А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики, страница 7

. . , λn соответственно, то, по определению, f (A1 , . . . , An ) в этом представлении имеет видоператора умножения на f (λ1 , . . . , λn ), то есть если Aj = U0+ λj U0 , то f (A1 , . . . , An ) = U0+ f (λ1 , . . . , λn )U0 .Пусть Aj (t) = U (t)+ Aj U (t) = U (t)+ U0+ λj U0 U (t). ТогдаU (t)+ f (A1 , . . . , An )U (t) = U (t)+ U0+ f (λ1 , . . . , λn )U0 U (t) = f (A1 (t), . . .

, An (t)).Аналогичноip~(t)[H(t, ~r(t))] =.~mТаким образом, уравнения эволюции имеют вид~(t)p.~˙ = − ▽ V (~r(t)), ~r˙ =pmЗначит, если состояние ψ таково, что ψ(t) ∈ D(p̂) ∩ D(x̂), а x̂ψ(t) и p̂ψ(t) принадлежат D(Ĥ) и непрерывнозависят от времени, то для средних от p̂ и x̂ по состоянию ψ имеемdd1h~pi = −h▽V (~r(t))i,h~ri = h~p(t)i.dtdtmТем самым для средних получаем классические уравнения движения (это утверждение называется теоремой Эренфеста).214Теория рассеянияЗдесь приводятся основные результаты абстрактной теории рассеяния.Определение 4.1. Пусть Ĥ0 , Ĥ — самосопряженные операторы на гильбертовом пространстве H,Hac (Ĥ0 ) — абсолютно непрерывное подпространство оператора Ĥ0 . ПоложимD± = {ψ ∈ Hac (Ĥ0 ) : ∃ s- lim eitĤ e−itĤ0 ψ}.t→∓∞Волновыми операторами2 Ω± = Ω± (Ĥ, Ĥ0 ) называются операторы, заданные на D± формуламиΩ± ψ = s- lim eitĤ e−itĤ0 ψ.t→∓∞Обозначим H± = ran Ω± .Волновые операторы обладают следующими свойствами [3, §XI.3], [12, §IV.1, IV.2]:1.

Подпространства D± замкнуты и инвариантны относительно Ĥ0 .2. Операторы Ω± : D± → H± являются унитарными.3. H± ⊂ Hac (Ĥ).4. H± являются инвариантными подпространствами Ĥ, Ω± [D± ∩ D(Ĥ0 )] ⊂ D(Ĥ) и (Ω± )−1 Ĥ|H± Ω± =Ĥ0 |D± .Из последнего утверждения видно, что Ĥ|H± и Ĥ0 |D± унитарно эквивалентны, так что теория рассеяния применяется в спектральном анализе.

В следующей главе она будет использоваться для нахожденияспектральной меры и кратности спектра оператора Штурма–Лиувилля с потенциалом, сходящимся кнекоторым значениям при x → ±∞.Если D+ = D− = Hac (Ĥ0 ), то говорят, что волновые операторы Ω± существуют. Если H+ = H− =Hac (Ĥ), то говорят, что Ω± полны. Если Ω± (Ĥ, Ĥ0 ) существуют, то они полны тогда и только тогда, когдасуществуют Ω± (Ĥ0 , Ĥ) [3, §XI.3]. Однако обычно доказать полноту труднее, чем существование, так какоператор Ĥ0 , как правило, имеет более простой вид, чем Ĥ, и легче исследуется. В [3, гл.

XI] приводятсяразличные достаточные условия существования и полноты волновых операторов.Дадим физическую интерпретацию волновым операторам. Пусть Ĥ0 = −∆ — гамильтониан свободнойчастицы, V — оператор взаимодействия частицы с полем, Ĥ = Ĥ0 + V . Тогда для любого t ∈ R эволюциясвободной (взаимодействующей) частицы определяется оператором e−itĤ0 (соответственно e−itĤ ). Пустьψ ∈ H. Тогда если существует ψin = lim eitĤ e−itĤ0 ψ, то e−itĤ ψin − e−itĤ0 ψ → 0(t → −∞), то есть ψt→−∞является итогом эволюции свободной частицы при t ∈ (−∞, 0] из того состояния, которое при эволюциивзаимодействующей с полем частицы переходит в состояние ψin .

Существование Ω+ означает, что любоесвободное состояние соответствует некоторому исходному состоянию взаимодействующей системы. Аналогично существование Ω− означает, что при эволюции взаимодействующей системы в течение длительноговремени можно получить любое свободное состояние.Пусть Ω± полны и Ĥ не имеет сингулярного спектра. Тогда H является прямой суммой абсолютнонепрерывного подпространства Hac и подпространства Hp , натянутого на собственные векторы Ĥ, которому соответствуют связанные состояния. В этом случае полнота Ω± означает, что любое несвязанноевзаимодействующее состояние (то есть принадлежащее Hac ) в отдаленном прошлом и отдаленном будущем выглядит как свободное.Следующее утверждение [12, гл.

IV, теорема 2.2] дает достаточное условие существования и полнотыволновых операторов для Ĥ0 = −∆, Ĥ = −∆ + V .Теорема 4.1. Пусть V ∈ L∞ (Rn ) удовлетворяет неравенству|V (x)| 6 C(1 + |x|)−1−ε ,где ε > 0. Тогда волновые операторы Ω± (Ĥ, Ĥ0 ) существуют и полны. Кроме того, сингулярный спектроператора Ĥ пуст.2dВ следующей главе будут явно построены волновые операторы для Ĥ0 = − dx2 + U0 θ(x) и Ĥ = Ĥ0 + V(в предположении, что функция V достаточно быстро убывает на бесконечности). При этом на конечномотрезке V может иметь сингулярности.2 Обозначениявзяты из [3]; в [12] операторы Ω± обозначаются как W∓ .22Определение 4.2.

Пусть H+ = H− . Оператором рассеяния называется оператор S : D+ → D− ,заданный равенством S = (Ω− )−1 Ω+ .Из свойств волновых операторов следует, что S является унитарным. Кроме того, если D+ = D− = H,то S перестановочен с Ĥ0 . Из последнего утверждения выводится следующая теорема [12, §IV.2]:Теорема 4.2. Пусть H = L2 (Rn ), Ĥ0 = −∆, Ĥ = Ĥ0 + V и волновые операторы существуют и полны.Тогда существует унитарная измеримая операторная функция S(λ) на R+ , называемая матрицей рассеяния, такая, что S разлагается в прямой интеграл операторов S(λ) в L2 (R+ , L2 (S 1 )) (S 1 — единичнаясфера), то есть S(λ) — унитарный оператор в L2 (S 1 ), измеримо зависящий от λ ∈ R+ , и оператор Sдействует по формуле(Sf )(λ) = S(λ)f (λ),где f (λ) — вектор-функции на R+ со значениями в L2 (S 1 ).В случае n = 1 матрица рассеяния — это матрица 2 × 2.Пусть Ĥ и Ĥ0 — самосопряженные операторы в H и Ω± всюду определены.

Предположим, что заданооснащение B+ ⊂ H ⊂ B− такое, что B− содержит полную систему обобщенных собственных векторовψ0 (m) оператора Ĥ0 с собственными значениями E(m). Для каждого ϕ± ∈ Ω± B+ положимhψ± (m), ϕ± i = hψ0 (m), (Ω± )−1 ϕ± i(формально это можно записать как ψ± (m) = Ω± ψ0 (m)). Тогда отображения ϕ± 7→ ϕ̂± (·) = hψ± (·), ϕ± i ∈L2 (M, dµ) являются изометрическими операторами, определенными на H± , и ψ± (m) являются обобщенными собственными векторами оператора Ĥ с собственными значениями E(m).Предположим, что Ĥ0 = −∆, Ĥ = −∆ + V , где V — ограниченная функция, и что волновые операторысуществуют.

Тогда [12, §IV.3] векторы ψ± (m) удовлетворяют уравнению Липпмана–Швингераψ± (m) = ψ0 (m) + (E(m) ± i0 − Ĥ0 )−1 V ψ± (m).5Одномерное движениеВ этой главе изучаются спектральные свойства оператора Штурма–Лиувилля. В простейших случаях(гармонический осциллятор, свободное движение и потенциальная стенка) обобщенное преобразованиеФурье и спектр описываются явным образом. Далее приводятся способы задания оператора Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами в соответствии с [14], [15]: метод регуляризации, метод квадратичных форм и метод аппроксимации гладкими потенциалами.

После этого исследуются обобщенныесобственные векторы и спектр оператора Штурма–Лиувилля на прямой. Явно строится оснащение L2 (R),при котором обобщенные собственные векторы являются регулярными функциями, удовлетворяющимиуравнению Шредингера. Для операторов с растущим потенциалом доказывается обобщение теоремы онулях k-й собственной функции на случай сингулярного потенциала. Затем описывается спектр оператора Штурма–Лиувилля, у которого потенциал достаточно быстро стремится к некоторому числу приx → ±∞: доказывается отсутствие сингулярного спектра и с помощью теории рассеяния описываетсяабсолютно непрерывный спектр.

Также описывается построение оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным периодическим потенциалом.В конце главы рассказывается о когерентных состояниях для гармонического осциллятора,√ строитсяпредставление Баргмана–Фока и доказывается полнота системы состояний |αlm i с αlm = π(l + im), l,m ∈ Z.5.1Достаточные условия самосопряженности оператора Шредингера22~ dВ координатном представлении гамильтониан задается выражением − 2mdx2 + V (x). Нужно задать егообласть определения, так чтобы соответствующий оператор был существенно самосопряжен.d2∞Пример 1.

Докажем, что оператор − dx2 существенно самосопряжен на C0 (R). Для этого покажем,что его индексы дефекта равны 0 и воспользуемся теоремой 1.2. Пусть f ∈ ran(Ĥ + i)⊥ , то есть для′′любого g ∈ C0∞ выполнено hf, −g+ igi = 0, то√есть f удовлетворяет уравнению f ′′ + if = 0 в обобщенном√(1−i)x/ 2смысле. Отсюда f = C1 e+ C2 e(−1+i)x/ 2 . Так как f ∈ L2 (R), то C1 = C2 = 0 и ran(Ĥ + i)⊥ = {0}.⊥Аналогично ran(Ĥ − i) = {0}.d2Пример 2. Рассмотрим оператор − dx2 в пространстве L2 (R+ ). Если в качестве его области определе√√∞⊥ния взять C0 (0, ∞), то ran(Ĥ + i) = {Ce(−1+i)x/ 2 : C ∈ C} и ran(Ĥ − i)⊥ = {Ce(−1−i)x/ 2 : C ∈ C}, √тоесть n± = 1. Пусть теперь g ∈ C ∞ (R+ ), supp g ⊂ [0, R] для некоторого R > 0.

Тогда если f (x) = e(−1+i)x/ 2удовлетворяет равенству hf, −g ′′ + igi = 0, то, интегрируя по частям, получаем∗′ ∞∗ ′′∗0 = −f ∗ g ′ |∞0 + f g|0 = f (0) g (0) − f (0) g(0).23(5.1)Поэтому если в качестве D(Ĥ) взять {ϕ ∈ C ∞ (R+ ) : supp ϕ ⊂ [0, R], R > 0, αϕ(0) + βϕ′ (0) = 0} для некоторых (α, β) ∈ R2 \{0} (в этом случае Ĥ будет симметрическим), то из (5.1) следует, что αf (0)−βf ′ (0) = 0,что невозможно при вещественных α и β. Аналогично доказывается, что второй индекс дефекта равен 0,и Ĥ существенно самосопряжен на D(Ĥ). Если α = 0, то получаем граничное условие Неймана ϕ′ (0) = 0,если β = 0, то получаем граничное условие Дирихле ϕ(0) = 0.d2Пример 3. Рассмотрим оператор − dx2 в пространстве L2 [−1, 1] (аналогично можно брать любойдругой отрезок).

Если в качестве его области определения взять C0∞ (−1, 1), то индексы дефекта равныn± = 2. Рассмотрим его расширение с областью определения D(Ĥ) = {ϕ ∈ C ∞ ([−1, 1]) : ϕ(±1) = 0}(это граничные условия Дирихле). С помощью интегрирования по частям доказывается, что Ĥ являетсясимметрическим. Докажем, что его индексы дефекта равны 0. Пусть f ∈ (ran(Ĥ +i))⊥ , то есть для любогоg ∈ D(Ĥ) выполненоZ1f (x)∗ (−g ′′ (x) + ig(x)) dx = 0−1′′и f удовлетворяет уравнению f + if = 0 в обобщенном смысле. Отсюда следует, что√f (x) = C1 e(1−i)x/2√2+ C2 e(−1+i)x/.Пусть g ∈ C ∞ ([−1, 1]) и g(±1) = 0.