Глава 2b (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций), страница 2

Глубина проникновения тепла в почву зависит от периодаколебания температуры на поверхности. Относительное изменение температурной амплитудыравноA( x)ω = exp  −x .2 A 2a Эта формула показывает, что чем меньше период, тем меньше глубина проникновениятемпературы. Для температурных колебаний с периодами T1 , T2 глубиныкоторых происходитx1 , x2 , наодинаковое относительное изменение температуры, связанысоотношениемT2x2 =x1.T1Рассмотрим в качестве примера результаты наблюдений над годовыми температурнымиколебаниями (станция Гош в Приамурье).Глубина (м)Амплитуды (град С)1211,56,834,242,6Эти данные показывают, что амплитуда годовых колебаний на глубине 4 м уменьшается до13.3% своего значения на поверхности, равного 19,5.

На основании этих данных можноопределить коэффициент температуропроводности почвыa 2 . Используя формулыA( x)ωω x22x,a =ln,=−22A2a2 ln ( A ( x ) / A )находим, что коэффициент температуропроводности почвы равенa 2 ≈ 4 ⋅10−2 см 2 / c.Время запаздывания максимальной температуры на глубине 4 м достигает 4 месяцев.Замечание. Рассмотренная теория относится к распространению тепла в сухой почве илигорных породах. Наличие влаги усложняет температурные явления в почве, и при замерзаниипроисходит выделение скрытой теплоты, не учитываемой данной моделью.3) Уравнение диффузииЕсли среда неравномерно заполнена газом, то имеет место его диффузия из мест с болеевысокой концентрацией в места с меньшей концентрацией.

Это же явление имеет место и врастворах, если концентрация растворенного вещества в объеме непостоянна.Рассмотрим процесс диффузии в полой трубке или в трубке, заполненной пористой средой.Предположим, что: 1) в любой момент времени концентрация газа (раствора) по сечениютрубки одинакова (этом случае процесс диффузии может быть описанпредставляющей собой концентрацию в сечении x в момент времени t);источников вещества; 3) диффузия через стенки трубки отсутствует.функцией u ( x, t ) ,2) в трубке нетВведем обозначения: tD – коэффициент диффузии; S – площадь сечения трубки; W (х, t) – плотностьдиффузионного потока, равная массе газа, протекающего за единицу времени через единицуплощади; u(x, t) – концентрация газа (раствора); с(х) – коэффициент пористости, равныйотношению объема пор к полному объему V, равному в нашем случае V=Sdx.Закон Нернста.

Масса газа, протекающего через сечение х за промежуток времени ( t , t + ∆t ) ,равна∂u∂udQ =− D ( x, t ) Sdt =WSdt , W =−D .∂x∂xКоличество газа Q в объеме V равно Q=uV .Изменение массы газа ∆Q на участке трубки( x, x + ∆x ) при изменении концентрации наx +∆x∆u равно=∆Q∫ c ( x ) ∆u S dx.xУравнение баланса массы газа на участке ( x, x + ∆x ) за промежуток времени ( t , t + ∆t )имеет вид:t +∆tS∫t∂u∂u D ( x + ∆x ) ∂x ( x + ∆x,τ ) − D ( x ) ∂x ( x,τ ) dτ =x +∆x= S∫ c (ξ ) u (ξ , t + ∆t ) − u (ξ , t )dξ .xПрименяя формулу среднего значения в предположении необходимой гладкости входящихфункций и переходя к пределу при ∆x → 0, ∆t → 0, получим уравнение диффузии:∂ ∂u ∂u D ( x)  = c ( x) .∂x ∂x ∂tЕсли коэффициент диффузии постоянен, то уравнение диффузии имеет вид:D.=ut a=u xx , ac22Если коэффициент пористости равен 1, а коэффициент диффузии постоянен, то -ut = Du xx .4) Температура тонкой проволоки, нагреваемой электрическим токомРассмотрим тонкую проволоку, нагреваемую постоянным электрическим током.

Предположим,что на поверхности проволоки происходит конвективный теплообмен по закону Ньютонасокружающим воздухом, имеющим известную температуру. Предположим также, что концыпроволоки зажаты в массивные клеммы с заданной теплоемкостью и очень большойтеплопроводностью.Обозначения: 1)a2 −теплопроводности; 3)теплоемкость; 6)коэффициентρ−температуропроводности;2)k−коэффициентплотность; 4) S – площадь поперечного сечения; 5) с – удельнаяα − коэффициент теплообмена между поверхностью стержня и окружающейсредой; 7) p – периметр поперечного сечения стержня; 8) c1 , c2 − теплоемкость клемм.Для получения дифференциального уравнения рассмотрим уравнение баланса тепла дляэлемента ( x, x + ∆x ) провода.Приращение тепла за единицу времени равно∂u∆Q1 = c ρ∆x .∂tЭто приращение тепла складывается из следующих сотавляющих.а) Количество тепла, поступившего в выделенный элемент за единицу времени черезсечения x и x + ∆x :∆Q2 =− Sk∂u∂u+ Sk∂x x∂x.x +∆xВыбор знаков в правой части формулы определяется следующим образом.Будем считать, чтоx + ∆x > x(это, очевидно, не нарушает общности рассуждений).

Еслина торце x выделенного элемента будет ∂∂ux > 0,то в точках, лежащих правее торца (то естьвнутри элемента), температура будет выше, чем в точках лежащих левее торца (то есть внеэлемента), тепло будет вытекать из элемента и, следовательно, первый член в правой частипоследней формулы нужно брать со знаком минус. Если же ∂∂ux < 0, то температура левее торцабольше, чем температура правее торца, поэтому тепло будет втекать в стержень, первый членсуммы в правой части формулы должен быть положительным и, следовательно, переднимснова должен стоять знак минус. Аналогично проверяется знак при втором члене в правойчасти формулы.б) Поток тепла через боковую поверхность провода, вследствие несовершенстватеплоизоляции, равен:тепло∆Q3 =−α p∆x ( u − u0 ) .Выбор знака в правой части очевиден, так как при u > u0 тепло вытекает из провода, а приu < u0 − втекает в провод.в) Количество тепла, выделяемое на данном участке вследствие прохождения токаопределяется законом Джоуля- Ленца, согласно которому количества тепла, выделяющегося вединицу времени в выделенном элементе проводника при прохождении через негоэлектрического тока, пропорционально квадрату силы тока и сопротивлению проводника:∆Q4= β I 2 R∆x,где β − коэффициент пропорциональности.Уравнение баланса тепла имеет следующий вид:∆Q1 = ∆Q2 + ∆Q3 + ∆Q4 .Подставляя соответствующие выражения, деля на ∆x и переходя к пределу при ∆x → 0,получим окончательное уравнение:kαpβ I 2R.u=u xx −( u − u0 ) +tcρcρ Scρ SДля получения полной детерминированной дифференциальной модели необходимо кполученному уравнению добавить одно начальное и два граничных условия (на левом иправом концах провода).Начально-краевая задача, моделирующая процесс распространения тепла в проволоке, имеетследующий вид:kαpβ I 2Rutu xx −, x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,( u − u0 ) +=cρcρScρS−kSu x ( 0, t ) , c2ut ( l , t ) =kSu x ( l , t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,c1ut ( 0, t ) =u ( x, 0 ) f ( x ) , x ∈ ( 0, l ) .=5) Уравнение Буссинеска.

Задача о наводненииПредположим, что рядом с населенным пунктом расположен водоем, подкоторыми находится гидроупорный слой (глина). Введем декартову системукоординат (x,z), ось x которой направим вдоль поверхности водоема, а ось zперпендикулярно этой поверхности. Предположим, что населенный пунктнаходится в области x>0, в которой уровень грунтовой воды над гидроупоромописывается функцией u(x,t).

Водоем занимает область x<0. Пусть к моменту t=0вода в водоеме поднялась до отметки z=0и продолжает пребывать по законуu(0,t)=kt. Вопрос: насколько быстро вода дойдет до населенного пункта, имеющегокоординату х=L, если населенный пункт расположен над гидроупором на высоте h?Получим уравнение, описывающее изменение уровня грунтовых вод u ( x, t )над гидроупором.Плотность q горизонтального потока воды равнаq = −D∂P,∂xгде P – давление, а D – коэффициент проводимости среды.Давление на высоте z, где 0<z<u равноP=( z ) ρ g (u − z ) ,гдеρ- плотность воды.Следовательно, плотность горизонтального потока воды q равна∂uq = − Dρ g∂xи не зависит отz.Коэффициент D определяется свойствами грунта.Полный поток, идущий через сечение, будет равен∂uQ = − D ρ gu .∂xИнтегральноеуравнениебалансаводы в слое, заключенном междусечениями x и x + ∆x за промежуток времени от момента t до t + ∆t , будет иметьследующий вид:x +∆x∫ ε ( u (ξ , t + ∆t ) − u (ξ , t ) ) dξ =xt +∆t=∫tгдеε∂u ( x + ∆x,τ )∂u ( x,τ ) D ρ g  u ( x + ∆x,τ )− u ( x, τ )dτ ,∂x∂x - коэффициент пористости (порозность) среды.

Из уравнения при ∆x → 0,∆t → 0 получаем уравнение Буссинеска:ut =Dρ gε( uu x ) x .Уравнение Буссинеска описывает высоту уровня грунтовых вод надгидроупором.Сделаем замену переменных:ετt=Dρ gиK=kε.Dρ gВ новых переменных задача имеет следующий вид:=uτ ( uu x ) x , x > 0, τ > 0,( x, 0 ) 0, x ≥ 0,u =( 0,τ ) Kτ , τ ≥ 0.u=Однимизэффективныхспособовисследованиянелинейныхдифференциальных уравнений в частных производных является методпостроения частных решений этих уравнений, называемых автомодельнымирешениями.Автомодельнымирешенияминелинейногоуравнениявчастныхпроизводных мы будем называть такие его частные решения специальноговида, которые могут быть получены путем интегрирования некоторыхобыкновенных дифференциальных уравнений, аргументы искомых функцийкоторых представляют собой комбинацию независимых переменных x и t.Одно нелинейное уравнение может обладать целым рядом автомодельныхрешений, отражающих различные свойства его решения.Построим автомодельное решение рассматриваемой задачи в виде бегущей волны:u f (ντ − x ) ,==u 0,ντ − x > 0,ντ − x ≤ 0,где ν - постоянная скорость, которую нужно определить.Подставив данное выражениевпервое уравнение системы,обыкновенное дифференциальное уравнение для определенияf (α ) , α= ντ − x :ν f ′ = ( ff ′)′.Интегрируем полученное уравнение от 0 до α > 0 :ν f = ff ′,откудаf ′ =ν .получимфункцииВид функции f находим из граничного условия:u ( 0,τ=τ f (ντ − 0 ) .) K=Отсюдаf (α ) =Посколькуf ′ = ν ,тоKν=ν и ν =Kαν.K ,аf (α ) = α K .Решение поставленной задачи имеет вид:u ( x,τ ) =Kτ − K x,=u ( x,τ ) 0,x < Kτ ,x ≥ Kτ .Наводнение дойдет до населенного пункта в моментопределяется равенством=h Kτ − K L.ττ,который6) Параболическое приближениеУравнениями параболического типа описываются процессы, связанные с распространениемтепла.