Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2), страница 3

÷ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅ ÉÎÔÅÒÆÅÒÅÎÃÉÏÎÎÏÊ ËÁÒÔÉÎÙ ÐpÉ pÁÓÓÅÑÎÉÉÜÌÅËÔpÏÎÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, Ó×ÑÚÁ× Ó Ä×ÉÖÅÎÉÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÁ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÏÌÎÙ (×ÏÌÎÙÄÅ âpÏÊÌÑ), ÅÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÏ×, ÐÏÐÁÄÁÀÝÉÈ ÎÁ ÜËÒÁÎ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ ×ÏÌÎÙË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÆÉÚÉÞÅÓËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÜÔÉÈ ×ÏÌÎ. âÏÌÅÅ ÔÏÎËÉÅ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÙ ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÙ, ÈÏÔÑ É ÐÒÏÑ×ÌÑÀÔ ×ÏÌÎÏ×ÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ×ÓÅ ÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÁÓÔÉÃÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ × ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÍÅÓÔÅ ÎÁ ÜËÒÁÎÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÐÒÏÝÅÎÎÕÀ ËÁÒÔÉÎÕ ÄÉÆÒÁËÃÉÉ ÎÁ Ä×ÕÈ ÝÅÌÑÈ(ÒÉÓ. 1).

âÕÄÅÍ ÕÍÅÎØÛÁÔØ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏÓÔØ ÐÏÔÏËÁ ÜÌÅËÔÒÏÎÏ× ÄÏ ÔÅÈ ÐÏÒ, ÐÏËÁ × ËÁÖÄÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÞÅÒÅÚÝÅÌØ ÂÕÄÅÔ ÐÒÏÈÏÄÉÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ. ôÏÇÄÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÍ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÉÏÐÙÔÁ ÍÏÖÎÏ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ ÜÌÅËÔÒÏÎ × ÏÐpÅÄÅÌÅÎÎÙÈ (É ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ) ÔÏÞËÁÈ ÎÁ ÜËÒÁÎÅ, ÏÄÎÁËÏ ÓÕÍÍÁÒÎÏÅÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÏ× ÐÏ-ÐÒÅÖÎÅÍÕ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÄÉÆÒÁËÃÉÏÎÎÏÊ ËÁÒÔÉÎÙ. áÎÁÌÉÚ ÜÔÏÇÏ ÉÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÒÕÇÉÈ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÏ× ÐÒÉ×ÅÌ í. âÏÒÎÁ × 1926Ç. Ë ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ×ÏÌÎ ÄÅâpÏÊÌÑ: Ë×ÁÄÒÁÔ ÍÏÄÕÌÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ (r; t) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÉÑ ÜÌÅËÔÒÏÎÁ × ÔÏÞËÅ r × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t. ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ÐÒÏ×ÏÚÇÌÁÛÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÏ×ÐÒÉÎÃÉÐÉÁÌØÎÏ ÉÍÅÅÔ ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ. îÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÞÎÏ ÐÒÅÄÓËÁÚÁÔØ, × ËÁËÕÀ ÔÏÞËÕÐÏÐÁÄÅÔ ÜÌÅËÔÒÏÎ ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ Ä×ÉÖÅÎÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÌÉÛØ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÐÏÐÁÄÁÎÉÑ × ÔÕ ÉÌÉ ÉÎÕÀ ÔÏÞËÕ.

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ É ËÏÒÐÕÓËÕÌÑÒÎÏÊ ËÁÒÔÉÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ×ÏÅÄÉÎÏ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÅÏÒÉÉ, ÐÒÉÎÃÉÐÉÁÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÀÝÅÊÓÑ ÏÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ É ÉÍÅÀÝÅÊÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÓÔÉÞÅÓËÕÀ Ó ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚpÅÎÉÑ ÐÒÉÒÏÄÕ.ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ âÏÒÕ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÏÒÂÉÔ ÜÌÅËÔÒÏÎÁ × ÁÔÏÍÅ (2.8) ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅpÐpÅÔÉpÏ×ÁÔØËÁË pÅÚÕÌØÔÁÔ ÆÏpÍÉpÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÑÞÅÊ ×ÏÌÎÙ ÄÅ âpÏÊÌÑ ÎÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÏÒÂÉÔÅ. ðÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ r ÕËÌÁÄÙ×ÁÌÏÓØ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÏÌÎ ÄÅ âpÏÊÌÑ:2r = nDB :(2)ôÏÇÄÁ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (1), ÐÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÆÏÒÍÕÌÅrp = mvr = ~n;(3)ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÅÊ Ó (2.6).

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ ÜÔÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÉÍÅÀÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ Ü×ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ: ÒÅÁÌØÎÁÑ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ × ÁÔÏÍÅ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÕÀÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ÔÒ£È ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÈÏÔÑ ×ÅÒÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ ÜÌÅËÔÒÏÎÁ × ÁÔÏÍÅ ÄÏÌÖÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÓÔÏÑÞÁÑ ×ÏÌÎÁ ÄÅ âpÏÊÌÑ. îÁÐÏÍÎÉÍ,ÞÔÏ × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÂÅÇÕÝÉÈ ×ÏÌÎ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÆÁÚÙ ÐÅpÅÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÄÌÑ ÓÔÏÑÞÅÊ ×ÏÌÎÙ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÏ ÐÅpÉÏÄÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ÏÓÃÉÌÌÉÒÕÀÝÅÅ ×Ï×ÒÅÍÅÎÉ ËÁË ÃÅÌÏÅ: (r; t) = '(r)(t).òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÒÏÂÎÅÅ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅ ×ÏÌÎ ÄÅ âpÏÊÌÑ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÀ ÞÁÓÔÉÃÙ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ (x; t) ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÏÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÓÔÁÎÅÔ ÑÓÎÏÊ ÐÏÚÖÅ, ËÏÇÄÁ ÂÕÄÅÔ pÁÚ×ÉÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÐÐÁÒÁÔ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ ×ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏpÍÅ.

ëÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ×ÏÌÎÁ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÄÅ âpÏÊÌÑ (1)É ÜÊÎÛÔÅÊÎÏ×ÓËÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÍÅÖÄÕ ÜÎÅÒÇÉÅÊ É ÞÁÓÔÏÔÏÊ (1.7), ÉÍÅÅÔ ×ÉÄi(kx !k t);k (x; t) = Ck e(4)ÇÄÅ k = p=~, !k = p2=(2m~) = ~k2 =(2m) É Ck ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ kx !k tÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÆÁÚÕ ×ÏÌÎÙ, ÔÏÞËÁ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÆÁÚÙ kx !k t = const Ä×ÉÖÅÔÓÑ Ó ÆÁÚÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ~kp:vÆ = !kk = 2m= 2m(5)üÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÐÏËÁÚÁÔØÓÑ ÎÅÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÙÍ: ÆÁÚÁ ×ÏÌÎÙ ÄÅ âpÏÊÌÑ Ä×ÉÖÅÔÓÑ Ó ÐÏÌÏ×ÉÎÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ, ××ÉÄÕ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÔÅpÐpÅÔÁÃÉÉ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÔÁËÏÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ÐÒÅÖÄÅ×ÒÅÍÅÎÎÙÍ.

íÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ×ÏÌÎÁ (4) ÉÍÅÅÔ ÐÏÓÔÏÑÎÎÕÀ ÐÏÍÏÄÕÌÀ ÁÍÐÌÉÔÕÄÕ j k2 j = jCk j2, ÐÏÜÔÏÍÕ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ (4) ÞÁÓÔÉÃÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ Ó ÒÁ×ÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀÏÂÎÁÒÕÖÅÎÁ × ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ. óÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ (4) ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ, ÔÁË ËÁË ÐÏÌÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. ÷ÙÈÏÄ ÉÚ ÐÏÌÏÖÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉÎÅ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ×ÏÌÎÙ, Á ×ÏÌÎÏ×ÏÇÏ ÐÁËÅÔÁ(x; t) =ZRk (x; t)dk =ZRC(k)ei(kx !kt)dk(6)10çìá÷á 1.æéúéþåóëéå ïóîï÷ù ë÷áîôï÷ïê ôåïòééÓ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ Ck = C(k), ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÐÏÌÎÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÎÁÊÔÉ ÞÁÓÔÉÃÕ ÇÄÅ-ÌÉÂÏ, ÂÙÌ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉÃÅZj j2 dx = 1;(7)RÔ.Å. ÞÔÏÂÙ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÌÁ L2 (R).

ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÐÁËÅÔ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ×ÙÂÏÒÕC(k) = C f(k k0 + k=2) (k k0 k=2)g ;(8)ÇÄÅ k0 | ÓÒÅÄÎÉÊ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ, Á k | ÛÉÒÉÎÁ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×.ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÁÓÔÏÔÕ × ×ÉÄÅ pÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × pÑÄ ôÅÊÌÏpÁ2 ! @!1@k!k = !k0 + @k (k k0) + 2 @k2k (k k0)2 ;(9)k0k0ËÏÔÏpÏÅ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÙÍ, ÐÏÓËÏÌØËÕ !k | Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ k. åÓÌÉ k k0, ÔÏÓÏÈÒÁÎÑÑ ÌÉÛØ ÐÅÒ×ÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÞÌÅÎ ÐÏ (k k0 ) É ×ÙÐÏÌÎÉ× ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ, ÎÁÈÏÄÉÍhisin 2k (x vÇÒ t) i(k x ! t)(x; t) = 2Ce 0 0 ;(10)x vÇÒ tÇÄÅ !0 = !k0 É ××ÅÄÅÎÁ ÇÒÕÐÐÏ×ÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÐÁËÅÔÁ ~k p@!kvÇÒ = @k = m0 = m0 :(11)k0æÕÎËÃÉÑ (10) ÓÏÓpÅÄÏÔÏÞÅÎÁ ×ÏËpÕÇ ÔÏÞËÉ x = vÇÒ t, Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ vÇÒ . ëÁË ×ÉÄÎÏ, ÇÒÕÐÐÏ×ÁÑÓËÏÒÏÓÔØ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ÐÁËÅÔÁ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÞÁÓÔÉÃÙ.ðÏÍÉÍÏ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÑ × ÃÅÌÏÍ, ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÐÁËÅÔ Ó ÔÅÞÅÎÉÅÍ ×ÒÅÍÅÎÉ ÔÁËÖÅ ÉÓÐÙÔÙ×ÁÅÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ(ÒÁÓÐÌÙ×ÁÅÔÓÑ).

éÓËÁÖÅÎÉÅ ÆÏÒÍÙ ÐÁËÅÔÁ (10) ÂÕÄÅÔ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ ÚÁ ÓÞÅÔ ÎÅÕÞÔÅÎÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × (9). ÷ÒÅÍÑ ÒÁÓÐÌÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÏÃÅÎÉÔØ ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÞÔÏ ÏÔÂÒÏÛÅÎÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÊ ÞÌÅÎ× (9) ÄÁÅÔ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÆÁÚÙ ÐÏÒÑÄËÁ ÅÄÉÎÉÃÙ,(k)2 @ 2 !k t(12)2 @k2 k0 ÒÁÓÐÌ 1:õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ !k = ~k2 =2m, ÎÁÈÏÄÉÍ ÐÏ ÐÏÒÑÄËÕ ×ÅÌÉÞÉÎÙm ;(13)tÒÁÓÐÌ ~(k)2Ô. Å. ÒÁÓÐÌÙ×ÁÎÉÅ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÔÅÍ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÅ ×ÅÌÉÞÉÎÁ k. üÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÐÏÎÑÔØ É Ó ÆÉÚÉÞÅÓËÏÊÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ: ËÁÖÄÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ k × ×ÏÌÎÏ×ÏÍ ÐÁËÅÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ Ä×ÉÖÅÎÉÀ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÍÐÕÌØÓÏÍp = ~k.

þÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÂÒÏÓ ÐÏ ÉÍÐÕÌØÓÁÍ, ÔÁÍ ÂÏÌØÛÅ ÉÓËÁÖÁÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ×ÏÌÎÏ×ÏÇÏÐÁËÅÔÁ. ÷ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ ÆÕÎËÃÉÑ C(k), ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÎÁÄÌÅÖÁÝÉÍÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÕÅÔÓÑ ËÁË ÁÍÐÌÉÔÕÄÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÞÁÓÔÉÃÕ ÉÍÅÀÝÅÊ ÉÍÐÕÌØÓ p = ~k.ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (10), ÛÉÒÉÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ x ÍÏÄÕÌÑ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉt Ó×ÑÚÁÎÁ Ó k ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ k x 1, ÉÌÉp x ~:(14)ðÏÜÔÏÍÕ ÞÅÍ ÔÏÞÎÅÅ ÌÏËÁÌÉÚÏ×ÁÎ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÐÁËÅÔ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔØ ÉÍÐÕÌØÓÁ. ÷ ÐÒÅÄÅÌÅ ÔÏÞÎÏÊ ÌÏËÁÌÉÚÁÃÉÉ, x = 0, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ p = 1, Ô.

Å. ÉÍÐÕÌØÓ ÎÅÏÐpÅÄÅÌÅÎ ×Ï×ÓÅ. îÁÐpÏÔÉ×, ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ×ÏÌÎÁ ÄÅ âpÏÊÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ p = 0, ÐÒÉ ÜÔÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ.äÌÑ ÕÓÐÅÛÎÏÇÏ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÑ ÉÎÔÅpÆÅpÅÎÃÉÉ ÜÌÅËÔpÏÎÎÙÈ ×ÏÌÎ × ÏÐÙÔÁÈ ÐÏ ÒÁÓÓÅÑÎÉÀ ÜÌÅËÔÒÏÎÏ× ÎÁËÒÉÓÔÁÌÌÁÈ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ ÓËÌÁÄÙ×ÁÌÉÓØ ÌÉÎÅÊÎÏ. üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÆÏpÍÕÌÉpÕÅÔÓÑ ËÁË ÐÒÉÎÃÉÐ ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÉ : ÅÓÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ, ÏÐÉÓÙ×ÁÅÍÏÅ ×ÏÌÎÏ×ÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ 1 É 2,ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÁ É ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÑ= C1 1 + C2 2 ;(15)x3.11÷ïìîù äå âPïêìñÇÄÅ C1 É C2 | ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. åÓÌÉ Ä×Á ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ × ÜÔÏÍ ×ÙpÁÖÅÎÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÀÜÌÅËÔÒÏÎÁ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÝÅÌÉ, ÔÏ ÐÏÌÎÁÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ j j2 ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅpÖÁÔØ ÉÎÔÅpÆÅpÅÎÃÉÏÎÎÙÅÞÌÅÎÙ 1 2 É 2 1 , ÞÔÏ É ÏÂßÑÓÎÑÅÔ ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅ ÍÁËÓÉÍÕÍÏ× É ÍÉÎÉÍÕÍÏ× ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ.ðpÉÎÃÉÐ ÓÕÐÅpÐÏÚÉÃÉÉ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÍ.

îÅÔÒÕÄÎÏ ÎÁÐÉÓÁÔØÌÉÎÅÊÎÏÅ ÄÉÆÆÅpÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÅpÅÍÅÎÎÙÈ x; t, ÒÅÛÅÎÉÅÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ×ÏÌÎÁ ÄÅ âpÏÊÌÑ (4). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ eikx ÅÓÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ,ÉÍÅÎÎÏ~ d ikxikx(16)i dx e = ~ke :ðÏÓËÏÌØËÕ p = ~k, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ×ÏÌÎÁ ÄÅ âpÏÊÌÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÉÍÐÕÌØÓÁdpb = ~i dx(17)Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ p. ïÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁpb2 = ~2 d2 ;Hb = 2m2m dx2ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ E = ~!k :b ikx = ~!k eikx:He(18)(19)äÉÆÆÅpÅÎÃÉpÕÑ (4) ÐÏ ×pÅÍÅÎÉ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ k (x; t) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ûÒ£-ÄÉÎÇÅÒÁi~ @@t = Hb :(20)õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (20) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÌÎÏ×ÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ, ÂÕÄÕÞÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÐÏ×ÒÅÍÅÎÉ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ äÁÌÁÍÂÅÒÁ × ÜÌÅËÔÒÏÄÉÎÁÍÉËÅ.

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÜÔÏÇÏÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó×ÑÚÁÎ Ó ÎÁÌÉÞÉÅÍ ÍÎÉÍÏÊ ÅÄÉÎÉÃÙ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (20). ðÏÜÔÏÍÕ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÄÏÌÖÎÁÂÙÔØ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ËÏÏpÄÉÎÁÔ É ×pÅÍÅÎÉ.õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (20) ÂÙÌÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÏ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÏÍ × 1926Ç. ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ÄÁÌÅÅ, ÏÎÏ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ Ó×ÏÊ×ÉÄ É ÄÌÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ × ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÍ ÐÏÌÅ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ × ÏÐÅÒÁÔÏÒ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ (18) ÓÌÅÄÕÅÔ ×ËÌÀÞÉÔØ ÅÝ£É ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÕÀ ÜÎÅÒÇÉÀpb2 + U(x):Hb = 2m(21)óÔÏÑÞÉÅ ×ÏÌÎÙ ÄÅ âpÏÊÌÑ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ: Hb E (x) = E E (x).ðÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÂÕÄÅÔ ÏÐpÅÄÅÌÑÔØÓÑ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ(x; t) = E (x)e iEt=~ ;(22)ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ ÒÁ×ÎÙÍ ÅÄÉÎÉÃÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÞÁÓÔÉÃÕ × ÔÏÞËÅ x ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ.

÷ Ó×ÅÔÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (20), (21) ÕÓÌÏ×ÉÅ (2) ÆÏpÍÉpÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÑÞÅÊ ×ÏÌÎÙ ÄÅ âpÏÊÌÑ ÎÁËpÕÇÏ×ÏÊ ÏpÂÉÔÅ ÜÌÅËÔpÏÎÁ × ÁÔÏÍÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÒÅÚÍÅÒÎÏ ÕÐÒÏÝÅÎÎÙÍ. ïÄÎÁËÏ, ÏÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ ÄÌÑ ÕÒÏ×ÎÅÊ ÜÎÅÒÇÉÉ (2.10). üÔÏ ÅÝ£ ÏÄÎÏ €ÞÕÄÅÓÎÏÅÓÏ×ÐÁÄÅÎÉŁ, ËÏÔÏÒÏÅ, ÎÁÒÑÄÕ Ó ÕÓÐÅÈÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ âÏÒÁ, ÓÏÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÌÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍÕ pÁÚ×ÉÔÉÀ Ë×ÁÎÔÏ×ÙÈÐpÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ É ÐÏÑ×ÌÅÎÉÀ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏpÍÕÌÉpÏ×ËÉ ÐpÉÎÃÉÐÏ× Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ ÕÖÅ × ÂÏÌÅÅÁÂÓÔpÁËÔÎÏÊ ÆÏpÍÅ.çÌÁ×Á 2.ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÒÉÎÃÉÐÙx 4.