Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике

Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике, страница 8

PDF-файл Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике, страница 8 Теория вероятностей и математическая статистика (38276): Лекции - 3 семестрН.И. Чернова - Лекции по математической статистике: Теория вероятностей и математическая статистика - PDF, страница 8 (38276) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 8 страницы из PDF

6: Пример 16Замечание 10. Вместо непрерывной дифференцируемостивать того же от ln fθ (y).Стр. 65pfθ (y) можно требо-4.3. Неравенство Рао — КрамераПусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из параметрического семейства распределений Fθ , θ ∈ Θ, и семейство Fθ удовлетворяет условию регулярности (R).Пусть, кроме того, выполнено условиеОглавление(RR) «Информация Фишера»JJIIJIНа стр. ...

из 179I(θ) = Eθ2∂ln fθ (X1 )∂θсуществует, положительна и непрерывна по θ во всех точках θ ∈ Θ.Справедливо следующее утверждение.НазадВо весь экранНеравенство Рао — Крамера.Пусть семейство распределений Fθ удовлетворяет условиям (R) и (RR). Тогда длялюбой несмещенной оценки θ∗ ∈ K0 , дисперсия которой Dθ θ∗ ограничена на любомкомпакте в области Θ, справедливо неравенствоУйтиDθ θ∗ = Eθ (θ∗ − θ)2 >Стр. 661.nI(θ)Упражнение. Проверить, что для показательного семейства распределений Eαс параметром α > 0 дисперсия Dα X1 не ограничена глобально при α > 0, но ограниченана компактах.Неравенство сформулировано для класса несмещенных оценок.

В классе оценок спроизвольным смещением b(θ) неравенство Рао — Крамера выглядит так:ОглавлениеJJIIJIНеравенство Рао — Крамера.Пусть семейство распределений Fθ удовлетворяет условиям (R) и (RR). Тогда длялюбой оценки θ∗ ∈ Kb(θ) , дисперсия которой Dθ θ∗ ограничена на любом компакте вобласти Θ, справедливо неравенствоEθ (θ∗ − θ)2 >(1 + b 0 (θ))2+ b2 (θ),nI(θ)т. е.Dθ θ ∗ >(1 + b 0 (θ))2.nI(θ)На стр. ...

из 179Для доказательства нам понадобится следующее утверждение.НазадВо весь экранУйтиСтр. 67Лемма 1. При выполнении условий (R) и (RR) для любой статистики T = T (X),дисперсия которой ограничена на компактах, имеет место равенство∂Eθ T = Eθ∂θ∂T·L(X, θ) .∂θУпражнение. Вспомнить, что такое функция правдоподобия f(X, θ), логарифмическая функция правдоподобия L(X, θ) (определение 6), как они связаны друг с другом,с плотностью X1 и совместной плотностью выборки.ОглавлениеДоказательство леммы 1.Напоминание: математическое ожидание функции от нескольких случайных величинесть (многомерный) интеграл от этой функции, помноженной на совместную плотностьэтих случайных величин. ПоэтомуZEθ T (X1 , .

. . , Xn ) =T (y1 , . . . , yn ) · f(y1 , . . . , yn , θ) dy1 . . . dyn .IRnJJIIJIНа стр. ... из 179В следующей цепочке равенство, помеченное (∗), мы доказывать не будем, посколькуего доказательство требует знания условий дифференцируемости интеграла по параметру(тема, выходящая за пределы курса МА на ЭФ). Это равенство — смена порядкадифференцирования и интегрирования — то единственное, ради чего введены условиярегулярности (см.

пример ниже).НазадВо весь экран∂Eθ T (X)∂θ=∂∂θZT (y) · f(y, θ) dyIRZ=УйтиIRnZIRZT (y) ·=∂(T (y) · f(y, θ)) dy∂θ=n∂∂θ f(y, θ)!f(y, θ)· f(y, θ) dy=IRnZT (y) ·IRСтр. 68n∂T (y) ·f(y, θ) dy∂θ=∗=∂L(y, θ) · f(y, θ) dy∂θnЧерез y в интегралах обозначен вектор (y1 , . . . , yn ).=Eθ∂T (X) ·L(X, θ) .∂θОглавлениеДоказательство неравенства Рао — Крамера.Мы докажем только неравенство для класса K0 . Необходимые изменения в доказательстве для класса Kb читатель может внести самостоятельно.Воспользуемся леммой 1. Будем брать в качестве T (X) разные функции и получатьзабавные формулы, которые потом соберем вместе.1. Пусть T (X) ≡ 1. Тогда∂∂1 = EθL(X, θ).∂θ∂θXQДалее, поскольку f(X, θ) =fθ (Xi ), то L(X, θ) =ln fθ (Xi ), и0=JJIIJIНа стр.

... из 179Назад0 = Eθ∂∂∂Eθ θ ∗ =θ = 1 = Eθ θ∗ ·L(X, θ).∂θ∂θ∂θВспомним свойство коэффициента корреляции:cov(ξ, η) = E ξη − E ξE η 6pD ξD η.Используя свойства (10) и (11), имеемСтр. 69(10)2. Пусть T (X) = θ∗ ∈ K0 , т. е. Eθ θ∗ = θ. ТогдаВо весь экранУйтиX ∂∂∂L(X, θ) = Eθln fθ (Xi ) = n · Eθln fθ (X1 ).∂θ∂θ∂θ∂cov θ ,L(X, θ) = Eθ∂θ∗∂∂θ ·L(X, θ) − Eθ θ∗ EθL(X, θ) =∂θ∂θ∗(11)= EθОглавление∂θ ·L(X, θ) = 1 6∂θ∗sDθ θ∗ Dθ∂L(X, θ).∂θ(12)∂L(X, θ):∂θnX∂∂∂∂DθL(X, θ) = Dθln fθ (Xi ) = nDθln fθ (X1 ) = nEθ (ln fθ (X1 ))2 = nI(θ).∂θ∂θ∂θ∂θНайдем Dθi=1JJIIJIНа стр.

... из 179НазадПодставляя дисперсию в неравенство (12), получим1 6 Dθ θ∗ · nI(θ) или Dθ θ∗ >1,nI(θ)что и требовалось доказать.Следующий пример показывает, что условие регулярности является существеннымдля выполнения равенства, помеченного (∗) в лемме 1.Во весь экранУйтиПример 17 (нерегулярное семейство). Рассмотрим равномерное распределение U0,θс параметром θ > 0. Выпишем при n = 1 какой-нибудь интеграл и сравним производную от него и интеграл от производной: скажем, для T (X1 ) = 1∂∂Eθ T (X1 ) =∂θ∂θZθ0Стр. 701∂dy =1 = 0;θ∂θZθ∂ 11dy = − 6= 0.∂θ θθ0Заметим, что и само утверждение неравенства Рао — Крамера для данного семейства распределений не выполнено: найдется оценка, дисперсия которой ведет себякак 1/n2 , а не как 1/n в неравенстве Рао — Крамера.Упражнение.

Проверить, что в качестве этой «выдающейся» из неравенства Рао —Крамера оценки можно брать, скажем, смещенную оценку X(n) или несмещенную оценn+1куX(n) ∈ K0 .nОглавление4.4.Неравенство Рао — Крамера и эффективность оценокСформулируем очевидное следствие из неравенства Рао — Крамера.JJIIJIСледствие 1.Если семейство распределений Fθ удовлетворяет условиям регулярности (R) и (RR), и оценка θ∗ ∈ Kb(θ) такова, что в неравенстве Рао —Крамера достигается равенство:На стр.

... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 71Eθ (θ∗ − θ)2 =(1 + b 0 (θ))2(1 + b 0 (θ))2+ b2 (θ) или Dθ θ∗ =,nI(θ)nI(θ)то оценка θ∗ эффективна в классе Kb(θ) .Оценку, для которой в неравенстве Рао — Крамера достигается равенство, иногданазывают R-эффективной оценкой. Следствие 1 можно сформулировать так: еслиоценка R-эффективна, то она эффективна в соответствующем классе.Пример 18. Для выборки X1 , . . . , Xn из распределения Бернулли Bp несмещеннаяоценка p∗ = X эффективна, так как для нее достигается равенство в неравенстве Рао —Крамера (см. [3], пример 13.20, с. 67).ОглавлениеПример 19.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из нормального распределения Na,σ2 , где a ∈ IR, σ > 0. Проверим, является ли оценка a∗ = X ∈ K0 эффективной(см. также [3], пример 13.6, с. 64).Найдем информацию Фишера относительно параметра a (считая, что имеется одиннеизвестный параметр — a).!(X1 − a)2exp −f(a,σ2 ) (X1 ) = √,2σ22πσ2(X1 − a)2,ln f(a,σ2 ) (X1 ) = − ln(2πσ2 )1/2 −2σ2∂(X1 − a)ln f(a,σ2 ) (X1 ) =,∂aσ22E(a,σ2 ) (X1 − a)2D(a,σ2 ) X11∂ln f(a,σ2 ) (X1 ) === 2.I(a) = E(a,σ2 )44∂aσσσ1JJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранИтак, I(a) = 1/σ2 . Найдем дисперсию оценки X.D(a,σ2 ) XУйти=1D 2 X1n (a,σ )=σ2.nДалее, сравнивая левую и правую части в неравенстве Рао — Крамера, получаемравенство:σ21D(a,σ2 ) X ==.nnI(a)Стр.

