Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике

Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике, страница 5

PDF-файл Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике, страница 5 Теория вероятностей и математическая статистика (38276): Лекции - 3 семестрН.И. Чернова - Лекции по математической статистике: Теория вероятностей и математическая статистика - PDF, страница 5 (38276) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 5 страницы из PDF

. . · fθ (Xn ) =nYfθ (Xi )i=1называется функцией правдоподобия. Функция (тоже случайная)L(X, θ) = ln f(X, θ) =nXln fθ (Xi )i=1Стр. 39Pθ (X1 = ai ).Если же X1 имеет абсолютно непрерывное распределение, то fθ (y) есть привычная плотностьотносительно меры Лебега λ(dy) = dy:ZZPθ (X1 ∈ B) = fθ (y) λ(dy) = fθ (y) dy.НазадУйтиXai ∈BBВо весь экранai ∈BBZназывается логарифмической функцией правдоподобия.В дискретном случае функция правдоподобия f(x1 , . . .

, xn , θ) есть вероятностьвыборке X1 , . . . , Xn в данной серии экспериментов равняться x1 , . . . , xn . Этавероятность меняется в зависимости от θ:Оглавлениеf(x, θ) =nYfθ (xi ) = Pθ (X1 = x1 ) · . . . · Pθ (Xn = xn ) = Pθ (X1 = x1 , . . . , Xn = xn ).i=1JJIIJIНа стр. ... из 179Определение 7. Оценкой максимального правдоподобия θ^ неизвестного параметра θназывают значение θ, при котором функция f(X, θ) достигает максимума (как функцияот θ при фиксированных X1 , . . . , Xn ):θ^ = arg max f(X, θ).θНазадВо весь экранЗамечание 7. Поскольку функция ln y монотонна, то точки максимума f(X, θ) иL(X, θ) совпадают. Поэтому оценкой максимального правдоподобия (ОМП) можноназывать точку максимума (по θ) функции L(x, θ):Уйтиθ^ = arg max L(X, θ).θСтр.

40Напомним, что точки экстремума функции — это либо точки, в которых производная обращается в нуль, либо точки разрыва функции/производной, либо крайние точкиобласти определения функции.Пример 7. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из распределения ПуассонаПλ , где λ > 0. Найдем ОМП ^λ неизвестного параметра λ.Pλ (X1 = y) =λy −λe ,y!y = 0, 1, 2, .

. .Оглавлениеf(X, λ) =nYλXii=1JJIIJIПоскольку эта функция при всех λ > 0 непрерывно дифференцируема по λ, можноискать точки экстремума, приравняв к нулю частную производную по λ. Но удобнееэто делать для логарифмической функции правдоподобия:На стр. ... из 179λnX −nλL(X, λ) = ln f(X, λ) = ln QeXi !НазадВо весь экранλΣXi −nλλnX −nλe−λ = Qe=Qe.Xi !Xi !Xi !!= nX ln λ − lnnYXi ! − nλ.i=1Тогда∂nXL(X, λ) =− n,∂λλУйтиСтр. 41nXи точка экстремума ^λ — решение уравнения:− n = 0, то есть ^λ = X.λУпражнение.1) Убедиться, что ^λ = X — точка максимума, а не минимума.2) Убедиться, что ^λ = X совпадает с одной из оценок метода моментов.

по какому моменту?Пример 8. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из нормального распределенияNa,σ2 , где a ∈ IR, σ > 0; и оба параметра a, σ2 неизвестны.Выпишем плотность, функцию правдоподобия и логарифмическую функцию правдоподобия. Плотность:ОглавлениеJJIIJI−(y − a)2f(a,σ2 ) (y) = √exp2σ22πσ21!,функция правдоподобия:nPf(X, a, σ2 ) =На стр. ... из 179nYi=1√12πσ2exp −(Xi − a)22σ2!=(Xi − a)2 1 i=1exp−2σ2(2πσ2 )n/2,Назадлогарифмическая функция правдоподобия:Во весь экранnPnL(X, a, σ2 ) = ln f(X, a, σ2 ) = − ln(2π)n/2 − ln σ2 −2УйтиСтр.

42(Xi − a)2i=12σ2.В точке экстремума (по (a, σ2 )) гладкой функции L обращаются в нуль обе частныепроизводные:∂L(X, a, σ2 ) =∂a2nP(Xi − a)i=12σ2nPnX − na=;σ2(Xi − a)2∂ni=1L(X, a, σ2 ) = − 2 +.∂σ22σ2σ4ОглавлениеОценка максимального правдоподобия (^a, σ^2 ) для (a, σ2 ) — решение системы уравненийnP(Xi − a)2nX − nani=1= 0;− 2+= 0.σ22σ2(σ2 )2Решая, получим хорошо знакомые оценки:1Xσ^2 =(Xi − X)2 = S2 .nna^ = X,JJIIJIНа стр. ... из 179i=1Упражнение.1) Убедиться, что a^ = X, σ^2 = S2 — точка максимума, а не минимума.2) Убедиться, что эти оценки совпадают с некоторыми оценками метода моментов.НазадВо весь экранУйтиСтр. 43Пример 9.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из равномерного распределенияU0,θ , где θ > 0. Тогда θ^ = X(n) = max{X1 , . . . , Xn } (см. [3], пример 4.4, с.24 или [1],пример 5, с.91).Пример 10. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из равномерного распределения Uθ,θ+5 , где θ ∈ IR (см. также [1], пример 4, с.91).Выпишем плотность распределения и функцию правдоподобия.

