Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2), страница 8

÷ÏÌÎÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÄÉÓËpÅÔÎÏÇÏ ÓÐÅËÔpÁ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÙÂpÁÎÙ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ. äÌÑ ÞÅÔÎÏÇÏ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÁ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÞÅÔÎÁ.x 11. ðÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÒØÅÒòÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ × ×ÉÄÅ ÓÔÕÐÅÎØËÉU(x) = U0 (x):(1)ôÏÇÄÁ ÐÒÉ E > U0 ÓÐÅËÔÒ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÅÎ É Ä×ÕËÒÁÔÅÎ, ËÁË É × ÐpÅÄÙÄÕÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÏÊ. ðÒÉ E < U0 ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, × ËÏÔÏpÏÊ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÞÁÓÔÉÃÁ ÐpÅÔÅpÐÅ×ÁÅÔ ÏÔpÁÖÅÎÉÅ É ÕÈÏÄÉÔ ÎÁÚÁÄ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ.ðÏÓÍÏÔpÉÍ, ËÁËÏ× ÓÐÅËÔp ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ (10.2) ÍÏÖÎÏ ÐpÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÆÏpÍÅ(+ ); x < 0;(x) = C1 sin(kx(2)òÉÓ. 1. ðÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑC2 e {x ;x > 0;ÓÔÕÐÅÎØËÁÇÄÅ | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ, Á k É { ÉÍÅÀÔ ÔÏÔ ÖÅ ÓÍÙÓÌ, ÞÔÏ É ×ÐpÅÄÙÄÕÝÅÍ pÁÚÄÅÌÅ.

æÕÎËÃÉÑ É ÅÅ ÐpÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÎÅÐpÅpÙ×ÎÙ × ÔÏÞËÅ x = 0; ÑÓÎÏ, ÞÔÏ28çìá÷á 3.ïäîïíåòîïå ä÷éöåîéåÓËÌÅÊËÕ ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÓÞÉÔÁÑ C1 É C2 ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ É × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÔÏËÁ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ pÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. æÉÚÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ É ÄÌÑ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÏÌÎÏÅÏÔpÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÇpÁÎÉÃÅ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ×ÐpÁ×Ï É ×ÌÅ×Ï pÁ×ÎÏ×ÅpÏÑÔÎÙ. ðÏÌÎÏÅ ÏÔpÁÖÅÎÉÅÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ E < U0 , ÎÏ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÆÁÚÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÜÎÅpÇÉÉ.

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÁÈÏÄÉÍk ctg = { :(3)üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ÏÇpÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ k, ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÐÅËÔp ÜÎÅpÇÉÊ ÎÅÐpÅpÙ×ÎÙÊ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ pÅÛÅÎÉÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÕpÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ ÐpÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÔÏÑÞÕÀ ×ÏÌÎÕ:(x; t) = sin(kx + )e i!t ; ! = ~k2 =2m; x < 0;(4)ËÏÔÏpÁÑ ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÑ ÐÁÄÁÀÝÅÊ eikx i!t É ÏÔÒÁÖÅÎÎÏÊ e ikx i!t ×ÏÌÎ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÆÁÚÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÓÏÔÙ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÓÔÕÐÅÎØËÉ É ÜÎÅÒÇÉÉÞÁÓÔÉÃÙ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉËÉ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÄÌÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÁ U(x)ÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ, ÓÔÁÂÉÌÉÚÉÒÕÀÝÅÇÏÓÑ ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ U = 0 É U = U0 > 0 ÐÒÉ x = 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÄÌÑE < U0 .

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ Ó ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØÀ ÕÈÏÄÁ ÞÁÓÔÉÃÙ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ ×ÏÄÎÕ ÓÔÏpÏÎÕ ÓÐÅËÔÒ ÜÎÅÒÇÉÊ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÊ É ÏÄÎÏËÒÁÔÎÙÊ.òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÒØÅÒ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÛÉpÉÎÙ.U(x) = U0 (x + a=2) (x a=2) :(5)ðÒÉ E < U0 ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÌÉÂÏ × ÏÂÌÁÓÔÉ x < a=2, ÌÉÂÏ × ÏÂÌÁÓÔÉ x > a=2,ÐÒÉÞ£Í ÞÁÓÔÉÃÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÐÅÒÅÊÔÉ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ × ÄÒÕÇÕÀ. ðÏËÁÖÅÍ,ÞÔÏ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÑ ÞÁÓÔÉÃÁ Ó ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ ÎÕÌÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÈÏÄÉÔØÓË×ÏÚØ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÒØÅÒ (ÔÕÎÎÅÌØÎÙÊ ÜÆÆÅËÔ). óÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÅ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÀ × ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÏÓÉ x ÉÍÅÅÔ×ÉÄ8 ikx><C1e {x+ C2e {ikxx ; x < a=2;(x) = >C3e + C4e ;(6)jxj < a=2;òÉÓ.

2. ðÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÊ:ikxCe;x>a=2;ÂÁÒØÅÒ5ÇÄÅ ~2 { 2 = 2m(U0 E); ~2 k2 = 2mE. úÄÅÓØ ÉÍÅÀÔÓÑ ÐÑÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×, ËÏÔÏpÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÐpÅÄÅÌÅÎÙ ÉÚ ÞÅÔÙpÅÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÓËÌÅÊËÉ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÅp×ÏÊÐpÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ × ÔÏÞËÁÈ ÐÏ×ÏpÏÔÁ x = a=2. ðÏÜÔÏÍÕ pÅÛÅÎÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐpÉ ×ÓÅÈ k (ÓÐÅËÔp ÜÎÅpÇÉÊÎÅÐpÅpÙ×ÅÎ), Á ÏÂÝÁÑ ÎÏpÍÉpÏ×ÏÞÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÏpÍÉpÏ×ËÉ ÎÁ ÄÅÌØÔÁ-ÆÕÎËÃÉÀ. ÷ pÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÓËÌÅÊËÉ ÎÁÈÏÄÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ: 21d = CC5 =:(7)2+{2 2 2k11 + 2k{ sh (a{ )üÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐpÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ { a, ÉÍÅÀÝÅÇÏ ÓÍÙÓÌ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ)ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÛÉpÉÎÙ ÂÁpØÅpÁ Ë ÍÏÄÕÌÀ ÄÅÂpÏÊÌÅ×ÓËÏÊ ÄÌÉÎÙ ×ÏÌÎÙ, ËÏÔÏpÁÑ ÐÏÄ ÂÁpØÅpÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏÍÎÉÍÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ.

ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ Ó Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ,Ô. Å. Ó pÏÓÔÏÍ U0 ÐÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÉ E.ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ:k2 + { 2 2 sh2 (a{ )r=1 d= 2 2 2 2:(8)(k + { ) sh (a{ ) + 4{ 2k2÷ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌÁÈ ÍÏÖÎÏ ÓÏ×ÅÒÛÉÔØ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÏÔ U0 Ë U0 (ÐÒÉ ÜÔÏÍ { ! iq,~2 q2 = E + U0 ), ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÐÅÒÅÈÏÄ ÏÔ ÂÁÒØÅÒÁ Ë ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÅ; ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉÃÙ,Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÎÁÄ ÑÍÏÊ, ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄk2 q2 2 sin2 (aq)r= 2 2 2 2:(9)(k q ) sin (aq) + 4q2{ 2üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÐÒÉ qa = n, n = 1; 2; : : : æÉÚÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÔÕÁÃÉÉ, ËÏÇÄÁ × ÑÍÅ ÕËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÄÅÂÒÏÊÌÅ×ÓËÉÈ ×ÏÌÎ.

ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÐÏÌÎÏÅÒÅÚÏÎÁÎÓÎÏÅ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÅ, ÔÁË ÞÔÏ d = 1, r = 0.x12.29ðåòéïäéþåóëéê ðïôåîãéáìx 12. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌïÓÏÂÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ U(x) = U(x + a), ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÎÁ ×ÓÅÊ ÏÓÉ. ôÁËÏÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ ÍÏÖÎÏ pÁÓÓÍÁÔpÉ×ÁÔØ ËÁË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÌÉÂÏ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÑÍ, ÌÉÂÏÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÂÁpØÅpÏ×. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÓÐÅËÔp ÜÎÅpÇÉÊ ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÏÅ ÐÏÌÏÖÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÄÉÓËpÅÔÎÙÍ É ÎÅÐpÅpÙ×ÎÙÍ.äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÕ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ × ÐÅpÉÏÄÉÞÅÓËÏÍ ÐÏÌÅ ÍÏÖÎÏÐÏÄÞÉÎÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÀ(x + na) = n (x); n 2 Z;(1)ÐÒÉÞ£Í jj = 1. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ 1 É 2 | Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ 1(x+a) É2 (x + a) ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑÍÉ 1(x) É 2(x), É ÂÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 1(x + a) = 1 1(x), 2 (x + a) = 2 2 (x).

