Глава 2b (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций)

3.Физические задачи приводящие к уравнениям параболического типа1) Уравнение теплопроводностиПолучим уравнение теплопроводности, описывающее процесс распространения тепла.Это уравнение относится к уравнениям параболического типа.Введем следующие обозначения:1) u(M,t) – температура тела D в момент времени t, макроскопическая характеристикатеплофизических свойств тела;2) ρ - плотность тела;3) С(М) – удельная теплоемкость;4) К(М) – коэффициент теплопроводности;5) f(M,t) – объемная плотность источников (стоков) тепла.Для вывода уравнения воспользуемся законом Фурье:Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки,направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой.Количество тепла, протекающее через площадку dσ за промежуток времени dt, равногде∂udQ = −k ( M ) dσ dt ,∂n∂u- производная по нормали к площадке.∂nРассмотрим тело D , ограниченное поверхностью S : D = D  S .

Обозначим черезвнешнюю нормаль к поверхности S .nДля вывода уравнения теплопроводности воспользуемся методом баланса (закономсохранения тепла). Выделим внутри тела D элементарный объем ∆Vс граничнойповерхностью ∆S и запишем для него уравнение баланса тепла.1) Количество тепла, которое необходимо сообщить объему ∆V в течение промежуткавремени∆u u ( M , t + ∆t ) − u ( M , t ) ,∆t для повышения его температур на величину =равно:=∆Q1∫∫∫ C ( M )ρ ( M ) ( u ( M , t + ∆t ) − u ( M , t ) ) dVM∆VЭто количество тепла поступает в объем∆V за счет теплообмена через поверхность ∆S стелом D , а также за счет действия источников (стоков) тепла, расположенных внутри объема∆V .2) Для учета теплообмена объема ∆V с телом D используем закон Фурье:t +∆t∂u∆Q2 =∫t dτ ∫∫∆S k ( P ) ∂n ( P,τ ) dσ P dτДля преобразования поверхностного интеграла в объемный воспользуемся теоремойОстроградского – Гаусса:Если вектор-функция A ( M ) непрерывно дифференцируема в области D и непрерывна в(1)области D : A ∈ C ( D )  C ( D ) , то ∫∫ Adσ = ∫∫∫ divAdV ,SD где dσ = ndσ , n - внешняя нормаль к поверхности S, Adσ поток вектора A черезплощадку dσ ∂Ax ∂Ay ∂Az- дивергенция вектораdivA =++∂x∂y∂zA.∂u  ∂u  ∂u Положив в формуле Остроградского-Гаусса A = k ( M ) gradu ( M , t ) , где gradu =i+j + k,∂xполучим∂y∂z∂udiv ( k ( M ) gradu ( M , t ) )dVM∫∫∆S k ( P ) ∂n ( P, t ) dσ P = ∫∫∫∆Vи окончательно:t +∆t∆Q2 =∫ dτ ∫∫∫ div ( k ( M ) gradu ( M , t ) ) dVMt∆VДля справедливости применимости формулы Остроградского – Гаусса необходимо предположить,что по переменной Мu ∈ C ( 2) ( D )  C (1) ( D ) , k ∈ C (1) ( D )  C ( D ) .3) Внутри объема∆V за промежуток времени ∆t может выделяться или поглощатьсяколичество ∆Q3 , например, за счет прохождения тока, или вследствие химических реакций:t +∆t∆Q3 =∫ dτ ∫∫∫ f ( M , t )dVM .t∆VУравнение баланса тепла:∆Q1 = ∆Q2 + ∆Q3 .В левой части формулы изменение количества тепла в объеме D за время∆t , а в правойчасти – причины, вызывающие это изменение.Для получения дифференциального уравнения предположим, что функция u ( M , t ) дваждынепрерывно дифференцируема в области D и один раз непрерывно дифференцируема вобласти D по M и один раз непрерывно дифференцируема в области D и непрерывна в2,1области D по t : u ( M , t ) ∈ CM( ,t ) ( D )  CM(1,0)D .,t( )Применяя формулу среднего значения и переходя к пределу при ∆V → M , ∆t → 0 , получимуравнение теплопроводности:=С ( M ) ρ ( M ) ut ( M , t ) div ( k ( M ) gradu ( M , t ) ) + f ( M , t ) .Для вывода граничных условий нужно воспользоваться законом Ньютона:Количество тепла Q, протекающее в единицу времени через площадкуσповерхности=Q σ h ( u − u0 ) , где u0 ( M , t ) - температура окружающейтела в окружающую среду, равносреды,u ( P, t )-температура поверхности тела, h (P) = коэффициент теплообмена.∂u∂u, где- производная по∂n∂nвнешней нормали, то граничное условие можно записать в видеПоскольку тепловой поток на поверхности S равен k ( P )∂uα ( P ) ( P, t ) + β ( P ) u ( P, t ) =µ ( P, t ) , P ∈ S .∂nНачально-краевая задача для уравнения теплопроводности имеет следующий вид:С ( M ) ρ ( M ) ut=( M , t ) div ( k ( M ) grad u ( M , t ) ) + f ( M , t ) , ( M , t ) ∈ Q∞ ,=u ( M , 0 ) ϕ ( M ) , M ∈ D,α ( P ) ∂u ( P, t ) + β ( P ) u=( P, t ) µ ( P, t ) , P ∈ S , t ∈ [0, ∞).∂nЗдесьQ∞ = D × ( 0, ∞ ) ≡ {( M , t ) : M ∈ D, t ∈ ( 0, ∞ )} , Q∞ = D × [0, ∞),∂u - производная по внешней нормали, коэффициенты удовлетворяют следующим∂n условиям:C ( M ) > 0, ρ ( M ) > 0, k ( M ) > 0, M ∈ D, α ( P ) > 0, β ( P ) > 0, α ( P ) + β ( P ) > 0.(Определение.