Плотность:1/5, если y ∈ [θ, θ + 5]fθ (y) =0иначе,функция правдоподобия:(1/5)n , если все Xi ∈ [θ, θ+5](1/5)n , θ 6 X(1) 6 X(n) 6 θ+5f(X, θ) ===0иначе0иначеОглавление=JJIIJIВо весь экранесли X(n) − 5 6 θ 6 X(1)иначе.0Функция правдоподобия достигает своего максимального значения (1/5)n во всехточках θ ∈ [X(n) − 5, X(1) ].

График этой функции изображен на рис. 4.f(X, θ)На стр. ... из 179Назад(1/5)n ,615nqqaaX(n) − 5X(1)Рис. 4: Пример 10.Любая точка θ^ ∈ [X(n) − 5, X(1) ] может служитьоценкой максимального правдоподобия. Получаемболее чем счетное число оценок видаθ^α = (1 − α)(X(n) − 5) + αX(1)-θпри разных α ∈ [0, 1], в том числе θ^0 = X(n) − 5и θ^1 = X(1) — концы отрезка.УйтиСтр.

44Упражнение.1) Убедиться, что отрезок [X(n) − 5, X(1) ] не пуст.2) Найти оценку метода моментов (по первому моменту) и убедиться, что она иная посравнению с ОМП.3) Найти ОМП параметра θ равномерного распределения Uθ,2θ .2.6. Вопросы и упражнения1. Дана выборка X1 , . . . , Xn из распределения Бернулли Bp , где p ∈ (0, 1) — неизвестный параметр. Проверить, что X1 , X1 X2 , X1 (1 − X2 ) являются несмещенными оценкамисоответственно для p, p2 , p(1 − p).

Являются ли эти оценки состоятельными?ОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экран2. Дана выборка X1 , . . . , Xn из распределения Пуассона Пλ , где λ > 0 — неизвестныйпараметр. Проверить, что X1 и I(X1 = k) являются несмещенными оценками соответственноλk −λдля λ иe . Являются ли эти оценки состоятельными?k!3. Дана выборка X1 , . .

. , Xn из равномерного распределения U0,θ , где θ > 0 — неизвестный параметр. Проверить состоятельность и несмещенность оценок θ∗1 = X(n) , θ∗2 = 2X,θ∗3 = X(n) + X(1) для параметра θ.4. Построить оценки неизвестных параметров по методу моментов для неизвестных параметровследующих семейств распределений:a) Bp — по первому моменту, б) Пλ — по первому и второму моменту, в) Ua,b — попервому и второму моменту, г) Eα — по всем моментам, д) E1/α — по первому моменту,е) U−θ,θ — как получится, ж) Гα,λ — по первому и второму моменту, з) Na,σ2 (для σ2при a известном и при a неизвестном).5. Какие из оценок в задаче 4 несмещенные? состоятельные?УйтиСтр. 456. Сравнить вид оценок для параметра α, полученных по первому моменту в задачах 4(г)и 4(д). Доказать, что среди них только одна несмещенная.

Указание. Использоватьнеравенство Йенсена.7. Построить оценки неизвестных параметров по методу максимального правдоподобия дляследующих семейств распределений: a) Bp , б) Пλ+1 , в) U0,2θ , г) E2α+3 , д) U−θ,θ ,е) Na,σ2 (a известно).8. Какие из оценок в задаче 7 несмещенные? состоятельные?3. Сравнение оценокОглавлениеJJIIJIНа стр.

... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 46Используя метод моментов и метод максимального правдоподобия, мы получилидля каждого параметра уже достаточно много различных оценок. Каким же образомих сравнивать? Что должно быть показателем «хорошести» оценки?Понятно, что чем дальше оценка отклоняется от параметра, тем она хуже. Новеличина |θ∗ − θ| для сравнения непригодна: во-первых, параметр θ неизвестен, вовторых, θ∗ — случайная величина, так что эти величины обычно сравнить нельзя. Как,например, сравнивать |X−θ| и |Xk −θ|? Или, на одном элементарном исходе, |2.15−θ|и |3.1 − θ|?Поэтому имеет смысл сравнивать не отклонения как таковые, а средние значенияэтих отклонений, то есть Eθ |θ∗ − θ|.Но математическое ожидание модуля с.

в. считать обычно затруднительно, поэтомуболее удобной характеристикой для сравнения оценок считается Eθ (θ∗ −θ)2 . Она удобна еще и тем, что очень чутко реагирует на маловероятные, но большие по абсолютномузначению отклонения θ∗ от θ (возводит их в квадрат).Заметим еще, что Eθ (θ∗ − θ)2 есть функция от θ, так что сравнивать эти «среднеквадратические» отклонения нужно как функции от θ — поточечно. Такой подход ксравнению оценок называется среднеквадратическим.Разумеется, в зависимости от потребностей исследователя можно пользоваться идругими характеристиками, например, Eθ (θ∗ − θ)4 или Eθ |θ∗ − θ|.Существует и так называемый асимптотический подход к сравнению оценок, прикотором для сравнения оценок используется некая характеристика «разброса» оценкиотносительно параметра при больших n.3.1.

Среднеквадратический подход. Эффективность оценокПусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из параметрического семейства распределений Fθ , где θ ∈ Θ.ОглавлениеJJIIJIОпределение 8. Говорят, что оценка θ∗1 лучше оценки θ∗2 в смысле среднеквадратического подхода, если для любого θ ∈ ΘEθ (θ∗1 − θ)2 6 Eθ (θ∗2 − θ)2 ,и хотя бы при одном θ это неравенство строгое.На стр. ...

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее