Глава 2b (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций), страница 4

Однако энергиюэлектромагнитного поля часто необходимо передавать от излучателя (возбудителя) к нагрузкетак, чтобы она не рассеивалась в пространстве, а по возможности целиком поступала внагрузку, для чего она должна бытьлокализована в части пространства – определенномканале. В качестве таких каналов используются волноведущие (направляющие) системы.Основой любой волноведущей системы являются волноводы.Волновод – это специальное устройство или канал в неоднородной среде, в котором могутраспространяться волны различной природы: акустические (в акустических волноводах),электромагнитные (в радиоволноводах, световодах), сейсмические и другие.Одним из первых исследователей волноведущих систем был лорд Дж. У.

Рэлей, которыйизучал акустические волны в органных трубах. Эти исследования были выполнены в конце XIXвека на чисто физическом уровне строгости.Начало строгой математической теории волноведущих систем было положено в 1947-1948 гг.классическими работами А.Н.Тихонова и А.А.Самарского:а) О возбуждении радиоволноводов //Журнал технической физики. 1947. Т.

27, вып. 11, 12. С.1283-1296, 1431-1440.Для уравнения Гельмгольца в цилиндрической области впервые построена функция Грина ивыделена ееособенность, что потребовало доказательства полноты системы собственныхфункций регулярного волновода.б) О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Журнал техническойфизики. 1948. Т. 28, вып. 7.

С. 959-970.Строго доказано, что любое электромагнитное поле в регулярном волноводе в области, свободной отвнешних зарядов и токов, может быть представлено в виде суперпозиции поперечномагнитных ипоперечноэлектрических волн ТМ и ТЕ полей, каждое из которых можно описать в виде краевой задачи дляскалярного уравнения Гельмгольца.Проведенные фундаментальные исследования послужили основой для создания строгой математическойтеории возбуждения регулярных волноводов произвольным распределением заданного тока.Эти результаты позволили П.Е.Краснушкину ввести понятие нормальной волноводной волны или моды.ПослефундаментальныхработА.Н.Тихонова,А.А.Самарского,В.Г.Кисунько,П.Е.Краснушкина, Луи де Бройля и ряда других ученых электродинамика волноведущихсистем превратилась в строгую математическую теорию, определившую новое научноенаправление в математической физике.Рассмотримполыйволноводпроизвольногосечения,представляющийсобойцилиндрическую трубу, неограниченно простирающуюся вдоль оси Z.Введем следующие обозначения: Σ- боковая поверхность волновода; S – поперечноесечение волновода; С – контур, ограничивающий это сечение.Сделаем следующие предположения:а) стенки волновода являются идеально проводящими;б) заполняющая волновод среда является однородной и характеризуется следующимиε 1,=µ 1,=σ 0;значениями параметров:=в) внутри волновода отсутствуют источники поля;г) поля зависят от времени по гармоническому закону e− iωt.Уравнения Максвелла, описывающие поле внутри волновода, имеют следующий вид:rotH = −ikE,rotE = ikH,divH = 0,divE = 0,гдеk=ωволновое число.cПоскольку стенки волновода являются идеально проводящими, тангенциальная компонентаэлектрического вектора равна нулю:EtC= 0.Покажем, что внутри волновода могут распространяться бегущие электромагнитыеволны.Будем искать решение в виде=E grad divП + k 2 П,H = −ikrotП,где П – поляризационный потенциал.а) Рассмотрим случай, когда вектор П имеет всего одну компоненту, направленнуювдоль оси Z( H z = 0).В этом случае система уравнений Максвелла приводит к уравнению Гельмгольца дляполяризационного потенциала:2∆П + k=П 0, =( П П iz ).Граничное условие идеально проводящей стенки приводит к следующему граничномуусловию:П Σ = 0.Записав трехмерный оператор Лапласа следующим образом∂ 2u∂ 2u ∂ 2u∆u =∆ 2u + 2 , ∆ 2u = 2 + 2 ,∂z∂x∂yбудем искать решение в видеП ( M , z ) =ψ ( M ) f ( z ),где М – точка, лежащая в поперечном сечении.

Нас будет интересовать нетривиальноерешение задачи.Будем решать задачу методом разделения переменных (методом Фурье). Подставляярешение вида П ( М , z ) = ψ ( M ) f ( z ) в уравнение, получим:f ′′ ( z )∆ 2ψ ( M )f ( z ) ∆ 2ψ ( M ) +ψ ( M ) f ′′ ( z ) + k ψ ( M ) f ( z ) =0 ⇒=−− k 2.f ( z)ψ (M )2В левой части последнего равенства стоит функция зависящая от M, а в правой части –функция зависящая от z, причем равенство должно выполняться при любых допустимыхзначениях M и z, что возможно только в том случае, когда левая и правая стороны равенствасохраняют постоянное значение, то есть∆ 2ψ ( M )f ′′ ( z )=−− k2 =−λ ,ψ (M )f ( z)λ=const.Таким образом, для функции ψ ( z ) мы получаем следующую задачу на собственныезначения (задачу Штурма-Лиувилля): найти те значения параметра λ , при которых краеваязадача ∆ 2ψ + λψ= 0, M ∈ S ,M ) 0, M ∈ С.ψ ( =имеет нетривиальные решения, и сами эти решения. При этом значения параметраλ носятназвание собственных значений, а нетривиальные решения называются собственнымифункциями.Из общей теории следует, что рассматриваемая задача на собственные значениясчетное множество вещественных собственных значенийсистему собственных функций{ψ ( M )}.n{λn }иимеетсоответствующую имДля функции f ( z ) получаем уравнениеf n′′( z ) + ( k 2 − λn ) f n ( z ) =0,общее решение которого имеет следующий вид:=f n ( z ) An eiγ n z + Bn e − iγ n z .γnПостоянная =k 2 − λn называется постоянной распространения.Если временная зависимость выбирается в виде e− iωt, то первый член в правой частиформулы для f n ( z ) соответствует правой собственной волне (правой моде), а второй членсоответствует левой собственной волне (левой моде).

Таким образом поле внутри волноводапредставляет собой суперпозицию правых и левых мод.Рассмотрим правую собственную волну (моду)f n ( z ) = An eiγ n z ,тогда получим решение в виде:Пn ( M , z ) = Anψ n ( M ) eiγ n z ,где постоянная An определяется из условия возбуждения полей.Подставляя полученное выражение в формулы, связывающие векторы Е, Н, П, и− iωtвосстанавливая временной множитель e , найдем составляющие поля n-й правой моды ввидеFn ( M ) e (i γ n z −ωt ),где Fn − функция, выражающаяся через собственную функцию ψ n ( M ) или ее производные.Заметим, что собственные функции ψ n ( M ) носят название функций сечения.Поле в волноводе в общем случае является суперпозицией правых и левыхсобственных волн (мод).2Если k > λn , тоγ n вещественно и мы получаем бегущую волну, распространяющуюсявдоль оси Z с фазовой скоростьюv=ω=k 2 − λnc1−λn> c.k2Групповая скорость волны равнаλc2u = = c 1 − n2 < c,vkто есть в пустом волноводе имеет место дисперсия.2, то γ n i χ nЕсли k < λn=затухающую волну( χ n > 0 ) и вместо распространяющейся волны получаемFn ( M ) e − iωt − χn z ,распространяющуюся вдоль оси Z в положительном направлении.Так как собственные числаλn , представляющие собой собственные частоты мембраны S,неограниченно возрастают с увеличением номера n , то какова бы ни была частотаω,начиная с некоторого номера n=N , будем иметь k 2 < λn .Следовательно, в волноводе может распространяться лишь конечное число бегущих волн.Если k 2 < λ1 , то волноводе не может существовать ни одной бегущей волны («запертыйволновод»).

Частота, начиная с которой в волноводе начинает распространяться некотораябегущая мода, называется частотой отсечки данной моды.Для того, чтобы в волноводе заданной формы и размеров могла распространяться хотя быодна бегущая волна, должно, очевидно, выполняться условиеλ1 < k ,2илиΛ<2π,λ1где Λ − длина волны, распространяющейся в волноводе.Рассмотрим прямоугольный волновод, поперечное сечение S которого представляетсобой прямоугольник со сторонами a и b.Найдем для него функции сечения, которые являются решением задачи на собственныезначения: ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂х 2 + ∂y 2 + λψ = 0, x ∈ ( 0, a ) , y ∈ ( 0, b ) ,, 0 ) u ( x=, b ) 0, x ∈ [ 0, a ] ,u ( x=, y ) 0, y ∈ [ 0, b ].y ) u ( a=u ( 0,=Данную задачу также будем решать методом разделения переменных:ψ ( x, y ) =X ( x ) Y ( y )X ′′ ( x ) Y ′′ ( y )X ′′ ( x )Y ′′ ( y )⇒++ λ =0 ⇒=−− λ =− µ ⇒X ( x) Y ( y)X ( x)Y ( y)X ′′ ( x ) + µ X ( x ) =0, X ( 0 ) =X ( a ) =0,Y ′′ ( y ) + ( λ − µ ) Y ( y =) 0, Y ( 0=) Y ( b =) 0.Решение задачи для нахождения функции X ( x ) имеет вид:X ( x) =A cos µ x + B sin µ x ⇒ X ( 0 ) =A=0 ⇒ X (a) =B sin µ a =0⇒π mxπm µ a = π m, m = 1, 2,...

