А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики, страница 10

При q > 0Z∞dx ψ1 (x, q)−∞=Z∞−∞=2Z0−∞Z∞ψ1 (x, q ′ )ϕ(q ′ ) dq ′ =−∞Z∞dx ψ1 (x, q) (ψ1 (x, −q ′ )ϕ(−q ′ ) + ψ1 (x, q ′ )ϕ(q ′ )) dq ′ =qc1 (q) sin kx dxk0Z∞0q′c1 (q ) ′ sin k ′ x ϕ(q ′ ) dq ′ + 2k′По формуле (5.4), второе слагаемое равноZ∞c1 (q) sin qx dx0Z∞c1 (q ′ ) sin q ′ x ϕ(q ′ ) dq ′ .02c21 (q)ϕ(q).Положивq 0, 0 6 k 6 2mU0,2q ~η(k) = ϕ(q), k > 2mU0~2и сделав замену переменной, получаем, что по формуле (5.4) первое слагаемое равно 2c21 (q) kq η(k) =2c21 (q) kq ϕ(q), и в сумме получаем ϕ(q). Если q < 0, то получаем|q|2−2c1 1 +ϕ(|q|) = −ϕ(|q|) = ϕ(q)kв силу нечетности ϕ.Аналогично рассматривается случай с j = 2 и четной функцией ϕ.Теперь докажем, что для любой функции ϕ ∈ C0∞ (0, ∞) и для любого q > 0 выполнено равенствоZ∞0cos qx dxZ∞0sin q ′ x ϕ(q ′ ) dq ′ +Z0cos kx dx−∞31Z∞0q′sin k ′ x ϕ(q ′ ) dq ′ = 0.k′(5.9)Первое слагаемое равноlimN →∞ZNcos qx dx0N →∞= limN →∞0′′Z∞ϕ(q ′ )0′sin q x ϕ(q ) dq = lim0= limZ∞Z∞N →∞Z∞′ϕ(q ) dq0′ZNcos qx sin q ′ x dx =01 − cos(q ′ + q)N1 − cos(q ′ − q)N+′2(q + q)2(q ′ − q)cos(q ′ − q)N − cos(q ′ + q)N ′1ϕ(q ′ )dq + limN →∞2q′ + qZ∞ϕ(q ′ ) sin20dq ′ =N (q ′ − q) 2q ′dq ′ .2q ′2 − q 2Первое слагаемое равно 0 по теореме Римана–Лебега.Аналогично рассмотрев второе слагаемое в (5.9), получаем− limN →∞Z∞0′q′2k ′′2 N (k − k)ϕ(q)sindq ′ = − limN →∞k′2k ′2 − k 2Z∞ϕ(q ′ ) sin20N (k ′ − k) 2q ′dq ′2q ′2 − q 2(так как q ′2 − q 2 = k ′2 − k 2 ).

Итак, нужно доказать, чтоZ∞ N (q ′ − q)N (k ′ − k)2q ′− sin2ϕ(q ′ ) dq ′ =sin2′2N →∞22q − q2lim0Z∞= lim(cos N (k ′ − k) − cos N (q ′ − q))N →∞0q′ϕ(q ′ ) dq ′ = 0.q ′2 − q 2Для любого δ > 0 интеграл по R+ \(q − δ, q + δ) стремится к 0 при N → ∞ по теореме Римана–Лебега.Так как функция ϕ гладкая, тоZ ′ q+δ′1qϕ(q)ϕ(q)′−dq (cos N (k ′ − k) − cos N (q ′ − q)) ′ 6 Cδ,q − q q′ + q2q−δгде C не зависит от N . Значит, остается доказать, что при достаточно малых δ > 0limq+δZ= limZδN →∞q−δN →∞−δ(где α2 =2mU0~2 ).ppcos N ( q ′2 + α2 − q 2 + α2 ) − cos N (q ′ − q) ′dq =q′ − qppcos N ( (q + x)2 + α2 − q 2 + α2 ) − cos N xdx = 0xНайдем этот предел с помощью вычетов, показав, чтоZ|z|=δ, 06arg z6πПри малых |z| функцияppexp(iN ( (q + z)2 + α2 − q 2 + α2 ))dz → 0 .N →∞z∞ppP(q + z)2 + α2 − q 2 + α2 аналитична и представляется в виде рядаan z n ,n=1где все an вещественны и a1 > 0.

Поэтому при |z| = δ, arg z = ϕIm∞p Xp(q + z)2 + α2 − q 2 + α2 =an δ n sin nϕ =n=1=a1 +∞Xn=2an δ n−1sin nϕsin ϕ32!δ sin ϕ >a1δ sin ϕ2при достаточно малых δ. Значит, ZπppZa1exp(iN ( (q + z)2 + α2 − q 2 + α2 )) dz 6 e−N 2 δ sin ϕ dϕ,z|z|=δ, 06arg z6π 0а эта величина стремится к 0 при N → ∞.Итак, (5.9) доказано. Отсюда следует, чтоZ∞cos qx dxZ∞′′′sin q x ϕ(q ) dq +−∞0Z0cos kx dx−∞Z∞−∞q′sin k ′ x ϕ(q ′ ) dq ′ = 0k′(5.10)для любого q ∈ R\{0} и для любой нечетной функции ϕ ∈ C0∞ (R\{0}).Пусть H1 — подпространство нечетных функций из L2 (R), H2 — подпространство четных функций.Эти подпространства ортогональны друг другу.

Определим операторы Uj : Hj → H по формулеZ∞(Uj ϕ)(x) =ψj (x, q)ϕ(q) dq−∞для ϕ ∈ C0∞ (R\{0}). Из (5.8) и (5.10) следует, что эти операторы являются унитарными на свой образ H̃jи эти образы ортогональны.С помощью дифференцирования интеграла по параметру и интегрирования по частям доказывается,что H̃j ⊂ Dmax и оператор 2~ 2Ujq + U0 Uj−12mсовпадает с ограничением Ĥ на H̃j .Следовательно, при E > U0 абсолютно непрерывная часть спектра Ĥ двукратна и спектральная мераэквивалентна мере Лебега.Пустьq0 < E < U0 . Тогда при x > 0 решение уравнения Ĥψ = Eψ имеет вид ψ(x, q) = c1 eqx + c2 e−qx ,где q =2m(U0 −E).~2Так как ψ не может экспоненциально возрастать, то c1 = 0. При x < 0 ψ(x, q) =q1c3 eikx + c4 e−ikx , где k = 2mE~2 , а c3 и c4 однозначно находятся из условий C -гладкости.

А именно,ψ(x) =e−qx , x > 0,cos kx − kq sin kx, x < 0.q0Положим q0 = 2mU~2 . Докажем, что существует гладкая функция c(q), не обращающаяся в 0 на (0, q0 )такая, что для любой функции ϕ ∈ C0∞ (0, q0 ) выполнено равенствоZ∞dx ψ(x, q)−∞Zq0ψ(x, q ′ )ϕ(q ′ ) dq ′ = c(q)ϕ(q).0В самом деле,Z∞′e−qx e−q x dx =0атак чтоZ0ψ(x, q)ψ(x, q ′ ) dx =AN (q) :=dx ψ(x, q)Zq00Zq00−N+ZN qq′cos kx + sin kx cos k ′ x + ′ sin k ′ x dx,kk0−NZ∞1,q′ + q′′dq ϕ(q )ZN0′′′ψ(x, q )ϕ(q ) dq =Zq00qq′sin kx ′ sin k ′ x dx +kk33ϕ(q ′ )dq +q′ + qZq0dq ϕ(q )Zq0ZNcos kx0′′dq ϕ(q )′00′ZNcos kx cos k ′ x dx+0q′sin k ′ x dx+k′+Zq0′′dq ϕ(q )0ZNqsin kx cos k ′ x dx.k0Второе и третье слагаемые сходятся при N → ∞ к c1 (q)ϕ(q) и c2 (q)ϕ(q), где c1 и c2 — некоторые положительные гладкие функции. Четвертое и пятое слагаемые равны соответственноZq0sin2N (k ′ − k) 2q ′ϕ(q ′ ) dq ′ + o(1)2k ′2 − k 2N →∞sin2N (k ′ − k) 2qϕ(q ′ ) dq ′ + o(1) .2k 2 − k ′2N →∞0иZq00Воспользовавшись тем, что k ′2 − k 2 = q 2 − q ′2 , получаемZq0 ′′12 N (k − k) q − q+ ′ϕ(q ′ ) dq ′ + o(1) =AN (q) = (c1 (q) + c2 (q))ϕ(q) +2 sin2k ′2 − k 2q +qN →∞0Zq0 (−1)1= (c1 (q) + c2 (q))ϕ(q) +(1 − cos N (k ′ − k)) ′+ ′ϕ(q ′ ) dq ′ + o(1) =q +qq +qN →∞0= (c1 (q) + c2 (q))ϕ(q) +Zq00cos N (k ′ − k)ϕ(q ′ ) dq ′ + o(1) = (c1 (q) + c2 (q))ϕ(q) + o(1)q′ + qN →∞N →∞в силу теоремы Римана–Лебега.Таким образом, при E < U0 спектр однократный и на абсолютно непрерывной части спектра мераэквивалентна мере Лебега.Отсутствие сингулярного спектра при E > 0 будет доказана позже для более общего случая.Утверждение 5.4.

Пусть ψ1 , ψ2 заданы формулой (5.7). Тогда отображениеC0∞ (R\{0})U∋ ϕ 7→Z∞(ψ1 (x, q) + iψ2 (x, q))ϕ(q) dq−∞продолжается по непрерывности до унитарного оператора из L2 (R) на H̃1 ⊕ H̃2 .Доказательство. Пусть ϕ ∈ C0∞ (R\{0}). Представим ее в виде суммы четной и нечетной функций:ϕ = ϕ1 + ϕ2 , ϕj ∈ Hj , j = 1, 2. Так как ψj является нечетной (четной) по q при j = 1 (соответственно 2),то U ϕ = U1 ϕ1 + U2 ϕ2 . Так как H1 ⊥H2 и H̃1 ⊥H̃2 , тоkϕk2 = kϕ1 + ϕ2 k2 = kϕ1 k2 + kϕ2 k2 = kU1 ϕ1 k2 + kU2 ϕ2 k2 = kU1 ϕ1 + U2 ϕ2 k2 ,поэтому U является изометрией.Пусть f ∈ H̃1 ⊕ H̃2 .

Тогда f = U1 ϕ1 + iU2 ϕ2 , где ϕj ∈ Hj , j = 1, 2. Значит, f = U (ϕ1 + ϕ2 ), так чтооператор U сюръективен.Это утверждение будет потом использоваться при построении волновых операторов Ω± (Ĥ, Ĥ0 ), где~2 d 2Ĥ0 = − 2mdx2 + U0 θ(x), Ĥ = Ĥ0 + V (x), где V достаточно быстро убывает на бесконечности.5.7Способы задания операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциаламиВ [14] были даны несколько подходов к заданию оператора Штурма–Лиувилля на отрезке.Пусть l(ψ) = −ψ ′′ + V (x)ψ, где V = W ′ (производная в обобщенном смысле), W ∈ L2 [a, b].Определение 5.1.

Квазипроизводной функции ψ ∈ W11 [a, b] называется функция ψ [1] (x) = ψ ′ (x) −W (x)ψ(x).34Если функция W абсолютно непрерывна, а ψ и ψ ′ принадлежат W11 [a, b], то выражение для l(ψ) можнопереписать в видеl(ψ) = −(ψ [1] )′ − W (x)ψ [1] − W 2 (x)ψ(5.11)Если функция W не является абсолютно непрерывной, то оператор l зададим формулой (5.11) на множестве функций, принадлежащих W11 [a, b] вместе со своей квазипроизводной.Пример. Пусть V (x) = αδ(x − x0 ). Тогда W (x) = αθ(x − x0 ) + c, и дифференциальное выражение l(ψ)определено на множестве абсолютно непрерывных функций ψ таких, что ψ ′ − αθ(x − x0 )ψ(x) абсолютнонепрерывна (откуда следует, что ψ ′ (x0 + 0) − ψ ′ (x0 − 0) = αψ(x0 )).В L2 [a, b] зададим подпространстваD(LM ) = {ψ|ψ, ψ [1] ∈ W11 [a, b], l(ψ) ∈ L2 [a, b]},D(Lm ) = {ψ ∈ D(LM )|ψ(a) = ψ(b) = ψ [1] (a) = ψ [1] (b) = 0}.Утверждается, что оператор Lm , заданный на D(Lm ) выражением l, является симметрическим и егоиндексы дефекта равны n± = 2.Теорема 5.4.

([14], [15]) Самосопряженные расширения L оператора Lm задаются выражением l наподпространстве D(L) = {ψ ∈ D(LM )|u1 (ψ) = u2 (ψ) = 0}, гдеuj (ψ) = aj1 ψ(a) + aj2 ψ [1] (a) + bj1 ψ(b) + bj2 ψ [1] (b), j = 1, 2(5.12)aj1 ak2 − aj2 ak1 = bj1 bk2 − bj2 bk1 , j, k = 1, 2.(5.13)иОбратно, граничные условия (5.12), (5.13) определяют самосопряженный оператор L, если выполненоодно из условий:1. J24 6= 0;2. J24 = 0, J14 − J23 = 0;3. J24 = J14 = J23 = J12 + J34 = 0, J13 6= 0,где Jsr — определитель, образованный из s-го и r-го столбцов матрицыa11 a12 b11 b12.a21 a22 b21 b22Замечание. Случай 3) включает граничные условия Дирихле ψ(a) = ψ(b) = 0.Такой способ определения оператора Штурма–Лиувилля называется методом регуляризации.Второй способ — это метод квадратичных форм. Пусть l(ψ) задается формулой (5.11). Тогдагдеhl(ψ), ψi = −h(ψ [1] )′ , ψi − hW (x)ψ [1] , ψi − hW 2 (x)ψ, ψi == hψ [1] , ψ [1] i − hW 2 (x)ψ, ψi + hψ ∨ , ψ ∧ i,(5.14) [1]ψ(a)ψ (a)∨ψ =, ψ =.ψ(b)−ψ [1] (b)∧1Пусть C — произвольная матрица 2 × 2, A — произвольная самосопряженная матрица 2 × 2, W2,C= {ψ ∈1∧1W2 [a, b] : Cψ = 0}.

На W2,C определим квадратичную формуL(ψ, ψ) = hψ [1] , ψ [1] i − hW 2 (x)ψ, ψi + hAψ ∧ , ψ ∧ i.Утверждается, что эта форма однозначно определяет самосопряженный оператор L и что все самосопряженные расширения оператора Lm могут быть так построены. Более того, доказано, что если L — самосопряженное расширение оператора Lm , то D̃(L) = {ψ ∈ W21 [a, b] : uj (ψ) = 0, j = 1, 2, −ψ ′′ + V (x)ψ ∈ L2 },где uj (ψ) задаются формулой (5.12), а −ψ ′′ + V (x)ψ понимается в смысле обобщенных функций. Подпространство D̃(L) совпадает с D(L) из теоремы 5.4 и интегрирование по частям в (5.14) корректно.Третий способ состоит в аппроксимации потенциала V (x) гладким потенциалом Vε (x), 0 6 ε 6 1. Этотспособ более подробно рассмотрен в [15], причем не только для случая отрезка, но и для случая всейпрямой.Сначала рассмотрим случай отрезка.

Пусть W0 ∈ L2 [a, b], Wε — гладкие функции,(5.15)kWε − W0 kL2 → 0.ε→02d′Пусть Lε (0 6 ε 6 1) — семейство операторов, порожденных выражением − dx2 +Wε (x) (в смысле теоремы5.4) с граничными условиями u1 (ψ) = u2 (ψ) = 0.35Определение 5.2. Оператор Tε сходится к оператору T0 в смысле сильной (равномерной) резольвентRRной сходимости (обозначается Tε → T0 и соответственно Tε ⇒ T0 ), если существует µ ∈ C такое,−1−1что при малых ε > 0 µ ∈ ρ(Tε ) и (Tε − µ) сходится к (T0 − µ) сильно (равномерно).Теорема 5.5. [15] Условие (5.15) влечет равномерную резольвентную сходимость операторов Lε к L0при ε → 0.

Оператор L0 имеет дискретный спектр, а скорость приближения собственных значенийλk (ε) оператора Lε к собственным значениям λk (0) оператора L0 допускает оценку |λk (0) − λk (ε)| 6Ck kWε − W0 kL2 .Теперь рассмотрим случай всей оси. Пусть V (x) = V1 (x) + W ′ (x), гдеV1 ∈ L1,loc (R), W ∈ L2,loc (R), supp W ′ ⊂ (−N, N ).(5.16)Квазипроизводная и дифференциальное выражение l(ψ) определяются так же, как и в случае отрезка:ψ [1] (x) = ψ ′ (x) − W (x)ψ(x),l(ψ) = −(ψ [1] )′ − W (x)ψ [1] − W 2 (x)ψ + V1 (x)ψ.Положим1D(Lm ) = {ψ ∈ L2 | supp ψ — компакт, ψ, ψ [1] ∈ W1,loc, l(ψ) ∈ L2 },Lm (ψ) = l(ψ), ψ ∈ D(Lm ).Определяем оператор Tm так же, как Lm , где вместо V (x) стоит V1 (x).