Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2), страница 5

þÔÏÂÙ Ó×ÑÚÁÔØÉÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, ×ÓÔÁ×ÉÍ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ (6) ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÄÉÎÉÃÙ ÐÏ ÂÁÚÉÓÕ jpi:1=ÔÏÇÄÁ(x) =ZZjpi hpj dp;Zhx pi hp i dp = hx pi (p) dp:(15)(16)÷ÈÏÄÑÝÁÑ ÓÀÄÁ ÓËÏÂËÁ hx pi Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (ÏÂÏÂÝ£ÎÎÏÊ) ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÉÍÐÕÌØÓÁ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ~ d(17)i dx hx pi = p hx pi :ó ÕÞ£ÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ × ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÍ ÓÐÅËÔÒÅ ÎÁ ÄÅÌØÔÁ-ÆÕÎËÃÉÀ, ÎÁÈÏÄÉÍhx pi = (2~1)1=2 eipx=~ ;(18)É × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (16) ÐÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÉÄZ(x) = (2~1)1=2 (p)eipx=~ dp:áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅZ(p) = (2~1)1=2(x)e ipx=~ dx:(19)(20)ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÉÍÐÕÌØÓÁ Ó×ÑÚÁÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍæÕÒØÅ. ÷ ÉÍÐÕÌØÓÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (4.18) ÒÅÁÌÉÚÕÀÔÓÑ ÔÁË:d;pb = p;xb = i~ dp(21)Á × ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÅÅÍpb = p; rb = i~rp:(22)äÒÕÇÏÅ ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ | ÜÎÅÒÇÅÔÉÞÅÓËÏÅ.

óÐÅËÔÒ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ × ÔÉÐÉÞÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÕÞÁÓÔËÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÆÉÎÉÔÎÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÀ, É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ,ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÇÏ ÉÎÆÉÎÉÔÎÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ ÞÉÓÔÏ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÓÐÅËÔÒÁHb jni = En jni :(23)ôÏÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ €×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉс ÂÕÄÅÔ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÏÂÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ fcn g 2 `2 , ÇÄÅcn = hn i :(24)(ÚÄÅÓØ ÐÒÉÎÑÔÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ: cn = (n)).

÷ ÄÉÓËpÅÔÎÏÍ ÜÎÅÒÇÅÔÉÞÅÓËÏÍÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÓÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍÉ ÜÒÍÉÔÏ×ÙÍÉ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ,xn0 n = hn0 j x jni ; pn0n = hn0 j p jni :(25)íÁÔÒÉÃÁ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁ × ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ:Hn0n = Enn0 n:(26)ðÅÒÅÈÏÄ ÏÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ë ÜÎÅÒÇÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ pÁÚÌÏÖÅÎÉÑX(x) = cn n (x);(27)ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔnn (x) = hxniÅÓÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ:Hb n = En n :õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (29) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ.(28)(29)x6.17ëáòôéîù çåêúåîâåòçá é ûò³äéîçåòáx 6.

ëÁÒÔÉÎÙ çÅÊÚÅÎÂÅÒÇÁ É ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÏÊ F (p; q) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Å£ÓËÏÂËÏÊ ðÕÁÓÓÏÎÁ Ó ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÏÍ:dF = fH; F g = @H @F @H @F = dq @F + dp @F :(1)dt@p @q @q @p dt @q dt @pîÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ × x 4 ÐÒÉÎÃÉÐÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÑ, ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× ÓÌÅÄÕÅÔÎÁÐÉÓÁÔØdF(t) = i H; F (t);(2)dt~ÇÄÅ F(t) ÅÓÔØ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ F × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t.

÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÁÞÁÌÁ ÏÔÓÞ£ÔÁ ×ÒÅÍÅÎÉ×ÙÂÅÒÅÍ t = 0, ÐÏÌÁÇÁÑ F(0) = F , ÇÄÅ F | ÒÁÎÅÅ ××ÅÄÅÎÎÙÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÏÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÊ × ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ. âÕÄÅÍ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÔØ ÄÌÑ ÐÒÏÓÔÏÔÙ, ÞÔÏ H ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ Ñ×ÎÏ. ôÏÇÄÁÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (2) ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ:F (t) = U + F U ;(3)ÇÄÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒ(4)U = exp iHt~ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏÍ Ü×ÏÌÀÃÉÉ É F = F(0). ÷ ÓÉÌÕ ÓÁÍÏÓÏÐÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁ H ÏÐÅÒÁÔÏÒÜ×ÏÌÀÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ :U 1 = U +:(5)åÓÌÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ F (p; q; t) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ Ñ×ÎÏ, ÔÏ × (1) É, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, × (2) ÐÏÑ×ÉÔÓÑÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ @F=@t:dF(t) = @F + i H; F (t):(6)dt@t ~åÓÌÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ Ñ×ÎÏ, ÔÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒ Ü×ÏÌÀÃÉÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑi~ ddtU = H U ;(7)× ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ (4) ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÈÒÏÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÜËÓÐÏÎÅÎÔÕ:0 Zt 1U = Texp @ ~i H dtA ;0(8)ÇÄÅ ÓÉÍ×ÏÌ T ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÔÅÊÌÏÒÏ×ÓËÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐpÏÉÚ×ÏÄÉÔØÕÐÏpÑÄÏÞÅÎÉÅ ÐÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ ÁpÇÕÍÅÎÔÁ, ÎÁÐpÉÍÅp,T(H(t1 )H(t2 )) = H(t1)H(t2 )(t1 t2 ) + H(t2)H(t1 )(t2 t1)(9)É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ×ÙÓÛÉÈ ÞÌÅÎÏ× ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÙ × ÐÏÒÑÄËÅ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ×pÅÍ£Î).

äÌÑ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ (8) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (7) É ÚÁÐÉÓÁÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ×ÒÅÍÅÎÉ × n-ÍÞÌÅÎÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÜËÓÐÏÎÅÎÔÙ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ó ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀÐÒÅÄÅÌÏ×.ïÐÉÓÁÎÎÁÑ ËÁÒÔÉÎÁ Ü×ÏÌÀÃÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÊÚÅÎÂÅÒÇÏ×ÓËÏÊ. ÷ ÎÅÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÁ × ÏÐÅÒÁÔÏÒÁÈ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ×ÅËÔÏÒ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÏÓÔÁ£ÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍ: j i = j (0)i.íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ F × ÍÏÍÅÎÔ t ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (4.15):hF it = h (0)j F (t) j (0)i :(10)ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ (3) ÄÌÑ F (t) ÍÏÖÎÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÐÅÒÅÐÉÓÁÔØ ÜÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ × ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÍ ×ÉÄÅhF it = h (0)j U + F (0)U j (0)i = h (t)j F(0) j (t)i ;(11)18çìá÷á 2.ïóîï÷îùå ðòéîãéðùÇÄÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÔÎÅÓÅÎÁ Ë ×ÅËÔÏÒÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ:j (t)i = U j (0)i :(12)ôÏÇÄÁ ÄÌÑ j (t)i ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ(13)i~ dtd j (t)i = H j (t)iÓ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (t = 0) = (0).

ôÁËÏÅ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ×ÅÌÉÞÉÎ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁÒÔÉÎÏÊ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ. ÷ ËÁÒÔÉÎÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍÉ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ×ÅËÔÏÒ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ Ü×ÏÌÀÃÉÏÎÉÒÕÅÔ. ÷ÙÂÉÒÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ ÄÌÑ ÔÏÞÅÞÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ, Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ × ÐÏÌÅ U(r; t):(r; t) = ~2 (r; t) + U(r; t) (r; t);i~ @ @t(14)2mÇÄÅ (r; t) = hr (t)i.

(þÔÏÂÙ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÏÔ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5.29), ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (14) ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÏÌÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ.)åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÐÒÉ t = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ,H j Ei = E j Ei ;(15)ÔÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ, × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó (13), ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔÁ:j (t)i = eiEt=~ jEi :(16)÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÏÊ F ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ:hF i = h (t)j F (0) j (t)i = h E j F(0) j E i ;(17)ÐÏÜÔÏÍÕ ÔÁËÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÍ. õÅÄÉΣÎÎÁÑ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÏÖÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ×ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÄÏÌÇÏ. þÔÏÂÙ ×Ù×ÅÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ×ÎÅÛÎÅÅ ×ÏÚÄÅÊÓÔ×ÉÅ, ÞÔÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ × ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁ.

äÌÑ ÎÏ×ÏÇÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (15), ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏpÑ, ÐÅÒÅÓÔÁ£Ô ×ÙÐÏÌÎÑÔØÓÑ, É ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÕÖÅ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÓÔÁÃÉÏÎÁpÎÙÍ.ãÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏÓÔØ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ËÁÒÔÉÎÙ Ü×ÏÌÀÃÉÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÐÅÃÉÆÉËÉ ÚÁÄÁÞÉ. ôÁË,ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÖÉÄÁÎÉÊ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÊÑ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁÒÔÉÎÁ çÅÊÚÅÎÂÅÒÇÁ. äÌÑ ÏÐÅpÁÔÏpÏ× ÉÍÐÕÌØÓÁ É ËÏÏpÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅÞÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ ÕpÁ×ÎÅÎÉÑ (2)ÐpÉÎÉÍÁÀÔ ×ÉÄp_(t) = i [H(t); p(t)];(18)~r_ (t) = ~i [H(t); r(t)]:(19)[F1(t); F2(t)] = [U + F1 (t)U ; U + F2 (t)U ] = U + [F1(0); F2(0)]U = iF3 (t):(20)úÄÅÓØ × ÐpÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ÓÔÏÑÔ ËÏÍÍÕÔÁÔÏpÙ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁ Ó ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÏÐÅpÁÔÏpÁÍÉ p(t); r(t), ÄÌÑ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÔÏpÙÈ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ (3) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉÔÁpÎÙÍ É ÐÏÔÏÍÕ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔ ËÏÍÍÕÔÁÔÏpÁ.