éÚ ÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ×ÒÏÎÓËÉÁÎÁ W ( 1 ; 2) = 10 2 20 1ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ 1 2 = 1. õÓÌÏ×ÉÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÊ ÐÒÉ ×ÓÅÈ x ÔÏÇÄÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ 1 = 2 = ei ,ÇÄÅ | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒ. ðÒÉÎÑÔÏ ÐÏÌÁÇÁÔØ = Ka, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒ K ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ jK j 6 =a. éÔÁË, ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÍ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÍ ÐÏÌÅÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ (1) Ó = eiKa . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁçÁÍÉÌØÔÏÎÁ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÁÔØ × ×ÉÄÅ(x) = eiKx 'K (x);(2)ÇÄÅ 'K (x) | ÎÅËÏÔÏpÁÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ: 'K (x + a) = 'K (x) (ÔÅÏÒÅÍÁ âÌÏÈÁ).ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÓÐÅËÔÒ ÜÎÅÒÇÉÉ ÉÍÅÅÔ ÚÏÎÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, Ô.Å.

ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÉÎÔÅp×ÁÌÏ×ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÓÐÅËÔÒÁ, ÒÁÚÄÅÌ£ÎÎÙÈ ÐÕÓÔÙÍÉ ÚÁÐÒÅÝ£ÎÎÙÍÉ ÚÏÎÁÍÉ. ðÕÓÔØ 1 É 2 | Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ x 2 [0; a] É = C1 1 + C2 2. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÓÏÓÅÄÎÅÇÏÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ x 2 [a; 2a] ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:(x) = eiKa (C1 1 (x a) + C2 2(x a)):(3)åÓÌÉ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ ËÕÓÏÞÎÏ-ÎÅÐÒÅÒÙ×ÅÎ, ÔÏ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ (x) É 0 (x) × ÔÏÞËÅ x = a ÐÏÌÕÞÁÅÍÏÄÎÏÒÏÄÎÕÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÄÌÑ C1, C2, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ Å£ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ: (a) eiKa (0) (a) eiKa (0)122 1(4)0iKa00iKa 1(a) e 1(0) 2(a) e 20 (0) = 0:÷ÈÏÄÑÝÉÅ × ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ 1, 2 É ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÔÏÞËÁÈ 0 É a ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÎÅÒÇÉÉ E × ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ (4) Ñ×ÌÑÅÔÓÑÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁ E. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÑ × ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÅ, ÔÅÐÅÒØ × ÚÁÄÁÞÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÉÚÍÅÎÑÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒ K 2 [ 2 ; 2 ].

òÁÓËÒÙÔÉÅ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÄÁ£Ô ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁcos Ka = f(E);(5)ÇÄÅ f(E) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÊ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÉÚ 1;2(0), 1;2(a),001;2(0) É 1;2(a), ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ E ËÁË ÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ jf j 6 1, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÜÎÅÒÇÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÏÎ.÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÐpÉÍÅpÁ pÁÓÓÍÏÔpÉÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ -ÆÕÎËÃÉÊ:2U(x) = ~m{1Xn= 1(x + na):(6)ìÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ pÅÛÅÎÉÑ ÎÁ ÉÎÔÅp×ÁÌÅ x 2 [0; a] ÍÏÖÎÏ ×ÙÂpÁÔØ × ×ÉÄÅikxikx;~2 k2 = 2mE:(7)1=e ;2=eóËÌÅÊËÕ Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÎÁ ÓÏÓÅÄÎÅÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÒÏ×ÏÄÉÔØ ÓÏÇÌÁÓÎÏ (10.11). ôÏÇÄÁ ×ÍÅÓÔÏ (4) ÂÕÄÅÍÉÍÅÔØ eiKa eikaeiKa e ika (8)eiKa eika(1 2ki{ ) eiKa e ika(1 + 2ki{ ) = 0;30çìá÷á 3.ïäîïíåòîïå ä÷éöåîéåÏÔËÕÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ k ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÅÍj cos ka + {k sin kaj 6 1;(9)Ô.

Å. ÒÁÚÒÅÛ£ÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ k ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ×, ÒÁÓÛÉÒÑÀÝÉÈÓÑÓ ÒÏÓÔÏÍ k. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÜÎÅÒÇÉÑ ×ÎÕÔÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÜÎÅÒÇÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÏÎ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ k ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ÄÌÑÓ×ÏÂÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ: E = ~2 k2 =2m. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ p = ~k ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ë×ÁÚÉÉÍÐÕÌØÓÏÍ.x 13. çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒúÁÄÁÞÁ Ï ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÅ ÉÍÅÅÔ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ × ÔÅÏÒÉÉ Ô×£ÒÄÏÇÏ ÔÅÌÁ,pÁÄÉÏÆÉÚÉËÅ, ÏÐÔÉËÅ, Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏÌÑ É ÄpÕÇÉÈ pÁÚÄÅÌÁÈ ÆÉÚÉËÉ. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÏÐÉÓÁÎÉÑ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÁ × Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÉ, ÏÄÎÉÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ (ÐpÏÓÔpÁÎÓÔ×Á æÏËÁ).

ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÉÄÅÅÊ ÜÔÏÇÏ ÐÏÄÈÏÄÁ (ÎÅËÏÔÏpÙÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑËÏÔÏpÏÇÏ ÏÐÉÓÁÎÙ × äÏÐÏÌÎÅÎÉÉ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÁp2 + m!2 x2H = 2m(1)2× ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÐÁÒÙ ×ÚÁÉÍÎÏ-ÓÏÐÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔØ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁp(1) É ×ÙÔÅËÁÀÝÁÑ ÏÔÓÀÄÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ ÓÐÅËÔÒÁ ÜÎÅpÇÉÊÓÎÉÚÕ. ÷ÙÄÅÌÉ× ÒÁÚÍÅÒÎÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ x0 = ~=m!, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎ × ×ÉÄÅ~!H= 2" 2 2#x + p;x0p0(2)ÇÄÅ p0 = ~=x0, É ÐÒÏÉÚ×ÅÄ£Í ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÆÁËÔÏÒÉÚÁÃÉÀ:H = ~!(a+ a + 1=2);(3)××ÏÄÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÉÑ É ÒÏÖÄÅÎÉÑx px p11+a = p x + ip ; a = p x ip :(4)2 02 000ðÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ × (3) Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØÀ p É x. îÏ×ÙÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ÐÏÄÞÉÎÑÀÔÓÑ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ[a; a+] = 1:(5)ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÌÅÓÔÎÉÞÎÙÈ ÏÐÅpÁÔÏpÏ× × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× jni ; n = 0; 1; 2; : : : ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁH jni = En jni ;(6)ÇÄÅ En | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÐÏÓËÏÌØËÕ ÞÁÓÔÉÃÁ × Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏ ÒÁÓÔÕÝÅÍ ÐÏÌÅ ÎÅ ÕÈÏÄÉÔ ÎÁ 1,ÓÐÅËÔÒ ÜÎÅÒÇÉÊ ÄÉÓËÒÅÔÅÎ).

îÅÔÒÕÄÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×a, a+ Ó ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÏÍ:[H; a] = ~!a;[H; a+] = ~!a+ :(7)ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ a jni É a+ jni ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ H.äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,H(a jni) = a(H jni) + [H; a] jni = (En ~!)(a jni);(8)Ô. Å. a jni ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ En ~!. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÌÑ ÏÐÅpÁÔÏpÁ pÏÖÄÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍH(a+ jni) = a+ (H jni) + [H; a+] jni = (En + ~!)(a+ jni):(9)ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÐÅpÁÔÏpÁ a+ ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÜÎÅÒÇÉÉ.

íÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÉÑ a, ÎÁÐÒÏÔÉ×, ÄÏÌÖÎÏ ÐÒÉ×ÏÄÉÔØ ÌÉÛØ Ë ËÏÎÅÞÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ××ÉÄÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔÉ ÓÐÅËÔÒÁ ÓÎÉÚÕ. ëÁË ÔÏÌØËÏ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅx13.31çáòíïîéþåóëéê ïóãéììñôïòÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÎÅpÇÉÉ, ÍÅÎØÛÅÅ ~!, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÐpÉÓ×ÏÅÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÎÄÅËÓÁ n = 0, ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ×ÅËÔÏÒ j0i ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÐÏÓÌÅÄÎÉÍ × ÜÔÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ a ÄÏÌÖÎÏÄÁ×ÁÔØ ÎÕÌØ-×ÅËÔÏÒ:a j0i = 0:(10)üÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÄÌÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÁ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÅÊ E0.