Функция U(M,t) называется классическим решением поставленной начальнокраевой задачи, если она:( )1) принадлежит следующему классу u ( M , t ) ∈ CM( ,t ) ( Q∞ )  CM( ,t ) Q∞ ;2,11,02) удовлетворяет уравнению в классическом смысле (подстановка u (M,t) в уравнениеприводит к тождеству),3) непрерывно примыкает к начальным и граничным условиям.Необходимое условие существование классического решения – условие согласованияначального и граничного условий:∂ϕ ( P )α ( P)+ β ( P ) ϕ ( P ) = µ ( P, 0 ) , P ∈ S .∂nВ одномерном случае уравнение теплопроводности имеет следующий вид:∂ ∂uС=kxxt,())(( x ) ρ ( x ) ut ( x, t ) + f ( x, t ) .∂x ∂xС ( x ) C=ρ=k0В случае постоянных коэффициентов =0, ρ ( x)0, k ( x)уравнение теплопроводности можно записать в видеut =+a u xx F ( x, t ) , a22k0=C0 ρ0 ,1.F ( x, t ) =C0 ρ 0одномерное2) Температурные волныС исследований процессов распространения тепла связано зарождение математическойфизики, понимаемой как науки о построении и изучении математических моделей физическихявлений и процессов.

В 1811 году Парижская академия наук объявила конкурс на темусоздания математической теории законов распространения тепла. Победителем этого конкурсастал Фурье Жан Батист Жозеф (1768-1830 гг.). Им были написаны знаменитые мемуары потеории тепла в 1807 г., в 1811 г. и в 1822 году - мемуар «Аналитическая теория тепла».Одним из первых примеров приложения математической теории теплопроводности,развитой Фурье, к изучению явлений природы является задача о распространениитемпературных волн в почве.Температура на поверхности земли носит ярко выраженную суточную и годовуюпериодичность.

Будем рассматривать почву как однородное полупространство0 ≤ x ≤ ∞.Рассмотрим процесс распространения периодических колебаний в почве. Заметим, что этазадача является характерной задачей без начальных условий, поскольку при многократномповторении температурного хода на поверхности почвы влияние начальной температур будетменьше, чемвлияние других факторов, которыми мы пренебрегаем (например,неоднородностью почвы).Заметимтакже,чтопосколькуобласть,вкоторойищетсярешение,являетсянеограниченной, то для обеспеченности единственности решения данной задачи необходимопоставить условие ограниченности решения.Постановка задачи имеет следующий вид.

Найти ограниченное решение уравнениятеплопроводности2∂u∂u2= a, x ∈ [ 0, ∞ ) , t ∈ [ 0, ∞ ) ,2∂t∂xудовлетворяющее граничному условию=u ( 0, t ) A cos ωt , t ∈ [ 0, ∞ )и условиюu ( x, t ) ≤ M , x ∈ [ 0, ∞ ) , t ∈ [ 0, ∞ ) .Запишем граничное условие в виде:u ( 0, t ) = Aeiωt . Из линейности уравнения теплопроводностиследует, что действительная частьего комплексного решения удовлетворяет условию видаu ( 0, t ) = A cos ωt , а мнимая – условию видаu ( 0, t ) = A sin ωt.Будем искать решение в видеu ( x, t ) = Aeα x + β t ,гдеα , β − не определенные пока постоянные. Подставляя данную формулу в уравнениетеплопроводности и граничные условие, получим1=α=β , β iω.2a2Отсюдаβωω (1 + i )aaaα=± 2 =± 2 i=± 2 ωω=±+i22aa222,ωωu ( x, t ) =Aexp  ±x + i  ±x + ωt   .22 2a 2a Действительная часть этого решенияω  ωu ( x, t ) = A exp  ±x  cos  ±x + ωt 2 2 2a  2aудовлетворяет уравнению теплопроводности и соответствующему граничному условию.

Таккак условию задачи удовлетворяет ограниченное решение, то окончательное решениеуравнения, моделирующего температурные волны будет иметьω   ωu ( x, t ) =A exp  −x  cos x − ωt  .2 2 2a  2aАнализ полученного решения. На основании полученного решения можно дать такуюхарактеристику процесса распространения температурной волны в почве.

Если температураповерхности длительное время периодически меняется, то в почве также устанавливаютсяколебания температуры с тем же периодом. При этом имеют место следующие утверждения.1, Первый закон Фурье. Амплитуда колебаний экспоненциально убывает с глубиной:ω A ( x ) A exp  −x,=2  2a то есть, если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают вгеометрической прогрессии2. Второй закон Фурье. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы.Время δотставания максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующихмоментов на поверхности пропорционально глубине:δ=1x.22ω a3. Третий закон Фурье.