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ [F1(0); F2(0)] = iF3 (0), ÔÏðÏÓËÏÌØËÕ H(t) H(0), ÉÚ (18{19) ÎÁÈÏÄÉÍÇÄÅ ÕÞÔÅÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÏ×p_(t) = rU ;r_(t) = pm(t) ;(21)[p; f(r)] = i~rr f;[r; f(p)] = i~rp f;(23)(24)ËÏÔÏÒÙÅ ÌÅÇËÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ É ÉÍÐÕÌØÓÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.(22)x7.19ïäîï÷òåíåîîáñ éúíåòéíïóôøïÐÅÒÁÔÏÒÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (21{22) ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ ÐÏ ÆÏÒÍÅ Ó ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ. õÓÒÅÄÎÑÑ ÉÈ ÐÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ j (0)i, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÄÌÑ ÓÒÅÄÎÉÈ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (ÔÅÏÒÅÍÁ üÒÅÎÆÅÓÔÁ):d hpi = hrUi ;(25)dt1d(26)dt hri = m hpi :óÌÅÄÕÅÔ ÐÏÄÞÅpËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÓÏ×ÐÁÄÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÓÒÅÄÎÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÍÐÕÌØÓÁ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÏ×ÐÁÄÅÎÉÑ ÐÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÅÊ (25,26) × ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ Ó ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ.

ôÁË, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÈ ÓpÅÄÎÉÅÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÏpÏ× × (18) É (19) pÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÓpÅÄÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐpÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ËÏÏpÄÉÎÁÔÙ ÉÉÍÐÕÌØÓÁ ÔÁËÖÅ ÏÂpÁÝÁÀÔÓÑ × ÎÕÌØ. äÌÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÜÔÏ, pÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÎÅ ÔÁË.x 7.ïÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÉÚÍÅÒÉÍÏÓÔØ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔÅÊåÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ jf i ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÏÊ F , ÔÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Ó ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÓÔØÀ ÐÏËÁÖÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ,ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ F1, F2 , : : : ÉÍÅÀÔ Ó ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÉÌÉ, ËÁË ÇÏ×ÏpÑÔ, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÉÚÍÅÒÉÍÙ.

éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉ ÄÌÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÂÝÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÐÏÌÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕF1 jf1 ; f2; : : :i = f1 jf1 ; f2; : : :i ;F2 jf1 ; f2; : : :i = f2 jf1 ; f2; : : :i ;(1): : :: : :íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÜÔÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÐÅpÁÔÏpÏ×ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ:[Fi ; Fj ] = 0; 8i; j:(2)òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÌÑ ÐÒÏÓÔÏÔÙ ÓÌÕÞÁÊ Ä×ÕÈ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÓÒÁÚÕ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ ÉÚ (1), ÅÓÌÉ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ Ë ÐÅÒ×ÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÏÐÅÒÁÔÏÒ F2 , ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ F1 É ÐÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ.

éÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÐÅËÔÒ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ F1 ÐÒÏÓÔÏÊ, Ô.Å. ËÁÖÄÏÍÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ. ðÒÉÍÅÎÑÑ Ë ÐÅÒ×ÏÍÕ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (1)ÏÐÅÒÁÔÏÒ F2 É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ F1, F2, ÐÏÌÕÞÉÍF2 F1jf1 ; f2i = f1F2 jf1 ; f2 i = F1 F2 jf1 ; f2 i ;(3)ÏÔËÕÄÁ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ F2 jf1 ; f2 i Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÐÅpÁÔÏpÁ F1 Ó ÔÅÍ ÖÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ f1 . ÷ ÓÉÌÕ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÐÒÏÓÔÏÔÅ ÓÐÅËÔÒÁ F1 ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏF2jf1 ; f2i = const jf1 ; f2i:(4)ðÏÌÁÇÁÑ × (4) const = f2 , ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÂpÁÎÎÙÊ ×ÅËÔÏp ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏpÏÍ F2.íÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÉÍÅÔØ ÏÐpÅÄÅÌÅÎÎÙÅÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÓÔÅÐÅÎÅÊ Ó×ÏÂÏÄÙ ÓÉÓÔÅÍÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÓÉÓÔÅÍÕ N ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÏÐÉÓÙ×ÁÅÍÕÀ 3N ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ qi É 3N ÉÍÐÕÌØÓÁÍÉ pi, i = 1; : : : ; 3N.