Глава 2b (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций), страница 3

К ним также приводит рассмотрение процессов диффузии. Однако в ряде случаев ипроцессы распространения электромагнитных волн могут описываться уравнениямипараболическоготипа.Вэтомслучаеговорят,чтопроцессыраспространенияэлектромагнитных волн рассматриваются в параболическом приближении.При рассмотрении задач для уравнений гиперболического типа мы выяснили, что вдекартовой прямоугольной системе координат компоненты полей H и Е удовлетворяютуравнению колебаний∂ 2u∂u2+=∆u + f ( M , t ) ,αa2∂t∂t=aгде2σ1=, α.ε a µaεaЕсли предположить гармоническую зависимость от времени (установившиеся колебания),когда u ( M , t ) = v ( M ) e −iωt , то получается, что∂u∂ 2u2 ωu ,ωu.2∂t∂tЕсли ω α , то есть ε aω  σ , что означает, что токи смещения пренебрежимо малы посравнению с токами проводимости, то пренебрегая второй производной по времени, то естьтоками смещения, мы приходим к уравнению параболического типа∂u a 21=∆u + f ( M , t ) .∂t αα4.

Стационарные процессыСтационарные процессы описываются уравнениями эллиптического типа, в которые невходит время. Поэтому для них ставятся не начально-краевые, а краевые задачи.1) Стационарное распределение теплаЕсли в некоторой системе плотность источников (стоков) тепла не зависит от времени играничные условия также не зависят от времени, то с течением времени в такой системеустановится некоторое постоянное распределение тепла, то есть система будет выходить настационарный режим.

Распределение температуры в такой системе будет описыватьсяуравнениями эллиптического типа, которое можно получить из уравнения теплопроводностипараболического типа, учитывая, что∂u=u ( M , t ) u (=M ),0,=f ( M , t ) f ( M ).∂tСтационарное уравнение теплопроводности примет видdiv ( k ( M ) grad u ( M ) ) = − f ( M ) .Граничные условия ставятся так же, как и для уравнения теплопроводности.В случае постоянного коэффициента k ( M ) = k0 неоднородное стационарное уравнениетеплопроводности переходит в уравнение Пуассона=∆u ( M ) F ( M ) ,=F (M )1f (M ),k0а однородное стационарное уравнение теплопроводности переходит в уравнение Лапласа∆u ( M ) =0.2) Задачи электростатикиВ электростатическом случае из уравнений Максвелла получаем:rot E ( M ) =0 ⇒ E (M ) =− grad u ( M ) .Здесь введена скалярная функция u(M) таким образом, что уравнениеrot E ( M ) = 0выполняется автоматически.

Если теперь воспользоваться дивергентным уравнениемdiv ε ( M ) E ( M ) = ρ ( M ) ,()то приходим к уравнению электростатикиdiv ( ε ( M ) grad u ( M ) ) = − ρ ( M ) .В случае постоянного коэффициента ε ( M ) = ε 0 мы снова получаем уравнение Пуассона1∆u ( M ) =− f (M ), f (M ) =ρ (M )ε0и уравнение Лапласа∆u ( M ) =0.3) Установившиеся колебанияЕсли на систему, обладающую затуханием, действует периодическая вынуждающая сила счастотойω, то с течением времени в системе устанавливаются колебания с частотойвынуждающей силыω.Уравнение колебаний для диссипативной среды имеет вид:utt + α ut = a 2 ∆u + F ( M , t ) ,где=F ( M , t ) F=( M ) e−iωt , u ( M , t ) U ( M ) e−iωt .Отсюда получаем( −ωи, вводя обозначениеk =22− iαω ) U ( M ) = a 2 ∆U + F ( M )ω 2 + iαωa2, приходим к уравнению Гельмгольца∆U + k 2U =f ( M ).4) Установившиеся электромагнитные колебанияПолучим теперь уравнение, описывающее установившиеся электромагнитные колебания.Уравнение получим для изотропной и однородной среды, свободной от сторонних токов изарядов.

