Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике, страница 20

В силулинейности умножения, вектор η(n) тоже перейдет в вектор C · η(n) = (^η(n) , 0) с нулевойпоследней координатой. Но его норма не изменится из-за ортогональности матрицы C.^ (n) применим многомерную ЦПТ. В пределе получим (k−1)-мерный3. К вектору сумм ηнормальный вектор с нулевым средним и единичной матрицей ковариаций, т. е. составленныйиз независимых величин со стандартным нормальным распределением. Воспользуемся следствием 5 и тем, что квадрат нормы этого вектора имеет χ2 -распределение Hk−1 .Реализация:1. С каждым элементом выборки Xi свяжем вектор-столбец ξ(i) :I(Xi ∈ A1 ) − p1I(Xi ∈ Ak ) − pk(i)ξ = (ξ1 , . .

. , ξk ) =,...,, i = 1, 2, . . . , n.√√p1pkПолучим n независимых и одинаково распределенных векторов. Среднее a = E ξ(1) равноPnнулю, поскольку E I(X1 ∈ Aj ) = pj для любого j = 1, . . . , k. Далее, νj = i=1 I(Xi ∈ Aj ),поэтому Pnξ(i)ν1 − np1νk − npkSnSn − na√√,..., √= i=1=√ =.√np1npknnnНайдем матрицу ковариаций вектора ξ(1) , составленную из элементовI(X1 ∈ Ai ) − pi I(X1 ∈ Aj ) − pj1σij = cov=√,· (E I(X1 ∈ Ai )·I(X1 ∈ Aj )−pi pj =√√pipjpi pj1=√·pi pjpi − pi pj , если i = j,0 − pi pj ,1 − pi ,если i = j,=√− pi pj , если i 6= j.если i 6= jВырождена эта матрица хотя бы оттого, что координаты вектора ξ(1) линейно связаны:kX√Оглавлениеpj ξj =j=1JJIIJIНа стр.

... из 179I(X1 ∈ Aj ) −j=1kXpj = 1 − 1 = 0.(38)j=12. Из (38) мораль: если последняя строка ортогональной матрицы C будет иметь вид√√( p1 , . . . , pk ) (что вполне возможно — норма такой строки равна единице), то после умножения C на ξ(1) получим вектор с нулевой последней координатой — в точности (38).При умножении вектора ξ на матрицу C слева его матрица ковариаций Σ = E ξξT перейдетв B = CΣCT .

Убедимся, что, какой бы ни была ортогональная матрица C, в результате получимдиагональную матрицу из нулей с единицами на главной диагонали, кроме элемента bkk = 0.Ортогональность C означает, что для любых m 6= k и l 6= m имеют место равенстваkXНазадВо весь экранУйтиkXcmj ckj =j=1kX√cmj pj = 0,j=1kXc2mj = 1,j=1kXcmj clj = 0.j=1Учитывая, что il-й элемент матрицы CT есть cli , получимkkkXXXX√bml =cmj σji  cli =−cmj pi pj + cmi (1 − pi ) cli =i=1=kXi=1√pij=1Xi=1−cmjj6=iСтр. 174=√j6=ikXcmi , m 6= k√ pj − cmi pi + cmi  cli =cli ·=0,m=ki=11, m 6= k, m = l0, m = k или m 6= l=Ek−1000.(39)(1)Оглавление^ , 0)3. Осталось повторить то, что мы уже описали в плане: умножение C · ξ(1) = (ξприводит к вектору с нулевой последней координатой по (38).

Равенствами (39) мы показали,^ (1) ∈ IRk−1 имеет невырожденную единичную матрицу ковариаций Ek−1 . Векточто вектор ξ(1)(2)^ ,ξ^ , . . . независимы, одинаково распределены, имеют нулевое среднее C · E ξ(1) = 0.ра ξВсе условия многомерной ЦПТ выполнены, поэтому^ (n) =ηJJIIJIНа стр. ... из 179^ (1) + . .

. + ξ^ (n)ξ√⇒ η, где η имеет распределение N0,Ek−1 .n^ (n) слабо сходится к норме вектора η, состоящего, согласноПо следствию 5, норма вектора ηтеореме 14, из независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением:k^η(n) k2 ⇒ kηk2 =k−1Xη2i = χ2k−1 , где χ2k−1 имеет распределение Hk−1 .(40)i=1НазадВо весь экранРаспределение Hk−1 возникло здесь по определению 16. Осталось заметить, что у векто^ (n) , связанных равенствамиров η(n) , C · η(n) , ηC · η(n) =УйтиC · ξ(1) + . . . + C · ξ(n)√= (^η(n) , 0),nнормы одинаковы в силу (17): kη(n) k2 = kC · η(n) k2 = k(^η(n) , 0)k2 = k^η(n) k2 .

И все этинормы ведут себя так же как и (40).Упражнение. Найти среди этих норм величину ρ из теоремы Пирсона.Стр. 175Указатель терминовАппроксимация Фишера, 111Асимптотическая нормальность оценки, 53Асимптотический подход к сравнению оценок, 60ОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 176Байесовский критерий, 120, 125, 127Борелевская функция, 30Вариационный ряд, 11Вероятность ошибки i-го рода, 114Выборка, 7Выборочная дисперсия, 8, 14несмещенная, 14Выборочная медиана, 162Выборочное распределение, 8Выборочное среднее, 8, 14Выборочный коэффициент корреляции, 163Выборочный момент, 8, 14Гамма-распределение, 92Гипотеза, 112альтернативная, 112независимости, 113, 146однородности, 113, 145основная, 112простая, 112сложная, 112Гистограмма, 12Гливенко — Кантелли теорема, 16, 136Группировка наблюдений, 12, 25, 137Доверительный интервал, 80асимптотически точный, 81асимптотический, 80для параметров нормального распределения,84, 109, 110точный, 81Индикатор события, 10Информация Фишера, 66Квантиль, 83Класс оценокK0 , 48Kb(θ) , 48Ковариационная матрица, 168, 171Колмогоровакритерий, 135распределение, 17, 136теорема, 17, 136Колмогорова — Смирнова критерий, 145Корреляции коэффициент выборочный, 163Коши распределение, 98Критерий, 114байесовский, 120, 125, 127Колмогорова, 135Колмогорова — Смирнова, 145минимаксный, 119, 125, 127наиболее мощный, 121, 125, 127нерандомизированный, 114отношения правдоподобия, 124, 126рандомизированный, 124Стьюдента, 153согласия, 133Фишера, 148χ2 Пирсона, 137для проверки независимости, 146проверка сложной гипотезы, 142Критическая область, 116ОглавлениеJJIIJIНа стр.

... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 177ЛеммаНеймана — Пирсона, 125, 127Фишера, 104Линейная регрессия, 162, 164Линия регрессии, 158Логарифмическая функция правдоподобия, 39Матрицаковариаций, 168, 171ортогональная, 101плана, 164положительно определенная, 165Методмаксимального правдоподобия, 38оценка параметров регрессии, 159моментов, 32наименьших квадратов, 160Минимаксный критерий, 119, 125, 127МНК-оценка, 160Многомерная ЦПТ, 172Многомерное нормальное распределение, 171Мощность критерия, 116Наиболее мощный критерий, 121, 125, 127Наименьших квадратов метод, 160Неймана — Пирсона лемма, 125, 127Неравенство Рао — Крамерадля несмещенных оценок, 66для смещенных оценок, 67Несмещенность оценки, 30Норма вектора, 165Нормальное уравнение, 167Носитель семейства распределений, 62Отношение правдоподобия, 123Оценка, 30асимптотически нормальная, 53максимального правдоподобия, 40метода моментов, 32метода наименьших квадратов, 160несмещенная, 30состоятельная, 30сравнение в асимптотическом смысле, 60сравнение в среднеквадратичном, 47эффективная, 49, 62R-эффективная, 71Ошибка i-го рода, 114Ошибки регрессии, 158Параметр, 28Параметрическое семейство распределений, 28Пирсона теорема, 138Плотность распределенияотносительно меры Лебега, 38относительно считающей меры, 38Порядковая статистика, 11Размер критерия, 116ОглавлениеJJIIJIНа стр.

... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 178Ранг матрицы, 165Рао — Крамера неравенство, 66, 67Распределениевыборочное, 8гамма, 92Колмогорова, 17, 136Коши, 98многомерное нормальное, 171Стьюдента Tk , 97Фишера Fk,m , 100, 148Фишера — Снедекора, 100χ2 Пирсона, Hk , 94эмпирическое, 8Регрессии уравнение, 158Регрессия линейная, 162, 164Регулярность семейства распределений, 63Состоятельностьвыборочных характеристик, 15критерия, 134оценки, 30Сравнение критериевбайесовский подход, 119минимаксный подход, 119Сравнение оценокасимптотический подход, 60среднеквадратический подход, 47Статистика, 30порядковая, 11Стьюдентакритерий, 153распределение, 97Стэрджесса формула, 13Считающая мера, 39ТеоремаГливенко — Кантелли, 16, 136Колмогорова, 17, 136Пирсона, 138ЦПТ для векторов, 172Уравнение регрессии, 158Уровень доверия, 80асимптотический, 80Уровень значимости критерия, 116Условие регулярности, 63Факторы регрессии, 157Фишеракритерий, 148лемма, 104распределение, 100, 148Фишера — Снедекора распределение, 100Формула Стэрджесса, 13Функция борелевская, 30Функция правдоподобия, 39логарифмическая, 39χ2 критерий, 137для проверки независимости, 146для проверки сложной гипотезы, 142χ2 распределение, 94Эмпирическая функция распределения, 8, 10Эмпирическое распределение, 8Эффективная оценка, 49Литература[1] Боровков А.А.

Математическая статистика. М.: Наука, 1984.[2] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2, 1984.Оглавление[3] Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.СоболеваСО РАН, 2001.JJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 179[4] Большев Л.Н., Смирнов Н.В.

Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965..