Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике

Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике, страница 10

PDF-файл Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике, страница 10 Теория вероятностей и математическая статистика (38276): Лекции - 3 семестрН.И. Чернова - Лекции по математической статистике: Теория вероятностей и математическая статистика - PDF, страница 10 (38276) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 10 страницы из PDF

из 179НазадВо весь экранXi − n Eα X1√ X − 1/α √ √= n= n αX − 1 ⇒ η,1/αn Dα X1Pα −c <√ n αX − 1 < c → Pα (−c < η < c) = 1 − εпри c = τ1−ε/2 .То естьPα −τ1−ε/2 <√ n αX − 1 < τ1−ε/2 == Pατ1−ε/2τ1−ε/211<α< + √− √nXnXXX!→1−εУйтиИтак, искомый асимптотический ДИ уровня доверия 1 − ε имеет видτ1−ε/2 1τ1−ε/21− √,+ √XnX XnXСтр. 85!.при n → ∞.Сформулируем общий принцип построения точных ДИ:1. Найти функцию G(X, θ), распределение которой G не зависит от параметра θ.Необходимо, чтобы G(X, θ) была обратима по θ при любом фиксированном X.Оглавление2. Пусть числа g1 и g2 — квантили распределения G такие, что1 − ε = Pθ (g1 < G(X, θ) < g2 ).JJIIJI3. Разрешив неравенство g1 < G(X, θ) < g2 относительно θ (если это возможно), получим точный ДИ.На стр. ...

из 179НазадВо весь экранУйтиСовершенно аналогично выглядит общий принцип построения асимптотических ДИ:1. Найти функцию G(X, θ), слабо сходящуюся к распределению G, не зависящему от параметра θ. Необходимо, чтобы G(X, θ) была обратима по θ прилюбом фиксированном X.2. Пусть g1 и g2 — квантили распределения G такие, чтоPθ (g1 < G(X, θ) < g2 ) → Pθ (g1 < η < g2 ) = 1 − ε.Стр. 863. Разрешив неравенство g1 < G(X, θ) < g2 относительно θ, получим асимптотический ДИ.Замечание 13.

Часто в качестве g1 и g2 берут квантили уровня ε/2 и 1 − ε/2распределения G. Но, вообще говоря, квантили следует выбирать так, чтобы получитьнаиболее короткий ДИ.ОглавлениеJJIIJIПример 25. Попробуем, пользуясь приведенной выше схемой, построить точныйдоверительный интервал для параметра θ > 0 равномерного на [θ, 2θ] распределения.XiМы знаем, что если Xi имеют распределение Uθ,2θ , то Yi =− 1 имеют распреθделение U0,1 . Тогда величинаY(n) = max{Y1 , . . .

, Yn } =На стр. ... из 179НазадВо весь экранX(n)max {X1 , . . . , Xn }−1=− 1 = G(X, θ)θθраспределена так же, как максимум из n независимых равномерно распределенныхна [0, 1] случайных величин, то есть имеет не зависящую от параметра θ функциюраспределенияy<00,FY(n) (y) = Pθ (η < y) =Уйтиyn , y ∈ [0, 1]1,y > 1.Для любых положительных g1 и g2Стр.

87X(n)− 1 < g2 =θX(n)X(n)= Pθ<θ<. (14)g2 + 1g1 + 1Pθ (g1 < G(X, θ) < g2 ) = Pθg1 <ОглавлениеДлина доверительного интервала равна X(n) ·(g2 −g1 )/ (g1 +1)(g2 +1) и уменьшаетсяс ростом g1 и g2 и с их сближением.Плотность распределения Y(n) на отрезке [0, 1] равна nyn−1 и монотонно возрастает. Поэтому самые большие значения квантилей g1 и g2 при самом маленькомрасстоянии между ними и при фиксированной площади под графиком плотности достигается выбором g2 = 1, а g1 такого, чтобы 1 − ε = Pθ (g1 < Y(n) < 1).Pθ (g1 < Y(n) < 1) = FY(n) (1) − FY(n) (g1 ) = 1 − gn1 = 1 − ε, т. е. g1 =JJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр.

88√nε.Подставим найденные квантили в (14):1 − ε = Pθ√nε < Y(n) < 1 = PθX(n)X(n)√ .<θ<21+ nεУпражнение. Можно ли, пользуясь схемой примера 23, построить точный ДИдля σ при известном a, если разрешить неравенство −c < η < c в (13) относительно σ? Можно предположить, например, что X−a > 0. Чем плох интервал бесконечнойдлины? А получился ли у Вас интервал бесконечной длины?√ X−aИз упражнения видно, что функция G вида nне годится для построенияσточного ДИ для σ при известном a, а тем более при неизвестном a. В следующейглаве мы займемся поиском подходящих функций. Следующий пример (как и пример 24) показывает, что ЦПТ дает универсальный вид функции G для построенияасимптотических ДИ.Пример 26.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из распределения Пуассона Пλ , где λ > 0. Требуется построить асимптотический ДИ для параметра λ уровнядоверия 1 − ε.ОглавлениеВспомним ЦПТ:nP1JJIIJIXi − nEλ X1√ X−λ√= n √ ⇒ η,nDλ X1λгде η имеет стандартное нормальное распределение. По определению слабой сходимости, при n → ∞!На стр. ... из 179Pλ√ X−λ−c < n √ < cλ→ Pλ (−c < η < c) = 1 − ε при c = τ1−ε/2 .НазадВо весь экранУйтиСтр.

89Но разрешить неравенство под знаком вероятности относительно λ не просто — получается квадратное неравенство√ из-за корня в знаменателе. Не испортится ли сходимость,√если мы заменим λ на X?pПо свойствам слабой сходимости, если ξn −→ 1 и ηn ⇒ η, то ξn ηn ⇒ η. Оценкаλ∗ = X состоятельна, поэтомуλ p−→ 1.XТогдаsλ √ X−λ √ X−λ⇒ η.· n √ = n √XλXПоэтому иPλ −τ1−ε/2ОглавлениеJJIIJIНа стр.

... из 179√ X−λ< n √< τ1−ε/2X!→ Pλ (−τ1−ε/2 < η < τ1−ε/2 ) = 1 − ε.Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно λ, получим√ √τ1−ε/2 Xτ1−ε/2 X → 1 − ε при n → ∞.√√<λ<X+Pλ X −nnИтак, искомый асимптотический ДИ уровня доверия 1 − ε имеет вид√√ τ1−ε/2 Xτ1−ε/2 XX −.√√, X+nnНазадВо весь экранВместо ЦПТ для построения асимптотических ДИ можно использовать асимптотически нормальные оценки (что по сути — та же ЦПТ): если θ∗ — АНО дляпараметра θ с коэффициентом σ2 (θ), тоG(X, θ) =Уйти√ θ∗ − θn⇒ η,σ(θ)где η имеет стандартное нормальное распределение.Стр. 90Замечание 14. Если σ(θ) в знаменателе мешает, то, как в примере 26, ее можнозаменить состоятельной оценкой σ(θ∗ ).

Достаточно, чтобы функция σ(θ) была непрерывной во всей области Θ. Требуется лишь ответить себе: почему θ∗ — состоятельнаяоценка для θ?6. Распределения, связанные с нормальнымВ предыдущей главе мы построили (в числе других) точный доверительный интервал для параметра a нормального распределения при известном σ2 . Для этого мырассмотрели функцию от выборки и неизвестного параметра aОглавление√ X−an,σимеющую при любом a стандартное нормальное распределение.G(X, a) =JJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранОстались нерешенными следующие проблемы:2) построить точный ДИ для σ при известном a,3) построить точный ДИ для a при неизвестном σ,4) построить точный ДИ для σ при неизвестном a.Как мы уже видели, для решения этих задач требуется отыскать функции от выборки и параметров, распределение которых было бы известно.

При этом в задаче (3)искомая функция не должна зависеть от неизвестного σ, а в задаче (4) — от a.УйтиТакой особый интерес к нормальному распределению связан, разумеется, с центральной предельной теоремой — по большому счету все в этом мире нормально (илиблизко к тому).Стр. 91Займемся поэтому распределениями, связанными с нормальным распределением, ихсвойствами и свойствами выборок из нормального распределения.6.1. Гамма-распределение и его свойстваОглавлениеJJIIJIС определением гамма-распределения мы познакомились в курсе теории вероятностей. вспомнить! Нам понадобится свойство устойчивости по суммированию этогораспределения, которое до сих пор было доказано только в частном случае — когданезависимые слагаемые имеют одно и то же показательное распределение Eα = Гα,1 .Свойство 7.

Пусть ξ1 , . . . , ξn независимы, и ξi имеет гамма-распределение Гα,λi ,i = 1, . . . , n. ТогдаnXSn =ξi имеет распределение Гα,Pn1 λi .i=1На стр. ... из 179НазадВо весь экранДоказательство свойства устойчивости по суммированию (свойства 7).Воспользуемся свойствами характеристических функций. Характеристическая функциягамма-распределения Гα,λ вычислена нами в курсе теории вероятностей и равнаitξϕξ (t) = E eУйтиit= 1−α−λ.Характеристическая функция суммы независимых случайных величин есть произведение характеристических функций слагаемых:ϕSn (t) =Стр.

92nYϕξi (t) =i=1— х.ф. распределения Гα,Pn1 λi .n Yi=1it1−α−λiit= 1−α− Pn λi1Свойство 8. Если ξ имеет стандартное нормальное распределение, то ξ2 имеетгамма-распределение Г1/2,1/2 .ОглавлениеJJIIДоказательство. Найдем производную функции распределения величины ξ2 и убедимся, что она является плотностью распределения. При y 6 0JIFξ2 (y) = P (ξ2 < y) = 0, поэтому и плотность fξ2 (y) = 0.На стр.

... из 179При y > 0√√√√Fξ2 (y) = P (ξ2 < y) = P (− y < ξ < y) = Fξ ( y) − Fξ (− y).НазадВо весь экранТогда√√√√= Fξ0 ( y) · ( y) 0 − Fξ0 (− y) · (− y) 0 =√fξ ( y)√√ 11= fξ ( y) + fξ (− y) · √ = √=√e−y/2 .2 yy2πy0fξ2 (y) = Fξ2 (y)УйтиНо функция fξ2 (y), равная 0 при y 6 0, и равнаяfξ2 (y) = √Стр. 931(1/2)1/2 1/2−1 −y/2yee−y/2 =Γ (1/2)2πyпри y > 0, является плотностью гамма-распределения Г1/2,1/2 .6.2. Распределение «хи-квадрат» и его свойстваИз свойства 7 и свойства 8 непосредственно следует утверждение:ОглавлениеСледствие 2. Если ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальноераспределение, то случайная величинаχ2k = ξ21 + . . .

+ ξ2kJJIIJIимеет гамма-распределение Γ1/2,k/2 .На стр. ... из 179НазадВо весь экранОпределение 16. Распределение суммы k квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин называют распределением «хи-квадрат» с k степенями свободы и обозначают Hk . Согласно следствию 2, распределение Hk совпадает с Г1/2,k/2 .УйтиНа графике ниже изображены плотности распределения Hk = Г1/2,k/2 при k равном 1, 2, 4 и 8.Стр. 94Упражнение. Доказать, что при k > 2 максимум плотности распределения Hkдостигается в точке k − 2.H1Вид плотности χ2 -распределения в зависимости от числа степеней свободыH2 = E1/20,5ОглавлениеH4JJIIJI02H86На стр.

... из 179Мы часто будем обозначать через χ2k случайную величину с распределением Hk .НазадРассмотрим свойства χ2 -распределения:Во весь экран1.УйтиУстойчивость по суммированию. Пусть случайная величина χ2k имеет распределение Hk , случайная величина χ2m имеет распределение Hm , причем эти случайныевеличины независимы. Тогда их сумма χ2k + χ2m имеет распределение Hk+m .Доказательство. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальноераспределение. Тогдаχ2k распределено как ξ21 + . . . + ξ2k ,Стр. 95χ2m распределено как ξ2k+1 + . . . + ξ2k+m ,а их сумма — как ξ21 + . . . + ξ2k+m , т.

е. имеет распределение Hk+m .2.Моменты распределения χ2 . Если χ2k имеет распределение Hk , тоE χ2k = kОглавлениеIIJID χ2k = 2k.Доказательство. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальноераспределение. ТогдаE ξ21 = 1,JJиD ξ21 = E ξ41 − (D ξ21 )2 = 3 − 1 = 2(см.

пример 20). ПоэтомуE χ2k = E (ξ21 + . . . + ξ2k ) = k,D χ2k = D (ξ21 + . . . + ξ2k ) = 2k.На стр. ... из 179НазадВо весь экранСледствие 3. Если ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют нормальное распределение Na,σ2 , тоk Xξi − a 22χk =σi=1имеетχ2 -распределениеHk с k степенями свободы.УйтиУпражнение. Доказать следствие 3.Стр. 96Упражнение. Как, пользуясь таблицей стандартного нормального распределения,найти квантиль заданного уровня для χ2 -распределения с одной степенью свободы?6.3.Распределение Стью́дента и его свойстваОпределение 17. Пусть ξ0 , ξ1 , . .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее