Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2), страница 9

ðÒÉÍÅÎÑÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ Ë ×ÅËÔÏÒÕ j0i É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ (10), ÎÁÈÏÄÉÍH j0i = 12 ~! j0i ;(11)Ô. Å. ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏ E0 = 12 ~!. äÅÊÓÔ×ÕÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏÍ a+ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏÓÏÓÔÏÑÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÅÒ×ÏÅ ×ÏÚÂÕÖÄ£ÎÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ Ó ÜÎÅÒÇÉÅÊ E1 = 32 ~!, É Ô.Ä., × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÏ× jni, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍEn = ~! (n + 1=2):(12)åÓÌÉ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ jni É jn 1i ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÙ, hn ni = 1, hn 1 n 1i = 1, ÔÏ × Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÍ ÉÈ pÅËÕppÅÎÔÎÏÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÐÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ:pa jni = n jn 1i :(13)áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ (n + 1)-Ê ×ÅËÔÏp ÔÁËÖÅ ÎÏpÍÉpÏ×ÁÎ, hn + 1 n + 1i = 1, ÔÏ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØpa+ jni = n + 1 jn + 1i :(14)üÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÐÒÉÍÅÎÑÑ a+ Ë (13) É a Ë (14) É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ (3) É (12)a+ a jni = n jni :(15)ðÏ×ÔÏÒÎÏÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ (14) ÄÁ£Ô ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ jni ÞÅÒÅÚÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ:+njni = (ap ) j0i :(16)n!ðÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÙhn0 ni = nn0É ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÐÏÌÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ:=Xnjni hnj :(17)(18)ðÅÒÅÈÏÄ Ë ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍÕ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ, Ô.Å.

ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ n(x) = hx ni, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌ (10) É (16) ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÉÎÕÑ ÐÒÏÃÅÄÕÒÕ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ d d11+a = p q + dq ; a = p q dq ;(19)22ÇÄÅ q = x=x0, É ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10) ÐÏÌÕÞÁÅÍd (q) = 0:q + dq0(20)îÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ (× ÓÍÙÓÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ q) ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ1 q2 =2:0 (q) = p4 e(21)32çìá÷á 3.ïäîïíåòîïå ä÷éöåîéåäÌÑ n(q) Ó ÐÏÍÏÝØÀ (16) ÐÏÌÕÞÁÅÍ d n 2q =2 = N H (q) e q2 =2;(22)=Nn nnn q dq eÇÄÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ ÒÁ×ÎÁNn = p n1 p ;(23)2 n! Á ÆÕÎËÃÉÉ d n 22 =2qHn = eq dq e q =2(24)Ñ×ÌÑÀÔÓÑ 2ÐÏÌÉÎÏÍÁÍÉ n-Ê ÓÔÅÐÅÎÉ (ÐÏÌÉÎÏÍÁÍÉ üÒÍÉÔÁ). ÷ ÓÉÌÕ (17) ÐÏÌÉÎÏÍÙ üÒÍÉÔÁ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ Ó×ÅÓÏÍ e q :Z11pHn0 (q)Hn(q)e q2 dq = 2n n! nn0 :(25)óÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ (22) ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÐÏÌÕÞÉÔØ É × pÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁd2 + q2 = E ;(26)dq2~!ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌÉ ÂÙ, ÞÔÏ ÎÏÒÍÉÒÕÅÍÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ E = ~!(n + 1=2).

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÌÉÎÏÍÙ üÒÍÉÔÁ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n Þ£ÔÎÙ ÄÌÑ Þ£ÔÎÙÈ n É ÎÅÞ£ÔÎÙ ÄÌÑ ÎÅÞ£ÔÎÙÈ:q) = ( 1)n n (q):(27)ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Þ£ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. ðÏÌÉÎÏÍÙ üÒÍÉÔÁ Hn(q) ÉÍÅÀÔ n ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÕÌÅÊ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ n-Å ×ÏÚÂÕÖÄ£ÎÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÉÍÅÅÔ n ÎÕÌÅÊ, ÞÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÓÐÅËÔÒÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ. ÷ ÓÉÌÕ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÊ Þ£ÔÎÏÓÔÉ nÓÒÅÄÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÁË ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÁË É ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÉÍÐÕÌØÓÁ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÈ n ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. üÔÏÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÆÏÒÍÕÌÙ (13,14,17,19):p(28)hnj q jni = p1 hnj a + a+ jni = p1 hn n 1i pn + hn n + 1i n + 1 = 0:22áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÌÑ pq = p=p0 = id=dq ÉÍÅÅÍn(hnj pq jni = p1 hnj a a+ jni = 0:(29)i 2ðÏÓÔÒÏÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÔÁËÉÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ (×ÏÌÎÏ×ÙÅ ÐÁËÅÔÙ), × ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ É ÉÍÐÕÌØÓ × ÓÒÅÄÎÅÍÐÒÉÎÉÍÁÀÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.

õpÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ËÏÇÅpÅÎÔÎÙÍÉ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔÅÊ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÂÅÚpÁÚÍÅpÎÙÈ ÐÅpÅÍÅÎÎÙÈ q; pqÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎ ÓÉÍÍÅÔpÉÞÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÍÅÎÙ ÉÍÐÕÌØÓÁ ÎÁ ËÏÏpÄÉÎÁÔÕ É ÎÁÏÂÏpÏÔ. âÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØÓÏÓÔÏÑÎÉÑ, × ËÏÔÏpÙÈ ÄÉÓÐÅpÓÉÉ ËÏÏpÄÉÎÁÔÙ É ÉÍÐÕÌØÓÁ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù (q = pq ) É ÍÉÎÉÍÉÚÉpÕÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅÏÐpÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÅÊ, Ô. Å. (q)2 = 1=2. îÅÔpÕÄÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏpÅÎÙ ×ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÈ ji, ÐÏÄÞÉÎÑÀÝÉÈÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀD Eq ji = ipq ji ;(30)ÇÄÅ q = q hqi, pq = pq pq . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐpÉÍÅÎÉÔØ ÜÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÐÏ×ÔÏpÎÏ É ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÏÍÍÕÔÁÔÏp [q; pq ] = i.

õpÁ×ÎÅÎÉÅ (30) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ:a ji = ji ;(31)x13.33çáòíïîéþåóëéê ïóãéììñôïòD EÇÄÅ = hqi + i pq . íÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÕpÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÏÐÅpÁÔÏpÁ pÏÖÄÅÎÉÑ, ÐpÉÞÅÍÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÎÅÓÁÍÏÓÏÐÒÑÖ£ÎÎÏÇÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ, ËÁËÏ×ÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ a, ÚÁÒÁÎÅÅ ÎÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÏ, ÎÁÐpÉÍÅp, ÔÁËÉÈÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÓÏÐpÑÖÅÎÎÏÇÏ ÏÐÅpÁÔÏpÁ a+ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ïÄÎÁËÏ pÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (31) Ó ÔÒÅÂÕÅÍÙÍÉÓ×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÄ×ÉÇ q0 = q2 ÐÒÅ×ÒÁÝÁÅÔ (31) × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ 0 (q), É ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ: (q) = N e(qp2)2 =2;(32)ÇÄÅ (q) = hq i É N | ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ËÏÎËÒÅÔÉÚÉÒÏ×ÁÎÁ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ.òÅÛÅÎÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÉ ×ÓÅÈ 2 C .ðÏÓÔÒÏÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕpÁ×ÎÅÎÉÑ (31) × ÆÏËÏ×ÓËÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ji ××ÉÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏ ÐÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ×ÅËÔÏÒÏ× jni:ji =1Xn=0Cn jni :(33)ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (31) É ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (13), ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ, ÞÔÏCn+1 = pn Cn;(34)ÏÔËÕÄÁnCn = p C0 :(35)n!ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (33), Ó ÕÞ£ÔÏÍ (16) ÎÁÈÏÄÉÍ1 (a+ )n1 nXXj0i = C0 ea+ j0i :(36)ji = C0 p jni = C0n!n=0n=0 n!ðÏÓÔÏÑÎÎÕÀ C0 ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ h i = 1.

èÏÔÑ ÜÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ É ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ, ÐÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ âÅÊËÅÒÁ{èÁÕÓÄÏÒÆÁ ÄÌÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× X, Y , ÔÁËÉÈÞÔÏ [Z; X] = [Z; Y ] = 0, ÇÄÅ Z = [X; Y ]:eX eY = e 12 [X;Y ] eX +Y :ðÏÌÁÇÁÑ X = a+ , Y = a, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ+ ea a j0i = ejj2 a+ ajj2jj22 eej0i = e 2 ea+ j0i = e 2 C0 1 ji ;(37)(38)ÇÄÅ ÕÞÔÅÎÏ, ÞÔÏ e a j0i = j0i. 2ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ea+ a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ, ÔÏ ÄÌÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉji ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÏÌÏÖÉÔØ C0 = e jj =2 . éÔÁË, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÄÌÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ji ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅji = e a+2 ej0i :(39)óÉÓÔÅÍÁ ×ÅËÔÏÒÏ× ji ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÐÁpÙ ÔÁËÉÈ×ÅËÔÏpÏ× pÁ×ÎÏ2 0 2 X m 0nph0 i = e jj +2j jhm ni = exp 0 12 jj2 + j0j2 :(40)m;n=0 m! n!ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌØ ÓËÁÌÑpÎÏÇÏ ÐpÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑj h0 i j = e 12 j 0j2 ;(41)ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÇÅpÅÎÔÎÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏpÏ× ÓÁÍÏÓÏÐpÑÖÅÎÎÙÈ ÏÐÅpÁÔÏpÏ×.

éÍÅÎÎÏ, ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ j iÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÍ ji:Zj i = B() ji d2;(42)34çìá÷á 3.ïäîïíåòîïå ä÷éöåîéåÇÄÅ d2 = d Re d Im É ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅÄ£ÔÓÑ ÐÏ ×ÓÅÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÐÅpÅÍÅÎÎÏÊ . äÌÑÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÄÉÎÉÃÙ ÐÏ ÐÒÏÅËÔÏÒÁÍ ji hj. éÍÅÅÍZZ12 Xnm d2:d2 ji hj = e jjjni hmj p(43)n!m!m;n=0CCðÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÐÏÌÑÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ = e i' , ÎÁÈÏÄÉÍZ2e jj nm d2 =Z10e2 n+m dÏÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓËÏÍÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÄÉÎÉÃÙZ20e i(n m)' d' = nm n!;Z= 1 jihj d2:(44)(45)CíÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÕÖÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÇÅÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ jlm i, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ = p (l + im), ÇÄÅ l É m | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÃÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÂÁÚÉÓ × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÉÓÔÅÍÁ ×ÅËÔÏpÏ× ji Ó ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÍÅÎÑÀÝÉÍÓÑ 2 C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÅÐÏÌÎÅÎÎÏÊ.òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ×Ï ×ÒÅÍÅÎÉ ÓÒÅÄÎÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ É ÉÍÐÕÌØÓÁ, ÅÓÌÉ × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ t = 0 ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÁÈÏÄÉÌÁÓØ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ji.

ðÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÅÊÚÅÎÂÅÒÇÏ×ÓËÏÊËÁÒÔÉÎÏÊ. éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6.2) ÄÌÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× a(t) É a+ (t) ÐÏÌÕÞÁÅÍda(t) = i!a(t);da+ (t) = i!a+ (t);(46)dtdtÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔa(t) = ae i!t ; a+ (t) = a+ ei!t :(47)ôÅÐÅÒØ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÅÊÚÅÎÂÅÒÇÏ×ÓËÉÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ É ÉÍÐÕÌØÓÁ(48)x(t) = px0 a(t) + a+ (t) = px0 ae i!t + a+ ei!t ;22p(t) = pp0 a(t) a+ (t) = pp0 ae i!t a+ ei!t :(49)2i2iðÒÉ ÕÓÒÅÄÎÅÎÉÉ ÐÏ ËÏÇÅÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÍ ÉÍÅÅÍ hj a ji = , hj a+ ji = , ÐÏÜÔÏÍÕ, ××ÅÄÑ ÍÏÄÕÌØ É ÆÁÚÕ ' ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ = exp( i'), ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØpphxit = 2 x0 cos(!t + '); hpit = 2 p0 sin(!t + '):(50)ìÅÇËÏp ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÜÔÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÁ, ÐÒÉÞ£Í2x0 ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌØ ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ, Á ' | ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÆÁÚÙ ËÏÌÅÂÁÎÉÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ !x0 = p0, ÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅhpit = m dtd hxit :(51)áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÉÓÐÅÒÓÉÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÉÍÐÕÌØÓÏ× × ËÏÇÅÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÈ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔÅÊ × ÐpÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×pÅÍÅÎÉ.

÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÐpÏ×ÅÄÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ, ÄÌÑ ×ÅÌÉÞÉÎqÐpÉ×ÏÄÑÔ Ë pÅÚÕÌØÔÁÔÕÔÁË ÞÔÏt x = hx2it hxi2t ;t x = px0 ;2qt p = hp2it hpi2t ;(52)t p = pp0 ;2(53)t x t p = x02p0 = ~2 :(54)x14.35óëìåêëá ë÷áúéëìáóóéþåóëéè òåûåîéêx 14. óËÌÅÊËÁ Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ × ÔÏÞËÁÈ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ÷ Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÄÁ£ÔÓÑ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÕpÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÓÐÅËÔÒÁ ÜÎÅÒÇÉÊ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÅ, Á ÔÁËÖÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÅÒÅÚ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÒØÅÒ × ÔÅpÍÉÎÁÈ ÞÉÓÔÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ.

äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ ÓËÌÅÊËÕ ÒÅÛÅÎÉÊ ÔÉÐÁ (8.14) ×ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÏÒÏÔÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ €ÐÒÁ×Ïʁ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ËÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ × ÏÂÌÁÓÔÉx 6 x0. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÂÙÌÁ ÐÏÓÔpÏÅÎÁ × x 8, ÐÒÉÞ£ÍÓÌÅÄÕÅÔ ÕÞÅÓÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÂÏÉÈ ÚÎÁËÏ× ÐÒÉ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÉ ËÏÒÎÑ × (8.10), ÞÔÏÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÏÌÎÁÍ, ÂÅÇÕÝÉÍ ×ÐÒÁ×Ï É ×ÌÅ×Ï:òÉÓ. 1. ðÒÁ×ÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ0101C1 exp @ i Z p dxA + C2 exp @ i Z p dxA :=pppx<x0p~~x0xx0x(1)úÄÅÓØ ÕÞÔÅÎÏ, ÞÔÏ ÕËÏÒÏÞÅÎÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÊ ÏÔ ÉÍÐÕÌØÓÁ p = p(x), ÐÏÄ ËÏÔÏÒÙÍ × (1) ÐÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÒÎÑqp(x) = 2m E U(x) :(2)òÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÐÒÉ×ÅÌÉ Ë ÆÏÒÍÕÌÅ (8.14) ÄÌÑ Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ É ÄÏÓÔÕÐÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÙ É ÄÌÑ ÏÂÌÁÓÔÉ U(x) > E, × ËÏÔÏÒÏÊËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÉÍÐÕÌØÓ (2) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ.

ïÓÔÁ×ÌÑÑ ÌÉÛØ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÚÁÔÕÈÁÀÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ0 Zx 1D1x>x0 = pjpj exp @ ~ jpjdxA ;x0(3)qÇÄÅ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ jpj ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ (2) ÐÒÉ x > x0 , Ô.Å. jpj = 2m U(x) E . ïÂÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) É (3) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÎÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ÕÄÁÌÅÎÉÉ ÏÔ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ x0 , É ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÓËÌÅÉÔØÉÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ.ïÄÎÉÍ ÉÚ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÓËÌÅÊËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ × ËÏÍÐÌÅËÓÎÕÀ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ = x x0. ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ ÏÓÔÁ£ÔÓÑ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ É ÐÒÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ x ×ÄÁÌÉÏÔ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÂÈÏÄÑ ÔÏÞËÕ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ = 0 × ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÊÔÉ ÏÔÒÅÛÅÎÉÑ (3) Ë ÒÅÛÅÎÉÀ (1) ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÓÉ. ÷ ÐÒÁ×ÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ = 0 ÉÍÅÅÍ p@U1=2jpj = ; = @x 2m:(4)x0ðÏÌÎÁÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ p ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ Ä×ÕÌÉÓÔÎÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÅpÅÍÅÎÎÏÊ , ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË = j jei' ÐÒÉ 2 6 ' 6 2.