72То есть оценка a∗ = X эффективна (обладает наименьшей дисперсией среди несмещенных оценок).ОглавлениеПример 20. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из нормального распредеn1 P∗ления N0,σ2 , где σ > 0. Проверим, является ли оценка σ2 =X2 = X2 ∈ K0n i=1 iэффективной.Упражнение. Получить эту оценку методом моментов и методом максимальногоправдоподобия.Найдем информацию Фишера относительно параметра σ2 .JJIIJIНа стр.

... из 179НазадВо весь экранУйти!X2fσ2 (X1 ) = √exp − 12 ,2σ2πσ2X21ln fσ2 (X1 ) = − ln(2π)1/2 − ln σ2 − 12 ,22σ∂1X21ln fσ2 (X1 ) = − 2 + 4 ,∂σ22σ2σ12I(σ ) = Eσ2!22∂X211=lnf(X)=E− 2221σσ24∂σ2σ2σ11= 8 Eσ2 (X21 − σ2 )2 = 8 Dσ2 X21 .4σ4σОсталось найти Dσ2 X21 = Eσ2 X41 − (Eσ2 X21 )2 = Eσ2 X41 − σ4 .

Для тех, кто помнитнекоторые формулы вероятности: величина ξ = X1 /σ имеет стандартное нормальноераспределение, и для нееE ξ2k = (2k − 1)!! = (2k − 1)(2k − 3) · . . . · 3 · 1,Стр. 73Тогда X1 = ξ · σ иEX41 = E ξ4 · σ4 = 3σ4 .Те, кто не помнит, считаем заново:∞ZEσ2 X41=Оглавление−∞∞Z= 2σ4JJIIJIНа стр. ... из 179t2− 21t4 √ e2πy2−2σ21y √edy = 2σ42πσ∞Z42 y 4σy−y2σ21√ e=dσ2π01dt = −2σ4 √2π0∞Zt2−t3 de 21= −2σ4 √2πt2 ∞t3 e− 2 01= 2σ √ · 32π∞Z42tt2− 2e∞Z4dt = 3σ−∞0−1√ t2 e2πt2Во весь экранИтак, Dσ2 X21 = Eσ2 X41 − σ4 = 2σ4 ,111Dσ2 X21 = 8 2σ4 = 4 .84σ4σ2σ∗Найдем дисперсию оценки σ2 = X2 .X112σ4= 2 Dσ2X2i = Dσ2 X21 =.nnnnСтр.

74Dσ2 X210−e0dt = 3σ4 · D ξ = 3σ4 · 1,где ξ имеет стандартное нормальное распределение.I(σ2 ) =t2− 22НазадУйти∞Zdt3  =Сравнивая левую и правую части в неравенстве Рао — Крамера, получаем равенство:2σ41Dσ2 X2 ==.nnI(σ2 )∗ОглавлениеТаким образом, оценка σ2 = X2 эффективна.JJIIJIУпражнение. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из нормального распределения Na,σ2 , где a известно, σ > 0. Проверить, является ли эффективной оценкаn1 P∗σ2 =(Xi − a)2 = (X − a)2 .

Принадлежит ли эта оценка классу K0 ? Какимиn i=1методами получена? Является ли состоятельной и асимптотически нормальной?На стр. ... из 179НазадВо весь экранПример 21. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из показательного распределения E1/α с параметром 1/α, где α > 0. Проверим, является ли оценка α∗ = X ∈ K0(оценка для параметра α!) эффективной.Найдем информацию Фишера относительно параметра αУйтиСтр. 75I(α) = Eα2∂ln fα (X1 )∂α.Плотность данного показательного распределения имеет вид: 1 e− αy , если y > 0,fα (y) = α0,если y 6 0.ТогдаОглавление1 − X1X1e α,,ln fα (X1 ) = − ln α −αα∂1 X11ln fα (X1 ) = − + 2 = 2 (X1 − α),∂αα αα2∂Eα (X1 − α)2Dα X1α21I(α) = Eαln fα (X1 ) ==== 2.444∂αααααfα (X1 ) =Итак, I(α) = 1/α2 .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее