А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики, страница 8

Тогда0=Z1−1∗ ′= f (x) g(x)|1−1′∗− f (x)f (x)∗ (g ′′ (x) − ig(x)) dx =g(x)|1−1+Z1−1′′(f ′′ (x)∗ − if (x)∗ )g(x) dx = f (x)∗ g ′ (x)|1−1 ,поскольку f (x) + if (x) = 0 для любого x и g(±1) = 0. Так как g ′ (±1) может быть любой, то f (±1) = 0.Таким образом, получаем систему уравнений на коэффициенты C1 , C2 C1 exp √1 − √i + C2 exp − √1 + √i = 0,2 2 2 2 C1 exp − √1 + √i + C2 exp √1 − √i = 0,2222откуда C1 = C2 = 0, так как определитель системы отличен от нуля. Значит, f = 0. Аналогично доказывается, что (ran(Ĥ − i))⊥ = {0}. Таким образом, n± = 0 и оператор Ĥ существенно самосопряжен.Аналогично можно показать, что если D(Ĥ) задается граничными условиями Неймана ϕ′ (±1) = 0, то Ĥбудет существенно самосопряжен.d2Теперь приведем достаточные условия существенной самосопряженности оператора − dx2 + V (x).

Внекоторых случаях можно применять теорему 1.3. В частности, имеет место2dУтверждение 5.1. Пусть V = V1 + V2 , где V1 ∈ L2 (R), V2 ∈ L∞ (R). Тогда − dx2 + V (x) существенно∞самосопряжен на C0 (R).Доказательство. Утверждение доказывается точно так же, как теорема X.15 в [3]. Положим D(V ) ={ψ ∈ L2 (R) : V ψ ∈ L2 (R)}. Тогда V самосопряжен на D(V ).

Так как kV ψkL2 6 kV1 kL2 kψkL∞ +kV2 kL∞ kψkL2 ,то D(V ) ⊃ C0∞ (R). Для любого a > 0 существует b > 0 такое, что kψkL∞ 6 akψ ′′ kL2 + bkψkL2 [3, т. 2,теорема IX.28], откуда kV ψkL2 6 akV1 kL2 kψ ′′ kL2 + bkV1 kL2 kψkL2 + kV2 kL∞ kψkL2 , поэтому при достаточномалых a выполнено условие теоремы 1.3.В [12, гл. II, §1] дается следующее достаточное условие самосопряженности.Теорема 5.1. Пусть Q(x) — положительная четная неубывающая при x > 0 функция, удовлетворяющая условиюZ∞dxp= ∞.Q(2x)−∞Тогда если V (x) > −Q(x), то Ĥ существенно самосопряжен на C0∞ (R).Для случая полупрямой в [3, т. 2, §X.1] приводится критерий Вейля существенной самосопряженностиd2∞оператора Ĥ = − dx2 + V (x) на C0 (0, +∞) (функция V непрерывна на (0, ∞)).

Скажем, что V (x) удовлетворяет случаю предельной окружности на бесконечности (соответственно в нуле), если для некоторогоλ ∈ C все решения уравнения −ψ ′′ +V ψ = λψ квадратично интегрируемы на бесконечности (соответственно в нуле). Если V (x) не отвечает условию предельной окружности на бесконечности (соответственно внуле), то V (x) отвечает условию предельной точки.242dТеорема 5.2. (критерий Вейля.) Пусть V — непрерывная функция на (0, +∞). Оператор Ĥ = − dx2 +Vсущественно самосопряжен тогда и только тогда, когда V отвечает условию предельной точки и внуле, и на бесконечности.Из этого критерия там же выводятся следующие утверждения:1.

если в окрестности бесконечности V (x) > −cx2 , а в окрестности нуля V (x) >самосопряжен на C0∞ (R);34x2 ,то Ĥ существенно2. если в окрестности нуля V (x) 6 (3/4 − ε)x−2 при некотором ε > 0, то Ĥ не является существенносамосопряженным;3.

если в окрестности бесконечности V (x) = −cxα , где c > 0, α > 2, то Ĥ не является существенносамосопряженным.2d13Пример. Пусть Ĥ = − dx2 + x2 , V (x) = −x . Тогда Ĥ и V являются существенно самосопряженными наC0∞ (0, +∞), а Ĥ + V не является существенно самосопряженным.5.2Гармонический осцилляторУ гармонического осциллятора гамильтониан имеет видH=222p2mω 2 x2+.2m22~ dmω xОператор Ĥ = − 2mс областью определения S(R) является положительно определенным, тоdx2 +2есть hψ, Ĥψi > 0 для любого ψ ∈ D(Ĥ)\{0}.

Отсюда следует, что собственные значения Ĥqположительны.Найдем собственные значения и собственные векторы оператора Ĥ. Положим x0 =представим гамильтониан в виде" 2 #2~ωxpH=+.2x0p0~mω ,p0 =~x0иВведем операторыpx+i(оператор уничтожения),x0p01xp+a = √−i(оператор рождения).p02 x01a= √2Тогда Ĥ = ~ω(a+ a + 1/2). Операторы a и a+ подчиняются перестановочному соотношению [a, a+ ] = 1.Утверждение 5.2. Пусть ψ — собственный вектор оператора Ĥ с собственным значением E. Тогдасостояния aψ и a+ ψ являются собственными векторами оператора Ĥ, соответствующими собственным значениям E − ~ω и E + ~ω соответственно.Доказательство. Докажем, что [Ĥ, a] = −~ωa и [Ĥ, a+ ] = ~ωa+ . В самом деле,[Ĥ, a] = Ĥa − aĤ = ~ωa+ aa +~ω~ωa − ~ωaa+ a −a=22= ~ω(a+ a − aa+ )a = ~ω[a+ , a]a = −~ωa.Второе равенство доказывается аналогично.Теперь найдем Ĥaψ и Ĥa+ ψ.

ИмеемĤaψ = aĤψ + [Ĥ, a]ψ = Eaψ − ~ωaψ = (E − ~ω)aψ,(5.2)Ĥa+ ψ = a+ Ĥψ + [Ĥ, a+ ]ψ = Ea+ ψ + ~ωa+ ψ = (E + ~ω)a+ ψ.Пусть ψ — собственный вектор Ĥ. Тогдаh~ωa+ aψ, ψi +~ωhψ, ψi = Ehψ, ψi.2Так как ha+ ϕ, ψi = hϕ, aψi для любых ϕ, ψ ∈ S(R), то h~ωa+ aψ, ψi = ~ωhaψ, aψi > 0. Следовательно,E > ~ω2 .25~ω2 .Докажем, что существует единственный собственный вектор ψ0 оператора Ĥ с собственным значениемДействительно, в координатном представлении1d1d, a+ = √,a= √q+q−dqdq22где q =xx0 .Из условий E >~ω2и (5.2) следует, что aψ0 = 0, то естьdψ0 = 0.q+dqЭто уравнение имеет единственное решение (с точностью до умножения на константу)ψ0 (q) ∼ e−q2/2.Из условия aψ0 = 0 и равенства Ĥ = ~ω(a+ a + 1/2) следует, что Ĥψ0 = ~ω2 ψ0 .Пусть E — некоторое собственное значение Ĥ, ψ — соответствующая собственная функция.

Тогданайдется такое l0 ∈ Z+ , что al ψ 6= 0 для любого l 6 l0 и al0 +1 ψ = 0. Значит, al0 ψ = const · ψ0 , поэтомуE = ~ω(l0 + 1/2). Функции ψn = Nn a+n ψ0 ∈ S(R) (Nn выбираются из условия нормировки) являются соб2ственными для оператора Ĥ с собственными значениями ~ω(n+1/2). Они имеют вид ψn (q) = e−q /2 Hn (q),∞где Hn — полиномы Эрмита. Следовательно, множество {ψn }n=0 образуют полную ортонормированнуюсистему в L2 (R) (это факт из функционального анализа). Таким образом, доказана222p̂Теорема 5.3.

Оператор Ĥ = 2m+ mω2 x̂ имеет полную ортонормированную систему собственныхвекторов |ni с собственными значениями En = ~ω(n + 1/2).В частности, отсюда следует, что собственный вектор |ni с собственным значением En ровно один.Следствие 5.1. Оператор, являющийся обратным к Ĥ, является оператором Гильберта–Шмидта.Утверждение 5.3. Выполнены равенства√√a|ni = n|n − 1i, a+ |ni = n + 1|n + 1i.Доказательство. То, что a|ni = const|n − 1i, следует из предыдущей теоремы.

Для нахождения константы вычислим ka|nik. Найдем a+ a|ni:a+ a|ni =Ĥ111|ni − |ni =(~ω(n + 1/2))|ni − |ni = n|ni.~ω2~ω2Отсюдаhan|ani = hn|a+ a|ni = nhn|ni = n.Направление |ni выбираем по |n − 1i так, чтобы константа имела знак +, и получаем первое равенство.Докажем второе равенство:√a+ an+1a+ |ni = √|n + 1i = √|n + 1i = n + 1|n + 1i.n+1n+1Отсюда следует, что функции ψn , соответствующие векторам |ni в координатном представлении, имеют видn21dψn (q) = pq−e−q /2 .√ndq2 n! πОни имеют n вещественных нулей и являются четными при четных n и нечетными при нечетных n.Следовательно, средние значения импульса и координаты в состоянии |ni равны 0.Оператор Ĥ коммутирует с оператором F преобразования Фурье, поэтому ψn являются также собственными функциями F .

Так как F унитарный и порождает группу {1, F, F 2 , F 3 }, изоморфную Z4 , тоĤ имеет группу симметрий Z4 . Оператор P = F 2 имеет вид P ϕ(x) = ϕ(−x). Любой оператор Штурма–Лиувилля с четным потенциалом коммутирует с P и поэтому имеет группу симметрий Z2 . Таким образом,оператор Гамильтона для одномерного гармонического осциллятора имеет более широкую группу симметрий, чем в общем случае четного потенциала.265.3Решение спектральной задачи для одномерного оператора Шредингера(общая схема)Пусть Ĥ — самосопряженный оператор, заданный некоторым дифференциальным выражением.

Требуется найти спектр Ĥ, его кратность и обобщенные собственные векторы.Шаг 1. Строим оснащение L2 с помощью оператора K такого, что K −1 является оператором Гильберта–Шмидта. Например, если Ĥ — дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, то в качествеd22K можно взять оператор − dx2 + x .N (λ)Шаг 2. Пользуемся теоремой 1.11: для почти всех точек спектра существует набор {ek (λ)}k=1 ⊂ H−такой, что если ϕ ∈ H+ и Ĥϕ ∈ H+ , то(5.3)hek (λ), Ĥϕi = λhek (λ), ϕi22dd2Если Ĥ = − dx2 + V (x), где V — гладкая функция, а оснащение построено по оператору − dx2 + x , то ek (λ)d2удовлетворяют уравнения − dx2 ek (λ) + V (x)ek (λ) = λek (λ) в обобщенном смысле, так как пространствоD основных функций непрерывно вкладывается в H+ .

Поскольку оператор Ĥ эллиптический, то ek (λ)являются классическими решениями. В случае, когда V ∈ Lloc∞ , регулярность ek доказана в [12]. Позжебудет доказана регулярность ek (λ) для сингулярных потенциалов.В том случае, когда V гладкий всюду, кроме дискретного множества точек, часто бывает удобно найтиобщее решение уравнения Шредингера на каждом участке гладкости, а затем построить решение на всейпрямой так, чтобы в особых точках выполнялось условие склейки (например, если V имеет скачок, то этоусловие C 1 -гладкости, а если V содержит дельта-функцию, то это условие непрерывности и условие назначение скачка производной).Шаг 3.

Выбираем те решения, которые удовлетворяют условию роста на бесконечности. Например,d22если V — гладкая функция и K = − dx2 + x , то H+ содержит пространство Шварца S(R), при этомтопология на S(R) сильнее, чем на H+ , поэтому H− ⊂ S ′ (R). Отсюда, в частности, следует, что решенияне могут экспоненциально возрастать. В [6], [7] и [12] доказаны более точные ограничения на рост.Шаг 4. После того, как найдено множество Λ тех λ ∈ R, для которых удалось найти ek (λ), нужнопроверить, что каждое λ действительно принадлежит спектру (до этого проверялось только необходимоеусловие). В некоторых случаях это удается проверить с помощью утверждения 1.2 или его следствия.Шаг 5.

На тех участках, где оба решения уравнения подходят, нужно доказать, что спектр действительно является двукратным. В некоторых простейших случаях удается явно построить преобразование Фурьеd2d2и таким образом точно определить кратность спектра (например, если Ĥ = − dx2 или Ĥ = − dx2 + U0 θ(x)).d2Если Ĥ = − dx2 + V (x), где V (x) достаточно быстро стремится к некоторым значениям при x → ±∞, тозадачу можно свести к одному из предыдущих случаев, применяя теорию рассеяния. А именно, можнодоказать существование волновых операторов и отсюда вывести, что кратность не меньше, чем 2.Шаг 6. В некоторых случаях еще удается доказать отсутствие сингулярного спектра.

Тогда на непрерывном участке спектра меру можно выбрать равной мере Лебега.Если имеется симметрия, то есть Ĥ сильно коммутирует с некоторым самосопряженным операторомÂ, то поиск обобщенных собственных векторов может упроститься, так как их можно искать как общиесобственные векторы операторов Ĥ и Â.5.4Свободная частица22~ dСвободная частица описывается гамильтонианом Ĥ = − 2mdx2 в L2 (R).