Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике, страница 10

из 179НазадВо весь экранXi − n Eα X1√ X − 1/α √ √= n= n αX − 1 ⇒ η,1/αn Dα X1Pα −c <√ n αX − 1 < c → Pα (−c < η < c) = 1 − εпри c = τ1−ε/2 .То естьPα −τ1−ε/2 <√ n αX − 1 < τ1−ε/2 == Pατ1−ε/2τ1−ε/211<α< + √− √nXnXXX!→1−εУйтиИтак, искомый асимптотический ДИ уровня доверия 1 − ε имеет видτ1−ε/2 1τ1−ε/21− √,+ √XnX XnXСтр. 85!.при n → ∞.Сформулируем общий принцип построения точных ДИ:1. Найти функцию G(X, θ), распределение которой G не зависит от параметра θ.Необходимо, чтобы G(X, θ) была обратима по θ при любом фиксированном X.Оглавление2. Пусть числа g1 и g2 — квантили распределения G такие, что1 − ε = Pθ (g1 < G(X, θ) < g2 ).JJIIJI3. Разрешив неравенство g1 < G(X, θ) < g2 относительно θ (если это возможно), получим точный ДИ.На стр. ...

из 179НазадВо весь экранУйтиСовершенно аналогично выглядит общий принцип построения асимптотических ДИ:1. Найти функцию G(X, θ), слабо сходящуюся к распределению G, не зависящему от параметра θ. Необходимо, чтобы G(X, θ) была обратима по θ прилюбом фиксированном X.2. Пусть g1 и g2 — квантили распределения G такие, чтоPθ (g1 < G(X, θ) < g2 ) → Pθ (g1 < η < g2 ) = 1 − ε.Стр. 863. Разрешив неравенство g1 < G(X, θ) < g2 относительно θ, получим асимптотический ДИ.Замечание 13.

Часто в качестве g1 и g2 берут квантили уровня ε/2 и 1 − ε/2распределения G. Но, вообще говоря, квантили следует выбирать так, чтобы получитьнаиболее короткий ДИ.ОглавлениеJJIIJIПример 25. Попробуем, пользуясь приведенной выше схемой, построить точныйдоверительный интервал для параметра θ > 0 равномерного на [θ, 2θ] распределения.XiМы знаем, что если Xi имеют распределение Uθ,2θ , то Yi =− 1 имеют распреθделение U0,1 . Тогда величинаY(n) = max{Y1 , . . .

, Yn } =На стр. ... из 179НазадВо весь экранX(n)max {X1 , . . . , Xn }−1=− 1 = G(X, θ)θθраспределена так же, как максимум из n независимых равномерно распределенныхна [0, 1] случайных величин, то есть имеет не зависящую от параметра θ функциюраспределенияy<00,FY(n) (y) = Pθ (η < y) =Уйтиyn , y ∈ [0, 1]1,y > 1.Для любых положительных g1 и g2Стр.

87X(n)− 1 < g2 =θX(n)X(n)= Pθ<θ<. (14)g2 + 1g1 + 1Pθ (g1 < G(X, θ) < g2 ) = Pθg1 <ОглавлениеДлина доверительного интервала равна X(n) ·(g2 −g1 )/ (g1 +1)(g2 +1) и уменьшаетсяс ростом g1 и g2 и с их сближением.Плотность распределения Y(n) на отрезке [0, 1] равна nyn−1 и монотонно возрастает. Поэтому самые большие значения квантилей g1 и g2 при самом маленькомрасстоянии между ними и при фиксированной площади под графиком плотности достигается выбором g2 = 1, а g1 такого, чтобы 1 − ε = Pθ (g1 < Y(n) < 1).Pθ (g1 < Y(n) < 1) = FY(n) (1) − FY(n) (g1 ) = 1 − gn1 = 1 − ε, т. е. g1 =JJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр.

88√nε.Подставим найденные квантили в (14):1 − ε = Pθ√nε < Y(n) < 1 = PθX(n)X(n)√ .<θ<21+ nεУпражнение. Можно ли, пользуясь схемой примера 23, построить точный ДИдля σ при известном a, если разрешить неравенство −c < η < c в (13) относительно σ? Можно предположить, например, что X−a > 0. Чем плох интервал бесконечнойдлины? А получился ли у Вас интервал бесконечной длины?√ X−aИз упражнения видно, что функция G вида nне годится для построенияσточного ДИ для σ при известном a, а тем более при неизвестном a. В следующейглаве мы займемся поиском подходящих функций. Следующий пример (как и пример 24) показывает, что ЦПТ дает универсальный вид функции G для построенияасимптотических ДИ.Пример 26.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из распределения Пуассона Пλ , где λ > 0. Требуется построить асимптотический ДИ для параметра λ уровнядоверия 1 − ε.ОглавлениеВспомним ЦПТ:nP1JJIIJIXi − nEλ X1√ X−λ√= n √ ⇒ η,nDλ X1λгде η имеет стандартное нормальное распределение. По определению слабой сходимости, при n → ∞!На стр. ... из 179Pλ√ X−λ−c < n √ < cλ→ Pλ (−c < η < c) = 1 − ε при c = τ1−ε/2 .НазадВо весь экранУйтиСтр.

89Но разрешить неравенство под знаком вероятности относительно λ не просто — получается квадратное неравенство√ из-за корня в знаменателе. Не испортится ли сходимость,√если мы заменим λ на X?pПо свойствам слабой сходимости, если ξn −→ 1 и ηn ⇒ η, то ξn ηn ⇒ η. Оценкаλ∗ = X состоятельна, поэтомуλ p−→ 1.XТогдаsλ √ X−λ √ X−λ⇒ η.· n √ = n √XλXПоэтому иPλ −τ1−ε/2ОглавлениеJJIIJIНа стр.

... из 179√ X−λ< n √< τ1−ε/2X!→ Pλ (−τ1−ε/2 < η < τ1−ε/2 ) = 1 − ε.Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно λ, получим√ √τ1−ε/2 Xτ1−ε/2 X → 1 − ε при n → ∞.√√<λ<X+Pλ X −nnИтак, искомый асимптотический ДИ уровня доверия 1 − ε имеет вид√√ τ1−ε/2 Xτ1−ε/2 XX −.√√, X+nnНазадВо весь экранВместо ЦПТ для построения асимптотических ДИ можно использовать асимптотически нормальные оценки (что по сути — та же ЦПТ): если θ∗ — АНО дляпараметра θ с коэффициентом σ2 (θ), тоG(X, θ) =Уйти√ θ∗ − θn⇒ η,σ(θ)где η имеет стандартное нормальное распределение.Стр. 90Замечание 14. Если σ(θ) в знаменателе мешает, то, как в примере 26, ее можнозаменить состоятельной оценкой σ(θ∗ ).

Достаточно, чтобы функция σ(θ) была непрерывной во всей области Θ. Требуется лишь ответить себе: почему θ∗ — состоятельнаяоценка для θ?6. Распределения, связанные с нормальнымВ предыдущей главе мы построили (в числе других) точный доверительный интервал для параметра a нормального распределения при известном σ2 . Для этого мырассмотрели функцию от выборки и неизвестного параметра aОглавление√ X−an,σимеющую при любом a стандартное нормальное распределение.G(X, a) =JJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранОстались нерешенными следующие проблемы:2) построить точный ДИ для σ при известном a,3) построить точный ДИ для a при неизвестном σ,4) построить точный ДИ для σ при неизвестном a.Как мы уже видели, для решения этих задач требуется отыскать функции от выборки и параметров, распределение которых было бы известно.

При этом в задаче (3)искомая функция не должна зависеть от неизвестного σ, а в задаче (4) — от a.УйтиТакой особый интерес к нормальному распределению связан, разумеется, с центральной предельной теоремой — по большому счету все в этом мире нормально (илиблизко к тому).Стр. 91Займемся поэтому распределениями, связанными с нормальным распределением, ихсвойствами и свойствами выборок из нормального распределения.6.1. Гамма-распределение и его свойстваОглавлениеJJIIJIС определением гамма-распределения мы познакомились в курсе теории вероятностей. вспомнить! Нам понадобится свойство устойчивости по суммированию этогораспределения, которое до сих пор было доказано только в частном случае — когданезависимые слагаемые имеют одно и то же показательное распределение Eα = Гα,1 .Свойство 7.

Пусть ξ1 , . . . , ξn независимы, и ξi имеет гамма-распределение Гα,λi ,i = 1, . . . , n. ТогдаnXSn =ξi имеет распределение Гα,Pn1 λi .i=1На стр. ... из 179НазадВо весь экранДоказательство свойства устойчивости по суммированию (свойства 7).Воспользуемся свойствами характеристических функций. Характеристическая функциягамма-распределения Гα,λ вычислена нами в курсе теории вероятностей и равнаitξϕξ (t) = E eУйтиit= 1−α−λ.Характеристическая функция суммы независимых случайных величин есть произведение характеристических функций слагаемых:ϕSn (t) =Стр.

92nYϕξi (t) =i=1— х.ф. распределения Гα,Pn1 λi .n Yi=1it1−α−λiit= 1−α− Pn λi1Свойство 8. Если ξ имеет стандартное нормальное распределение, то ξ2 имеетгамма-распределение Г1/2,1/2 .ОглавлениеJJIIДоказательство. Найдем производную функции распределения величины ξ2 и убедимся, что она является плотностью распределения. При y 6 0JIFξ2 (y) = P (ξ2 < y) = 0, поэтому и плотность fξ2 (y) = 0.На стр.

... из 179При y > 0√√√√Fξ2 (y) = P (ξ2 < y) = P (− y < ξ < y) = Fξ ( y) − Fξ (− y).НазадВо весь экранТогда√√√√= Fξ0 ( y) · ( y) 0 − Fξ0 (− y) · (− y) 0 =√fξ ( y)√√ 11= fξ ( y) + fξ (− y) · √ = √=√e−y/2 .2 yy2πy0fξ2 (y) = Fξ2 (y)УйтиНо функция fξ2 (y), равная 0 при y 6 0, и равнаяfξ2 (y) = √Стр. 931(1/2)1/2 1/2−1 −y/2yee−y/2 =Γ (1/2)2πyпри y > 0, является плотностью гамма-распределения Г1/2,1/2 .6.2. Распределение «хи-квадрат» и его свойстваИз свойства 7 и свойства 8 непосредственно следует утверждение:ОглавлениеСледствие 2. Если ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальноераспределение, то случайная величинаχ2k = ξ21 + . . .

+ ξ2kJJIIJIимеет гамма-распределение Γ1/2,k/2 .На стр. ... из 179НазадВо весь экранОпределение 16. Распределение суммы k квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин называют распределением «хи-квадрат» с k степенями свободы и обозначают Hk . Согласно следствию 2, распределение Hk совпадает с Г1/2,k/2 .УйтиНа графике ниже изображены плотности распределения Hk = Г1/2,k/2 при k равном 1, 2, 4 и 8.Стр. 94Упражнение. Доказать, что при k > 2 максимум плотности распределения Hkдостигается в точке k − 2.H1Вид плотности χ2 -распределения в зависимости от числа степеней свободыH2 = E1/20,5ОглавлениеH4JJIIJI02H86На стр.

... из 179Мы часто будем обозначать через χ2k случайную величину с распределением Hk .НазадРассмотрим свойства χ2 -распределения:Во весь экран1.УйтиУстойчивость по суммированию. Пусть случайная величина χ2k имеет распределение Hk , случайная величина χ2m имеет распределение Hm , причем эти случайныевеличины независимы. Тогда их сумма χ2k + χ2m имеет распределение Hk+m .Доказательство. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальноераспределение. Тогдаχ2k распределено как ξ21 + . . . + ξ2k ,Стр. 95χ2m распределено как ξ2k+1 + . . . + ξ2k+m ,а их сумма — как ξ21 + . . . + ξ2k+m , т.

е. имеет распределение Hk+m .2.Моменты распределения χ2 . Если χ2k имеет распределение Hk , тоE χ2k = kОглавлениеIIJID χ2k = 2k.Доказательство. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальноераспределение. ТогдаE ξ21 = 1,JJиD ξ21 = E ξ41 − (D ξ21 )2 = 3 − 1 = 2(см.

пример 20). ПоэтомуE χ2k = E (ξ21 + . . . + ξ2k ) = k,D χ2k = D (ξ21 + . . . + ξ2k ) = 2k.На стр. ... из 179НазадВо весь экранСледствие 3. Если ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют нормальное распределение Na,σ2 , тоk Xξi − a 22χk =σi=1имеетχ2 -распределениеHk с k степенями свободы.УйтиУпражнение. Доказать следствие 3.Стр. 96Упражнение. Как, пользуясь таблицей стандартного нормального распределения,найти квантиль заданного уровня для χ2 -распределения с одной степенью свободы?6.3.Распределение Стью́дента и его свойстваОпределение 17. Пусть ξ0 , ξ1 , . .