А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики, страница 5

Пусть функция ψ ∈ Lloc2 (R) из предыдущего утверждения ограничена сверху вместесо своей производной и отделена от нуля при достаточно больших |x|. Тогда λ ∈ σ(A).Пусть f , h ∈ H+ . Тогда из унитарности преобразования Фурье получаем равенствоZ NX(λ)Λто естьk=1hek (λ), hifˆk∗ (λ) dµ(λ) =Z NX(λ)ΛZ NX(Λ)Λk=1fˆk∗ (λ)ĥk (λ) dµ(λ) = hfˆ, ĥi = hf, hi,ek (λ)fˆk (λ) dµ(λ) = fk=1в слабом смысле.Пусть H = L2 (X), где X — область в Rn (возможно, неограниченная). Предположим, что выполненыследующие условия:141. множество ограниченных функций из H+ , имеющих компактный носитель, плотно в L2 (X);2. для любых λ ∈ Λ, k = 1, .

. . , N (λ) обобщенные собственные векторы ek (λ) являются регулярнымифункциями, то естьZhek (λ), ϕi = ek (λ, x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ H+ ,(1.8)Xгде ek (λ, x) — локально интегрируемая функция;3. в пространстве Ĥ содержится плотное подмножество Ĥ1 , состоящее из ограниченных векторнозначных функций ϕ(λ) = (ϕ1 (λ), .

. . , ϕN (λ) (λ)) с ограниченным носителем, таких что функцияϕ̃(x) =Z NX(λ)Λe∗k (λ, x)ϕk (λ) dµ(λ)(1.9)k=1принадлежит L2 (X).Тогда отображение ϕ 7→ ϕ̃, заданное формулой (1.9), продолженное по непрерывности на все Ĥ, являетсяобратным к преобразованию Фурье U . В самом деле, пусть ϕ ∈ Ĥ1 и ψ ∈ H+ — ограниченная функция скомпактным носителем.

Тогда из унитарности U и теоремы Фубини получаемZZ NX(λ) Z e∗k (λ, x)ψ ∗ (x) dx ϕk (λ) dµ(λ) =ψ ∗ (x)(U −1 ϕ)(x) dx =XΛ=ZX∗ψ (x) Z NX(λ)Λk=1e∗k (λ,k=1Xx)ϕk (λ) dµ(λ) dx =Zψ ∗ (x)ϕ̃(x) dx.X−1Так как множество функций ψ плотно в L2 (X), то ϕ̃ = U ϕ.Применив к последнему равенству формулу (1.8) для прямого преобразования Фурье, получаемZZ NX(λ)ϕk′ (λ′ ) = ek′ (λ′ , x) e∗k (λ, x)ϕk (λ) dµ(λ) dx′ .XΛk=1Если мера µ эквивалентна лебеговской и функции ϕk (·) непрерывны, то последнее равенство можно записать в видеZe∗k (λ, x)ek′ (λ′ , x) dx = δkk′ δ(λ − λ′ ).ΩДля того, чтобы существовали регулярные обобщенные собственные функции, достаточно, чтобы A былэллиптическим дифференциальным оператором (см.

[5]).1.8ПредставленияПустьимеется наблюдаемая A. Тогда, по теореме 1.5, существует унитарный оператор F : H → Ĥ =RH(λ) dµ(λ) такой, что F ÂF −1 — оператор умножения на λ. Пространство Ĥ с действующим в немΛоператором умножения называется представлением, соответствующим оператору A.Рассмотрим одномерное движение частицы. Как говорилось в §1.3, если состояниезадается волновойRфункцией ψ(x), то вероятность обнаружить частицу в интервале Ω равна |ψ(x)|2 dx = kχΩ ψkL2 . ТаΩким образом, если пространство состояний задается как L2 (R), а наблюдаемой является координата, тоей соответствует проекторнозначная мера PΩ ψ(x) = χΩ (x)ψ(x). Отсюда следует, что x̂ — это операторумножения на x.d, то x̂ и p̂ будутЕсли определить оператор импульса в координатном представлении как p̂ = ~i dxудовлетворять каноническим коммутационным соотношениям[p̂, x̂] =Функции Гамильтона H =p22m~.i(1.10)22~ d+ V (x) тогда соответствует оператор Ĥ = − 2mdx2 + V (x).15Возникает вопрос: в каком смысле представлениеx̂ = x, p̂ =~ di dx(1.11)является “единственно возможным” представлением соотношения (1.10).

Рассмотрим операторы U (t) =ie ~ tp̂ и V (s) = eisx̂ . Тогда формальные вычисления, использующие (1.10) и формальные разложения встепенные ряды для экспонент, даютU (t)V (s) = eits V (s)U (t).(1.12)Легко проверяется, что в представлении (1.11) выполняются соотношения (1.12) (называемые соотношениями Вейля). При этом U (t) — левый сдвиг на t, а V (s) — умножение на eisx . С другой стороны, еслиdddU (t) — левый сдвиг на t, а V (s) — умножение на eisx , то ~i dt|t=0 U (t) = ~i dxи 1i ds|s=0 V (s) = x. Следующаятеорема фон Неймана [3, §VIII.5] утверждает, что с точностью до кратности и унитарной эквивалентностисоотношения (1.12) имеют единственное решение.Теорема 1.12. Пусть U (t) и V (s) — однопараметрические непрерывные унитарные группы на сепарабельном гильбертовом пространстве H, удовлетворяющие соотношениям Вейля.

Тогда существуюттакие замкнутыеподпространства Hl , чтоL(a) H = NHl , N ∈ N или N = ∞;l=1(b) U (t) : Hl → Hl , V (s) : Hl → Hl для всех s, t ∈ R;(c) для каждого l существует такой унитарный оператор Tl : Hl → L2 (R), что Tl U (t)Tl−1 — левыйсдвиг на t, а Tl V (s)Tl−1 — умножение на eisx .Если операторы p̂ и x̂ таковы, что существует плотная область D ⊂ H такая, что1.

p̂ : D → D, x̂ : D → D,2. p̂x̂ψ − x̂p̂ψ = ~i ψ для всех ψ ∈ D,3. p̂ и x̂ существенно самосопряжены на D,то отсюда не следует, что порождаемые ими группы удовлетворяют соотношениям Вейля. Однако если ещеизвестно, что оператор p̂2 + x̂2 существенно самосопряжен на D, то соотношения Вейля будут выполняться(см. [3], замечания к гл. VIII).Найдем обобщенные собственные векторы оператора p̂, соответствующие значению p.

Они удовлетворяют уравнению (1.5) с A = p̂ и λ = p, то есть~ dep (x) = pep (x).i dxОтсюда ep (x) = C(p)eимеет видipx~. Значит, оператор перехода от координатного представления к импульсному+∞Z−ipx(F ψ)(p) = C(p)hψ(·), ep (·)i = C(p)e ~ ψ(x)dx−∞1для любого ψ ∈ S(R) ⊂ H+ . Если положить C(p) = √2π~, то оператор F будет обычным преобразованием Фурье, а соответствующая мера на R в импульсном представлении будет лебеговской. Операторdкоординаты в импульсном представлении, следовательно, задается как − ~i dp.В многомерном случае операторы координаты и импульса задаются в координатном представлении~2как x̂k = xk , p̂k = ~i dxdk . Оператор Гамильтона имеет вид Ĥ = − 2m∆ + V (~x).Другое часто используемое представление — энергетическое.

Спектр оператора Гамильтона в типичном случае состоит из дискретного участка, соответствующего финитному движению, и непрерывногоучастка, отвечающего инфинитному движению. В случае чисто дискретного спектра оператора Гамильтона самосопряженные операторы в энергетическом представлении задаются эрмитовыми матрицами.Переход от координатного представления к энергетическому осуществляется с помощью разложенияпо собственным функциям оператора Гамильтона в координатном представлении:ψ(x) =∞Xcn ψn (x),n=1Ĥψn = En ψn .Последнее уравнение называется стационарным уравнением Шредингера.162Одновременная измеримость и соотношениенеопределенностейЕсли система находится в одном из собственных состояний |f i, то измерение данной величины F с достоверностью покажет соответствующее собственное значение f .

В самом деле, P{f } — это проектор на|f i, для любого борелевского множества Ω 6∋ f оператор PΩ является проектором на подпространство,ортогональное |f i, поэтомуP({F = f }) = hf |P{f } |f i = hf |f i = 1иP(F ∈ Ω) = 0.Возникает вопрос: существует ли полная система состояний, в которых несколько наблюдаемых F1 , . . .

, Fnимеют с достоверностью определенные значения? Более формально: возможен ли изоморфизм пространства H на пространство L2 (M, dµ), при котором операторы F1 , . . . , Fn переходят в операторы умноженияна измеримые вещественнозначные функции?Определение 2.1. Самосопряженные операторы называются сильно коммутирующими, если коммутируют проекторы из разложения единицы этих операторов.Замечание. Если D — плотное подпространство в H, A : D → D, B : D → D — существенносамосопряженные операторы, ABϕ − BAϕ = 0 для любого ϕ ∈ D, то отсюда еще не следует, что Aи B сильно коммутируют (в [3, гл.

VIII] приведен пример Нельсона). Однако если один из операторовограничен, то утверждение будет верным.Утверждение 2.1. [12, Добавление 1] Пусть A — самосопряженный оператор, B — ограниченный симметрический оператор, для любого f ∈ D(A) выполнено Bf ∈ D(A) и ABf = BAf . Тогда операторы Aи B сильно коммутируют.Следствие 2.1. Пусть D ⊂ H — плотное подпространство, A : D → H, B : H → H — симметрическиеоператоры, A существенно самосопряжен, B ограничен, B(D) ⊂ D и ABϕ = BAϕ для любого ϕ ∈ D.Тогда A и B сильно коммутируют.Доказательство. Пусть A — замыкание оператора A, f ∈ D(A).

Докажем, что Bf ∈ D(A) и ABf = BAf .В самом деле, пусть fn ∈ D, fn → f и Afn → Af . Тогда ABfn = BAfn → BAf при n → ∞. Значит,последовательность (Bfn , ABfn ) ∈ ΓA фундаментальна. Так как оператор A замкнут, то Bfn → g,ABfn → Ag, где g ∈ D(A). С другой стороны, Bfn → Bf и ABfn → BAf , так что Bf ∈ D(A) иABf = BAf . Осталось воспользоваться предыдущим утверждением.Следующая теорема [4, т. 1, гл. 11, §5] применима и для того случая, когда оба оператора не являютсяограниченными.Теорема 2.1. (теорема Нельсона). Пусть D ⊂ H — плотное подпространство, A, B : D → D — симметрические операторы, ABϕ = BAϕ для любого ϕ ∈ D и оператор A2 + B 2 существенно самосопряженна D.

Тогда A и B существенно самосопряжены на D и их замыкания сильно коммутируют.Пусть операторы A1 и A2 в L2 (M, µ) являются операторами умножения на функции f1 (m) и f2 (m)соответственно. Тогда (см. [3]) проекторы из разложения единицы PΩj определяются как операторы умножения на χΩ ◦ fj (где χΩ — характеристическая функция множества Ω). Значит, PΩj снова являютсяоператорами умножения на функцию и, следовательно, сильно коммутируют.В следующей теореме (см. [5] или [7]) говорится, что верно и обратное утверждение.Теорема 2.2.

Пусть A1 , . . . , An — сильно коммутирующие операторы, H+ ⊂ H ⊂ H− — оснащениеГильберта–Шмидта пространства H. Тогда существует прямой интегралZĤ = Ĥ(λ) dµ(λ)Λи унитарный оператор F : H → Ĥ, который удовлетворяет равенству(F Aj F −1 g)(λ) = aj (λ)g(λ)(2.1)H+ ∋ ϕ 7→ ϕ̂k (λ) = (ϕ, ek (λ)),(2.2)и задается формулойгде k = 1, . . . , dim Ĥ(λ) и ek (λ) ∈ H− . Если ϕ, Aj ϕ ∈ H+ , то(Aj ϕ, ek (λ)) = aj (λ)(ϕ, ek (λ))для µ-почти всех λ.17Иногда известно, что оператор A коммутирует c некоторым унитарным оператором (такая ситуациявозникает в случае периодического потенциала). Следующее утверждение дает достаточное условие длятого, чтобы операторы A и U имели общую систему обобщенных собственных векторов.Следствие 2.2.

Пусть A существенно самосопряжен на подпространстве D ⊂ H, U : H → H —унитарный оператор, D — инвариантное подпространство для операторов U и U −1 . Предположим, чтоAU ϕ = U Aϕ для любого ϕ ∈ D. Тогда существует обобщенное преобразование Фурье F пространства HнаZĤ = Ĥ(λ) dµ(λ),Λ−1задаваемое по формуле (2.2), такое что F AFи F U F −1 — операторы умножения на измеримые функции a(λ) и u(λ) соответственно. Если ϕ ∈ H+ , Aϕ ∈ H+ (U ϕ ∈ H+ ), то hek (λ), Aψi = a(λ)hek (λ), ψi(соответственно hek (λ), U ψi = u(λ)hek (λ), ψi).Доказательство.