Таким образом, имеем=εaconst==j( ст ) 0 и система, µa const, ρ 0,=уравнений Максвелла примет вид:∂EH= εa+ σ E,rot∂trotE = − µ ∂H ,a∂tdivE = 0,divB = 0.Предположим, что функции E ( M , t ) , H ( M , t ) зависят от времени по гармоническомузакону:− iωt− iωtMe,M,tMe.=E ( M , t ) E=HH()()()00Система уравнений Максвелла примет следующий вид;rotH 0 =−iωε a E0 − iωσ E0 =−iω ( ε a + i σω ) E0 =−iωεa E0 ,rotE0 = iωµa H 0 ,divE0 = 0,divH = 0.0гдеσ −ε=ε+iаaωкомплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость.Подействуем на первое уравнение системы оператором rot:rot rotH 0 = grad divH 0 − ∇ 2 H 0 = −iωεa rotE0 = ω 2εa µa H 0 .Обозначаяk 2 = ω 2εa µa , получим однородное векторное уравнение Гельмгольца:∇2H0 + k 2H0 =0.Аналогичным образом получается векторное уравнение Гельмгольца для функции E∇ E0 + k E0 =0.220(M ) :5) Постановка краевой задачиОтличие в постановке краевых задач для уравнений эллиптического типа, описывающихстационарные процессы, от начально-краевых задач для уравнений гиперболического ипараболического типов заключается в отсутствии начальных условий.

Краевая задача вобласти D = D  S имеет следующий вид:div ( k ( M ) grad u ) =− f ( M ) , M ∈ D,∂u ( P )+ β ( P ) u ( P ) =µ ( P ) , P ∈ S .α ( P )∂nЕсли D − внешняя область, то для того, чтобы решение было единственным, необходимодобавить условия на бесконечности. В частности, если задача ставится во всем пространстве 3, то ставятся только условия на бесконечности.Определение. Функция u ( M ) называется классическим решением поставленной краевойзадачи, если она обладает следующими свойствами:1) дважды непрерывно дифференцируема в областидифференцируема в области D :u ( M ) ∈ C(2)D( D )  C (1) ( D ) ;2) удовлетворяет в области D уравнению в классическом смысле;3) непрерывно примыкает к граничному условию.и один раз непрерывно6) Постановка условий на бесконечностиВ случае решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа достаточносложной проблемой является постановка граничных условий на бесконечности, которыеобеспечивают единственность решения краевой задачи.В случае внешних краевых задач для уравнения Лапласа эта проблема решается достаточнопросто: решение должно быть регулярным на бесконечности.Функция трех переменных u ( x, y, z ) называется регулярной на бесконечности, если придостаточно большомr≥Ru ≤имеют место оценки:A,r∂uA≤ 2,∂x r∂uA≤ 2,∂y r∂uA≤ 2.∂z rФункция u ( x , y ) называется гармонической в облаcти D, если она дважды непрерывнодифференцируема в этой области и удовлетворяет в D уравнению Лапласа:u ∈ C( ) ( D) ,2∆u ( M ) =0, M ∈ D.Если в трехмерном случае функция является гармонической во внешней по отношению кзамкнутой поверхности S области De и равномерно сходится к нулю на бесконечности, то онарегулярна на бесконечности.

Таким образом для уравнения Лапласа внешняя краевая задача вобластиD=D ∪ S ставится следующим образом:eu ( M ) 0, M ( x, y, z ) ∈ De ,∆==u ( M ) 0, M ( x, y, z ) ∈ S ,u ( M ) равномерно сходится к нулю на бесконечности.Функция двух переменных u ( x, y ) называется регулярной на бесконечности если она имеетконечный предел на бесконечности.Поэтому в двумерном случае для обеспечения единственности решения внешней краевойзадачи для уравнения Лапласа достаточно потребовать ограниченности решения во внешнейобласти.Более сложным является вопрос овыделенииГельмгольца с вещественным коэффициентомединственногорешенияуравненияk2 > 0:∆u + k u =02во внешней области в трехмерном случае.Рассмотрим частный случайсферическиоднородного уравнения Гельмгольца.симметричныхрешенийu = u (r )Уравнение Гельмгольца в этом случае будет иметь вид:1 ∂  2 ∂u  20.r+k u =2r ∂r  ∂r Положим v = ru.