⇒ µ = µm = ⇒==XxXxBsin, m = 1, 2,...( ) m( ) ma a 2Заметим, что собственные функции, как решения однородного уравнения, удовлетворяющиеоднородным граничным условиям, определяются с точностью до произвольного множителя.Поэтому положим =Bm 1,=m 1, 2,...Аналогично решается задача для функции Y ( y ) :πn 2µm   ⇒Y (=y ) A cos λ − µm у + B sin λ − µm y ⇒ λ −= b πm 2πn π ny2Yn ( y ) =1, 2,...; Y ( y ) =sin, n=1, 2,... , m, n =b b λ=λm,n =+  a Таким образом функции сечения для волновода прямоугольного сечения имеют вид:π mxψ m , n ( x, y ) =sinasinπ nybπm  πn =1, 2,... + , m, n = a   b 2, λm ,n2В волноводе прямоугольного сечения бегущая волна может существовать лишь при условииk > λ1,1илиΛ<2πλ1,11 1⇒ k >π 2 + 2a b⇒ Λ<21 1+ 22a b.Рассмотренные здесь собственные волны (моды), удовлетворяющие условию H z = 0,называются электрическими волнами, или поперечно-магнитными волнами (волнами типаТМ).b) Рассмотрим теперь решения уравнений Максвелла с равной нулю Z- составляющейэлектрического поля ( Ez = 0 ) .Введем векторТогда функцияˆ = П̂i и положимПzˆ =ikrotПˆ, Hˆ =graddiv Пˆ + k2 Пˆ,EП̂ удовлетворяет уравнению∆Пˆ + k 2 Пˆ =0и граничному условию Неймана на поверхностиΣ∂Пˆ= 0.∂n( Eˆz)=0 .Повторяя рассуждения пункта a), найдем решение этой задачи=Пˆ n Anψˆ n ( M ) eiγˆn z(=γˆn)k 2 − λˆn ,которым соответствуют решения уравнения Максвелла вида:i ( γˆn z −ωt )ˆFn ( M ) e.Здесьψˆ n ( M ) функции сечения и соответствующие собственные значения задачиШтурма-Лиувилля∆ 2ψˆ n + λˆnψˆ n =0 ∂ψˆ nM ∈ C.=0 ∂nM ∈ S,Волны такого типа называются магнитными или поперечно электрическими волнами(ТЕ-волнами).Можно показать, что любое поле в волноводе представимо в виде суммы полей ТЕ иТМ типа.Следовательно, любое поле в регулярном волноводе можно определить, если известны двескалярные функции П ( M , z ) и Пˆ ( M , z ) , являющиеся z-компонентами поляризационныхпотенциаловП и П̂ соответственно.Парциальные условия излученияРассмотрим плоский волновод с локальной нерегулярностью.Приx≤0иx≥aволновод регулярный: его заполнение однородно игеометрия сечения постоянна.Нормальные волны (моды) – частные решения видаu ( x, y )  ei x  ( y ),гдеγПоле– постоянная распространения,u ( x, y )ψ ( y)(30)- функция сечения.в волноводе удовлетворяет уравнению Гельмгольца:u  k 2u  0, ( x, y )  V  1  (0, b),где2(31)2k=( x, y ) k ( x, y ) + ik ( x, y ),2k12 const ,=x < 0, 22=k ( x, y )  k ( x, y ), 0 < x < a, k 2 const ,=x > a. 2Электродинамический случай:k 2 ( x, y ) = k02ε ( x, y ), гдеk0 = ωc - волновое число, ε ( x, y ) - диэлектрическая проницаемость.(32)u ( x, 0)  0, u ( x, b)  0, x  1 - граничные условия (например, идеально проводящие стенки).Для функций сечения получаем задачу Штурма-Лиувилля: ( y )   ( y )  0, 0  y  b, (0)  0,  (b)  0,гдеλ= k 2 − γ 2 .ny2n ( y ) sin,bb n n    , (n  1, 2,...) b 2Существует счетное множество нормальных волн (мод) вида:un ( x, y )  ein x n ( y ),  n  k 2  n , (n  1, 2,...)( x ≤ 0, x ≥ a ).приПусть на неоднородность падает слева нормальная волна индексаx = 0 парциальные условия излучения приамплитудой An0 .