòàëè è òàêîãî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, ÷òî f (D0 ) = D0 .′Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ f íà D1 , f (D1 ) = D1 .àññìîòðèì ìíîæåñòâîΛ ⊂ D,ñîñòîÿùåå èç âñåõ òî÷åêx,äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíû "ïîëíûåîðáèòû"Ox = {f n x| n ∈ Z}.Îïðåäåëåíèå.Ñóäüáàòî÷êèx∈Λ ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüω = (ωj ), j ∈ Z,èç íóëåé è åäèíèö,îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:ω = (ωj ),ωj =½01ïðèïðèf j x ∈ D0 ;f j x ∈ D1 .Òåîðåìà 1.

Ìíîæåñòâî Λ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ êàíòîðîâñêèõ ìíîæåñòâ,ïîëó÷àåìûõ äåëåíèåì îòðåçêà íà 5 ÷àñòåé ñ óäàëåíèåì 1, 3 è 5 ÷àñòè.Òåîðåìà 2. Êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé è åäèíèö ðåàëèçóåòñÿ êàê ñóäüáà îäíîé è òîëüêî îäíîé òî÷êè ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ ïîäêîâû.Òåîðåìà 3. Òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé äëÿ îòîáðàæåíèÿ ïîäêîâû, åñëè è òîëüêî åñëè ååñóäüáà ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Çàäà÷è1. Ïîñòðîèòü àíàëîã îòîáðàæåíèÿ ïîäêîâû, äëÿ êîòîðîãî ñóäüáà òî÷åê, èìåþùèõ ïîëíóþ îðáèòó,ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èç òðåõ ñèìâîëîâ, è ëþáàÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåàëèçóåòñÿêàê ñóäüáà îäíîé è òîëüêî îäíîé òî÷êè.Ïóñòüf îòîáðàæåíèå ïîäêîâû,g åãî àíàëîã èç çàäà÷è 1.g è f.n äëÿ îòîáðàæåíèé f è g .nn4.

Ñêîëüêî òî÷åê èìåþò îðáèòû, äëÿ êîòîðûõ f (x) → a ïðè n → +∞, f (x) → b ïðè n → −∞,ãäå a è b ðàçëè÷íûå íåïîäâèæíûå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ f ?5*. Ïîñòðîèòü îòîáðàæåíèå,îïðåäåëåííîå íà ïðÿìîóãîëüíèêàõ D0 , D1 èç ðàçäåëà òåîðèÿ, íà2. Íàéòè ÷èñëî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äëÿ îòîáðàæåíèé3. Íàéòè ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ïåðèîäàïëîñêîñòü, äëÿ êîòîðîãî ñóäüáà òî÷åê, èìåþùèõ ïîëíóþ îðáèòó, ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èç0 è 1, â êîòîðîé äâå åäèíèöû íå ñòîÿò ïîäðÿä.6**.

Ïîñòðîèòü îòîáðàæåíèå èç çàäà÷è 5, äëÿ êîòîðîãî êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áåç äâóõåäèíèö ïîäðÿä ðåàëèçóåòñÿ êàê ñóäüáà îäíîé è òîëüêî îäíîé òî÷êè. Îáîñíîâàòü îòâåò.7. Ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüPnïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò îòîáðàæåíèÿ ïîäêîâûñóùåñòâîâàëè äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åêòî÷êàì îòîáðàæåíèÿxn ∈ Pn , yn ∈ Pn ,f (îòîáðàæåíèÿω−n . . . ω0 . . . ωn−1 .Ìîäèèöèðóåì îòîáðàæåíèå f , ñ÷èòàÿ, ÷òî êâàäðàò ðàçäåëåí íà 25 ðàâíûõ ãîðèçîíòàëüíûõ′′ðàâíûõ âåðòèêàëüíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, D0 , D1 , D0 è D1 ïî-ïðåæíåìó âòîðîé è ÷åòâåðòûéñîäåðæèò îäèí è òîò æå îòðåçîê9.è 25òàê, ÷òîáûf.8. Íàéòè äèàìåòð ìíîæåñòâà òî÷åê, ñóäüáà êîòîðûõ ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿg)fñõîäÿùèåñÿ ê ðàçíûì íåïîäâèæíûì12ñëåâà (ñîîòâåòñòâåííî, ñíèçó) ïðÿìîóãîëüíèêè. Îòîáðàæåíèåòàê æå, êàê è îòîáðàæåíèåf,h : D0 ∪ D1 → D0′ ∪ D1′îïðåäåëÿåòñÿòîëüêî ðàñòÿæåíèå è ñæàòèå ïðîèçâîäÿòñÿ â 25 ðàç.Λ1 îòîáðàæåíèÿ h;H : Λ → Λ1 , ñîïðÿãàþùèé îòîáðàæåíèÿ fà) Îïèñàòü èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâîá) Ïîñòðîèòü ãîìåîìîðèçìèh.

Óêàçàíèå: HèH −1ïåðåâîäÿò äðóã â äðóãà òî÷êè ñ îäèíàêîâîé ñóäüáîé.â) Äîêàçàòü, ÷òî ãîìåîìîðèçìHóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ åëüäåðà è íàéòè ïîêàçàòåëü åëü-äåðà.ã) Ñóùåñòâóåò ëè íåïîñòîÿííàÿ íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ íà îòðåçêå ñ ïîêàçàòåëåì åëüäåðà áîëüøå 1?ä) Òîò æå âîïðîñ äëÿ óíêöèè íà Êàíòîðîâîì ìíîæåñòâå.Σ2 äâóñòîðîííèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç íóëåé è åäèíèö10. Ïðîâåðèòü, ÷òî íà ïðîñòðàíñòâåìîæåò áûòü çàäàíà ìåòðèêà ñëåäóþùèì îáðàçîì:d(ω, ω ′ ) =½0, ω = ω ′ ;2n , ãäå n = min{k ∈ Z+ | ωk 6= ωk′11. Äîêàçàòü, ÷òî ñäâèã Áåðíóëëè12. Äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå0fσ : Σ2 → Σ2∆′ω−k 6= ω−k}, Êàíòîðîâñêîå ìíîæåñòâî;Fèìååò ïëîòíóþ â∆ω 6= ω ′ .Λ îðáèòó.F : R → R, F (x) = 2−|4x−2|.

Ïóñòü ∆ = {x ∈ R| F n (x) >á) ìíîæåñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò îòîáðàæåíèÿâ) îòîáðàæåíèååñëèÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðèçìîì.èìååò ïëîòíóþ â13. (Tent map) àññìîòðèì îòîáðàæåíèå+äëÿ ëþáîãî n ∈ Z }. Äîêàæèòå, ÷òî:à)èëèîðáèòó.Fïëîòíî â∆;.