Тогда для функцииv ( r ) получаем уравнение:v′′ ( r ) + k 2 v ( r ) =0,общее решение которого имеет следующий видv=( r ) C1eikr + C2e−ikr ,и для функции u ( r ) окончательно получаем:eikre − ikru ( r ) C1=+ C2.rrДля единственности решения задачи нам необходимо выделить одно решение, имеющеефизический смысл. Сложность заключается в том, что в случае вещественного коэффициентаk 2 > 0 частные решения одинаково ведут себя на бесконечности:− ikreikr1 e1O  .= O= ,rrrrПоэтому требование равномерного стремления решенияк нулюнабесконечности,обеспечивающее единственность решения в случае уравнения Лапласа в трехмерном случае, вслучае уравнения Гельмгольца скоэффициентомk2 > 0ужеединственности решения внешней краевой задачи.

Необходимо болееучитывающее фазовые различия двух решений.недостаточнотонкоедляусловие,Это условие было предложено немецким физиком Арнольдом Зоммерфельдом.Прежде всего заметим, что физический смысл имеют выражения− ikrikree=u + ( x, t ) =e − iωt , u − ( x, t )e − iωt ,rrпредставляющие собой сходящиеся и расходящиеся сферические волны при данном выборевременной зависимости: e − iωt .При выделении физически обоснованной волны необходимо отбросить волну, приходящую−.из бесконечности (волну u )Для простоты будем считать, что точечный источник находится впрямоугольной системы координат.началедекартовой± ikrev± ( r ) =.Введем обозначениеТогда получаем:rdv ±e ± ik r e ± ik r1±=±ik− 2 =±ikv + o   .drrrrРасходящейся сферической волне соответствует v + ( M ), а сходящейся -v − ( M ).Следовательно, расходящаяся сферическая волна должна удовлетворятьсоотношению (при временной зависимости e − iωt ):∂u1=− iku o  =, u v + ( M )e − iωt ,∂rrа сходящаяся - соотношению∂u1=+ iku o  =, u v − ( M )e − iωt .∂rrТаким образом, предложенные Зоммерфельдом условиям излучения в трехмерномслучае имеют следующий вид;u ( M ) = O (1 r ) ,∂u1− iku =o  .∂rrДля двумерных задач условия излучения Зоммерфельда записываются следующимобразом:(u(M ) = O 1)r , ∂ulim r  − iku  =0.r →∞ ∂rВ трехмерном случае постановка внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца свещественным коэффициентомследующий вид:k 2 > 0 во внешней областиD=De ∪ Seимеет=∆u + k 2u 0, M ( x , y , z ) ∈ De ,=u ( M ) g ( M ) , M ∈ S ,1u ( M ) = O   ,r ∂u1 − iku =o  . ∂rrСоветский математик И.Н.

Векуа показал, что первое условие излученияследствием второго условия.являетсяНетрудно показать, что условия излучения Зоммерфельда сохраняют свой вид и для случаянесовпадения источника с началом координат.Следует отметить, что для неограниченных областей, не совпадающих со всемпространством, условия на бесконечности могут иметь форму, отличную от той, которая былапредложена А. Зоммерфельдом.Таким образом первое и второе условия излучения Зоммерфельда представляютаналитическую форму для неограниченного пространства и не основаны на физическомпринципе, который позволил бы сформулировать эти условия для областей более сложнойформы.В качестве примеров условий для выделения единственного решения уравненияГельмгольца можно привести принцип предельного поглощения, принцип предельнойамплитуды, парциальные условия излучения и ряд других.7) Математическое моделирование волноведущих системИзлучатели конечных размеров, расположенные в свободном пространстве, возбуждаютэлектромагнитное поле, распространяющееся по всем направлениям.